中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第28课时与圆有关的计算真题精选含解析

第六章 圆
第28课时 与圆有关的计算 江苏近4年中考真题精选
命题点1 扇形弧长和面积的计算(2016年3次，2015年5次，2014年5次，2013年6次)
1. (2013淮安5题3分)若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( )
A. 3π
B. 4π
C. 5π
D. 6π
2. (2014南通10题3分)如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a (a >23r )的等边三角形内任意
运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是( )
A. π3 r 2
B. 33－π3
r 2
C. (33－π) r 2
D. πr 2
第2题图 第4题图
3. (2014徐州13题3分)半径为4 cm ，圆心角为60°的扇形的面积为________cm 2
.
4. (2015盐城17题3分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆
弧交边DC 于点E ，则BE ︵
的长度为________．
5. (2013扬州15题3分)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝110°，半径OA ＝18，将扇形OAB 沿过点B
的直线折叠，点O 恰好落在AB ︵上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD ︵
的长为________．
第5题图 第6题图
6. (2014连云港15题3分)如图①，折线段AOB 将面积为S 的⊙O 分成两个扇形，大扇形、小扇形
的面积分别为S 1、S 2.若S 1S ＝S 2
S 1
＝，则称分成的小扇形．．．为“黄金扇形”．生活中的折扇(如图②)大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为________°.(精确到
第7题图 第8题图
7. (2013苏州16题3分)如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧BC ︵
的弧长
为________．(结果保留π)
8. (2016连云港16题3分)如图，⊙P 的半径为5，A 、B 是圆上任意两点，且AB ＝6，以AB 为边作
正方形ABCD (点D 、P 在直线AB 两侧)．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为________．
9. (2015苏州24题8分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方
画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD .
(1)求证：AD 平分∠BAC ；
(2)若BC ＝6，∠BAC ＝50°，求DE ︵、DF ︵
的长度之和(结果保留π)．
第9题图
命题点2 圆锥、圆柱的相关计算(2016年6次，2015年2次，2014年6次，2013年4次)
10. (2013无锡6题3分)已知圆柱的底面半径为3 cm ，母线长为 5 cm ，则圆柱的侧面积是( )
A. 30 cm 2
B. 30π cm 2
C. 15 cm 2
D. 15π cm 2
11. (2016徐州16题3分)用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径
为________．
12. (2016淮安17题3分)若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆
心角是______°.
13. (2016盐城14题3分)若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为________．
14. (2014南京14题2分)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥底面
圆的半径r ＝2 cm ，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l 为________cm.
第14题图
命题点3 圆中阴影部分面积的计算(2016年3次，2015年4次，2014年盐城17题，2013年3次) 15. (2016苏州16题3分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．
第15题图第16题图
16. (2016泰州15题3分)如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD ＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝3，则图中阴影部分的面积为________．
17. (2013盐城17题3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°到△A1B1C的位置，则线段AB扫过区域(图中的阴影部分)的面积为________cm2.
第17题图第18题图
18. (2013宿迁17题3分)如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π) 19. (2016淮安25题10分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA 为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A.
(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．
第19题图
答案
1. B 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长l ＝120π×6
180
＝4π.
2. C 【解析】如解图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 1作∠A
两边的垂线，垂足分别为D 、E ，连接AO 1，则在Rt △ADO 1中，∠O 1AD ＝30°，O 1D ＝r ，AD ＝3r .∴S
△ADO 1＝12O 1D ·AD ＝32
r 2.∴S 四边形ADO 1E ＝2S △ADO 1＝3r 2
.由题意得，∠DO 1E ＝120°，∴S 扇形
O 1DE ＝π3r 2，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3(3r 2－π3
r 2)＝(33－π)r 2.
第2题解图
3. 83π 【解析】半径为4 cm ，圆心角为60°的扇形的面积为：60π×42
360＝83
π(cm 2)．
4. 2
3
π 【解析】如解图，连接AE ，在Rt △ADE 中，AE ＝4，AD ＝2，∴∠DEA ＝30°，∵AB ∥CD ，
∴∠EAB ＝∠DEA ＝30°，∴BE ︵的长度为30×π×4180＝2
3
π.
第4题解图
5. 5π 【解析】如解图，连接OD ，根据折叠的性质知，OB ＝BD .又∵OD ＝OB ，∴OD ＝OB ＝DB ，即
△ODB是等边三角形，∴∠DOB＝60°.∵∠AOB＝110°，∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝50°，∴AD
︵
的长为
50π×18
180
＝5π.
第5题解图
6. 【解析】设黄金扇形的圆心角为n°，那么余下的大扇形的圆心角为(360°－n°)．利用扇形面积公式列方程．设圆的半径为r.则
S2
S1
＝
nπr2
360
（360－n）πr2
360
＝，解得n≈.
7.
1
3
π【解析】如解图，连接OB，OC，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，在Rt△ABO中，OA ＝2，∠OAB＝30°，∴OB＝1，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，又∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，则劣弧BC
︵
长为
60π×1
180
＝
1
3
π.
第7题解图
8. 9π【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F，延长PF交CD于点E，则有AF＝
1
2
AB＝3，∵四
边形ABCD 是正方形，∴CD ∥AB ，∴PE ⊥CD ，∴PF ＝AP 2
－AF 2
＝52
－32
＝4，∴PE ＝PF ＋EF ＝AD ＋
PF ＝6＋4＝10，∴PD 2＝DE 2＋PE 2＝9＋100＝109，所以AB 绕点P 旋转一周，CD 边扫过的面积＝π×
PD 2－π×PE 2＝109π－100π＝9π.
第8题解图
9. (1)证明：由作图可知BD ＝CD . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC BD ＝CD AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD (SSS)．
∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC .
(2)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°.
∵BD ＝CD ＝BC ，
∴△BDC 为等边三角形．
∴∠DBC ＝∠DCB ＝60°.
∴∠DBE ＝∠DCF ＝180°－∠ABC －∠CBD ＝55°.
∵BC ＝6，
∴BD ＝CD ＝6.
∴DE ︵的长度＝DF ︵的长度＝55×π×6180＝11π6
.
∴DE ︵、DF ︵的长度之和为11π6＋11π6＝11π
3
.
10. B 【解析】根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5＝30π cm 2
.
11. 5 【解析】由题意知，半圆的周长为πr ＝10π，∴围成的圆锥的底面圆的半径为10π÷2π
＝5.
12. 120 【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长、扇形的半径等于
圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n °，则2π×2＝
n π·6
180
，解得n ＝120. 13. 8π 【解析】圆锥底面圆的周长为4π，∴侧面积等于1
2
×4×4π＝8π.
14. 6 【解析】由圆锥底面周长等于侧面展开图弧长可得，2πr ＝n πl 180，即2π×2＝120π
180
l ，解
得l ＝6 cm.
15.
33－π
2
【解析】如解图，连接OC ，则OC ⊥CD . ∵∠A ＝∠D ，∠A ＝∠ACO ，∠COD ＝∠A ＋∠ACO ，∴∠COD ＝2∠D ，又∵∠COD ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝30°，∠COD ＝60°；在Rt △COD 中，OC ＝CD ·tan
∠D ＝3×tan 30°＝3；∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OBC ＝12×3×3－60×π×（3）2
360＝33－π
2
.
第15题解图
16. 5
3
π 【解析】如解图，连接OC 、OA ，∵∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，OA ＝OC ＝2, ∴
∠COD ＝60°，∠AOB ＝30°，OD ＝1，OB ＝3， ∴∠AOC ＝150°， ∴S 阴影＝S 扇形AOC ＋S △OCD －S △OAB ＝
150
360
×22
·π＋12×3×1－12×3×1＝53
π.
第16题解图
17. 25π8 【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2
＝29，S 扇形BCB 1＝45π×（29）2
360＝29π8
，S
△ABC ＝S △CB 1A 1＝12×5×2＝5；S 扇形CAA 1＝
45π×22
360＝π
2
.故S 阴影
＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S
扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8
cm 2
.
18.
8π
3
【解析】如解图，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，交BC ︵于点E ，连接OC ，则点E 是BEC ︵的中点，
由折叠的性质可得点O 为BOC ︵的中点，∴S 弓形BO ＝S 弓形CO ，∵OD ＝12
r ＝2，OB ＝OC ＝r ＝4，∴∠OBD ＝∠OCD ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝60π×42
360＝8π3.
第18题解图
19. 解：(1)直接MN 与⊙O 相切．
理由： 如解图，连接OC ，
第19题解图
∵OA 、OC 均为⊙O 的半径，
∴OA ＝OC ，
∴∠A ＝∠OCA ，
又∵∠BOC 为△OAC 的外角，
∴∠BOC ＝∠A ＋∠OCA ＝2∠A ，
又∵∠BCM ＝2∠A ，
∴∠BOC ＝∠BCM ，
∵∠B ＝90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∴∠BCO ＋∠BCM ＝90°，
∴∠OCM ＝90°.
∴直线MN 与⊙O 相切．
(2)∵∠BCM ＝60°，
∴∠A ＝30°，
∴∠AOC ＝120°，
又∵∠AOC ＝∠B ＋∠OCB ，∴∠OCB ＝30°， ∵OA ＝4，
∴OC ＝OA ＝4，
∴BC ＝23，
∴S 扇形OAC ＝120×π×42
360＝16π3， S △AOC ＝12×OA ×BC ＝12
×4×23＝43， ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＝16π3
－4 3.
∴图中阴影部分的面积为16π3
－4 3.。