2021-2022年高三考前模拟冲刺 数学理 含答案

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E F
B
A
D
C
P
2021-2022年高三考前模拟冲刺 数学理 含答案
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选
项中，只有一个是正确的）
1．已知集合，，则=（ ） 2．复数在复平面内对应的点位于（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3．已知p ：a ＞3，q ：x ∈R ，使x 2
＋ax ＋1＜0是真命题，则p 是q 的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若∥，且则； ②若∥，且∥.则∥； ③若,,l m n αββγγα===，则∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα===且n ∥,则∥m .
其中正确命题的个数是( )
1 2
3 4
5．已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的
第10项，则判断框内的条件是（ ）
6．已知向量，若，则的最小值为（ ）
12 6
7．已知函数，其中，若恒成立，且，则等于 （ ）
8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） 16 4 8 2 9．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一
个没有重复数字的三位数,则这个数能被 3整
除的概率为 （ ）
10．函数为定义在上的减函数，函数的图像关于
点（1,0）对称， 满足不等式，，， 为坐标原点，则当时， 的取值范围为 （ ）
11．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ） 12．已知定义在上的可导函数满足：，则与 （是自然对数的底数）的大小关系是（ ）
> <
不确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是 ． 14．（）的展开式中的系数是
15．抛物线及其在点和点处的切线所围成图形的面积为
16．函数的定义域为D ，若存在闭区间，使得函数满足： （1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为函数的“和谐区间”。

下列函数中存在“和谐区间”的是 ○1， ○2， ○
3， ○4， 三、解答题（本大题共6小题，其中17-21每题各12分，三选一（22-24）10分，共70分） 17.(本题满分12分) 在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，. （1）求与； （2）设数列满足，求的前项和. 18.（本题满分12分） 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是． （1）求油罐被引爆的概率； （2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E （ξ）． （ 结果用最简分数表示）
19.（本题满分12分）
四棱锥底面是平行四边形，面面, ,,分别为的中点. （1）求证： （2）求二面角的余弦值
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20．(本题满分12分) 已知椭圆C ：（）的离心率，左右焦点分别为、，抛物线的焦点F 恰好是该椭圆的一个焦点。

（1） 求椭圆方程
（2） 过椭圆的左顶点A 作两条弦、分别交椭圆于、两点，满足，当点在椭圆上运动时，
直线是否经过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。

21．（本题满分12分）
已知函数，其中a 为大于零的常数
（1）若函数在区间内单调递增，求a 的取值范围； （2）求函数在区间上的最小值；
（3）求证：对于任意的＞1时，都有＞成立。

22.<选修4—1：几何证明选讲>
如下图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长；
（II ）求证：BE ＝ EF ．
23.<选修4—4：坐标系与参数方程> 在直角坐标系中，直线经过点（-1，0），其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为 （1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围； （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
24.<选修4—5：不等式选讲>
设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （1）当的最小值；
（2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. xx5月考前模拟检测数学（理科）试题答案
一、选择题
D C A B B C C B A D A A
二、填空题
13. 14. 31 15. 16. ○
1○3○4 三、解答题 17、【答案】解:（1）设的公差为.
因为⎪⎩
⎪⎨⎧==+,
,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨
⎧+==++．，
q d q d q 6126 解得 或（舍），. 故 ，. （2）由（1）可知，， 所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫
===- ⎪++⎝⎭
. 故()
21111
121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…
18.解析：
(1)解法一：P=×+(×)×+［()1×()2］×+［()1×()3］×=. 解法二：P=1-()1×()4-()0×()5=1-=.
(2)∵P （ξ=2）=×=, P(ξ=3)=（·×）×=, P （ξ=4）=［·×()2］×=, P(ξ=5)=（）4+·×()3=,
∴分布列为
ξ 2 3 4 5 P
∴期望为Eξ=2×+3×+4×+5×=.
19．（1）
PAB AG PB ∆⊥是等边三角形， ① 02220220
2,60,2cos 6090ABD AD AB BAD BD AB AD AB AD AD AB ABD ∆=∠==+-⨯⨯=-∴∠=中，由余弦定理
所以 ,PAB ABCD BD AB DB PAB ⊥⊥∴⊥面面面 ②
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由 ①②可知，,AG PB AG BD AG PBD ⊥⊥∴⊥面//,EF AG EF PBD ∴⊥又面 (2)取 的中点,
PAB BN PA ∆∴⊥是等边三角形~Rt PBD Rt ABD PD AD ∆∆∴= 是二面角的平面角
由 （2）知 32DBN BD AB BN ∆==在Rt 中，
5
tan 2,cos 5
BD BN θθ=
==即二面角的余弦值为 解法二 （1）
建系令
()()()
2,0,0,0,23,0,1,0,3A D P ,
()()()
1133,0,33,0,122EF AP DC =+=-=-
()()
0,23,0,1,0,3BD BP ==
,EF BD EF BP EF PBD ⊥⊥∴⊥面 (2) 设平面PAD 的法向量为 ,
1130
2230
n AP x z n AD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩ 令所以 平面PAB 的法向量 ，即二面角的余弦值为 20题解析：
(1)由，，可得
(2)椭圆方程：即x²+4y²=4 a²=4，a=2，点A （-2，0）
当直线AM 的斜率变化时，设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为 直线AM 方程：y=k(x+2) 直线AN 方程：y= (x+2)
将AM 方程代入椭圆，整理：(4k²+1)x²+16k²x+16k²-4=0
韦达定理：则点M 横坐标= ,纵坐标=
将AN 方程代入椭圆，整理：(k²+4)x²+16x+16-4k²=0 韦达定理：点N 的横坐标= ,纵坐标=
直线MN 的斜率=4
8
214824414422222
2+--
+-+++k k k k k k
k k = 直线MN 方程：y=（x ） 化简：y=(x+)
由此，可知，过定点（，0）
21题答案：
E F
B
A
D
C
P
z
x
y
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22【答案】解：（I ）1,2,2
==⋅=PC PA PD PC PA ，，…（2分）
又，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠ ，，…………（4分） ， …………（5分） （II ），，而， …………（8分）
，
． …………（10分）
23【答案】解：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
-----------1分 直线的参数方程为 （为参数） ----------2分 将代入整理得 -----3分 直线与曲线有公共点，
33cos cos αα∴≥
≤ ----4分 的取值范围是 ------5分
(2)曲线的方程可化为，其参数方程为
（为参数） ---6分 为曲线上任意一点，
32cos 2sin 3224x y πθθθ⎛
⎫∴+=++=++ ⎪⎝
⎭---8分
的取值范围是 ----10分
24【答案】解：（1）当时，()22,1,
1414,
14,24, 4.x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++--=-<<⎨⎪-≥⎩
--3分 ------5分
（2）对任意的实数恒成立对任意的实数恒成立
-------6分
当时，上式成立； ----7分 当时，
当且仅当即时上式取等号，此时成立. -----9分
综上，实数的取值范围为 ----10分23140 5A64 婤28582 6FA6 澦Z#21354 536A
卪?{X40469 9E15 鸕W-24117 5E35 帵38683 971B 霛p24033 5DE1 巡。