二次根式经典讲义

1.二次根式具有以下性质：
（1）()a a =2（0≥a ）（2）a a =2
2.常用二次根式运算法则：
（1）ab b a =•（0≥a ，0≥b ）（2）b a b a =（0≥a ，0>b ） 类型一 二次根式的“双重非负性”
例1（1）要使代数式x
x 1+有意义，x 的取值范围是（ ）． A ．1-≠x B ．0≠x C ．1->x 且0≠x D ．1-≥x 且0≠x
（2）要使代数式3
4232+---x x x 有意义，那么x 的取值范围是 ． 【变式题组】1.二次根式42+-x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）．
A ．2-≥x
B ．2->x
C ．2<x
D ．2≤x
2.若代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）．
A ．3-≥x
B ．3>x
C ．3≥x
D ．3≤x
3.函数x x y 2
-=中自变量x 的取值范围是（ ）．
A ．0≠x
B ．2≥x
C ．2>x 且0≠x
D ．2≥x 且0≠x
4.无论x 取何实数，代数式m x x +-62都有意义，则x 的取值范围为 ．
5.要使代数式2
113----x x 有意义，实数x 的取值范围是 ． 例2 （1）已知2+-+=x x y ，求x y 的值．
（2）已知
2244x x y -+-=，求y x +得值． （3）若4342-=-+-b a a ，则=-b a 22 ．
【变式题组】6.若
02=++-y y x ，则x 、y 的值分别为 ． 7.已知x 、y 为实数，且49922+---=x x y ，则=-y x ．
8.若实数x 、
y 满足084=-+-y x ，则以x 、y 的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 9.已知实数a 满足a a a =-+-20152014，那么=-22014a ．
类型二 最简二次根式与同类二次根式
例3 （1）下列二次根式a 45，30，21
2，240b ，54，()2217b a +中，为最简二次根式
的是 ．
（2）在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（ ）
A ．a 2
B ．23a
C ．3a
D ．
4a 【变式题组】10.在下列根式a 54，32a ，6，x 8中，最简二次根式有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个[来源:学§科§网]
11.下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（ ）
A ． 2.5
和0.52 B ．a a 3和b b 3 C ．b a 2和2ab D ．3abc 和ab
c 3 类型三 利用二次根式的性质化简
例4 如果式子()212-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（ ）．
A ．1≤x
B ．2≥x
C ．21≤≤
x D ．0>x 【变式题组】12.若代数式
()()2231a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是 ． 13.若x x
+=-11，则()=-21x ． 14.若a a -=，则=-22a a （ ）
． A ．a B ．a - C ．a 3 D ．a 3-
类型四 简单的二次根式的化简与求值[来源:学科网]
例5 （1）计算：()5313532
0-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----π （2）计算：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+483137512 （3）把()a b b a --1根号外的因式移到根号内结果为（ ）． A ．b a - B ．a b - C ．a b -- D ．b a --
【变式题组】15.计算：5022
145.0821+-- 16.计算：()1
03131312-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-- 17.（1）化简：x
x x x 1246932-+，并将自己喜欢的x 的值代入化简结果进行计算． （2）代数式a a
1
-化简为（ ）． A ．a - B ．a -- C ．a D ．a -[来源:学科网ZXXK]
（3）化简22x
x x --•的结果为（ ）． A ．2--x B ．2+x C ．2+-x D ．2---x
例6 （1）先化简，再求值：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-÷+-ab b a ab b a b a 2122222
2，其中32+=a ，32-=b （2）已知正实数a ，b 满足：1=+b a ，且41111-=+---+--+-a
b a b a b a b ，则=b a ． 【变式题组】18.（1）已知13+=x ，13-=y ，则=-22y x ．
（2）先化简，再求值：1
221132+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，其中2-=x 19.已知
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x 20071200721，n 是大于1的自然数，那么()n x x 21+-的值是（ ）． A ．20071 B ．20071- C ．()200711n - D ．()2007
11n -- 20.设0>m ，
m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 （用m 表示）． 课外练习
1.函数1
1--=x x y 自变量x 的取值范围是 ． 2.若代数式()231-+x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ）．
A ．1-≥x
B ．1-≥x 且3≠x
C ．1->x
D ．1->x 且3≠x 3.计算：9182132--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-- 4.先化简，再求值：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-x y y x 111，其中23+=x ，23-=y 5.若11=-a a
，则a a +1的值为（ ）． 6.把m m 1
-根号外的因式移到根号内，得（ ）．
A ．m
B ．m -
C ．m
-- D ．m - 7.若41=+
a a (0<a<1)，则a a 1-= ． 8.＜0)得（ ） B C
9.已知实数x ，y
满足40x -=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A ． 20或16
B ． 20
C ．16
D ．以上答案均不对
10.若0＜x ＜1
） A x 2 B
－x
2 C －2x D 2x 11.，则＝＿＿＿＿＿ 12.把根号外的因式移到根号内：
（1）()a a --11
1 ； （2）()0,0<<y x x
y x 13.已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为
14.已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为 ．
15.把（2－x ）1x －2
的根号外的（2－x ）移入根号内得 ． 16.阅读下面的解题过程：
化简：4＋23＋4－23。

解法一： 原式＝3＋23＋1＋3－23＋1
＝（3）2＋23＋1＋（3）2
－23＋1 ＝（3＋1）2＋（3－1）2
＝3＋1＋3－1
＝23
解法二：
设x ＝4＋23＋4－23，则x ＞0，
则有x 2＝4＋23＋24＋23·4－23＋4－23 ＝8＋4
＝12
所以x ＝23
请你用上面的方法（任选一种），解答下列的问题：
化简：2＋3＋2－3。

2210b b -+=221
||a b a
+-。