间接证明之反证法
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n
两个正整数m,n
互质,是指m ,n 的最 大公约数是1,即
m,n 1.
从而有 m 2n,因此 m2 2n2,所以 m 为偶数.
于是可设 m 2kk是正整数 ,从而有4k2 2n2,
即n2 2k2,所以n也是偶数 .这与m,n互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错 误,从而 2是无理数.
正是 2的发现,使人们认识到在有理数之 外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无 理数;从而引发了数学史上的第一次危机, 大大推动了数学前进的步伐.
归纳总结
2、哪些命题适宜用反证法证明？ （1）至多，至少型命题 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 等
正难则反!
归纳总结
3、反证法的一般步骤是什么？
反设
归谬
不假
成设
引
立命 题Βιβλιοθήκη 从假设出发出 矛的
盾
结
论
结论
求
假
设 不
得出结论
成
立
证 的 命 题 正 确
归纳总结
4、归谬矛盾的类型有哪些?
（1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾或自相矛盾; （3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
典例剖析
例1：
证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”， “不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……” 等) 常用反证法
典例剖析
例2：
已知 a、b、c 都是正数，求证：a 1 ,b 1 , c 1 bca
三个数中至少有一个不小于2.
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证
法
典例剖析
例3：
已知 a、b、c、d R ，且 a b c d 1, ac bd 1, 求证： a、b、c、d 这四个数中至少有一个是负数.
证明： 假设AB、CD共面，
A
Ca
则AB、CD确定平面
否定结论
B
则 A、C a，a
B、D b,b
推出矛盾
这与 a、b 是异面直线矛盾，
Db
与已知条 件矛盾
所以假设不成立， 所以，所求证的结论成立．
肯定结论
建构概念
反证法：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下， 结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法（归谬法）。
间接证明 — 反证法
创设情境
说一说
你能否作出这样的判断：在班级中至少 存在两个人，他们的生日是在同一月份 的？请说明理由。
问题初探
1、证明：在三角形中至少有一个角不小于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角
不小于６０°.（ 60 ）
Ｂ 否定结论 Ｃ
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证
法
归纳总结
1、什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下， 结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法（归谬法）。
数学证明方法可分为直接证明和间接证明，从原命题所给的条件出发， 根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到 所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证明．有些命题不易用直 接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真， 这种证法叫做间接证明．反证法是数学中常用的间接证明的方法。
经典案例赏析：求证 2 是无理数 .
分析 直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用
反证法.假设 2 不是无理数,那么它就是有理数.我们
知道,任一有理数都可以写成形如m (m,n互质,m Z, n
n N )的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.
证明 假设 2不是无理 数,那么它就是有理数 .于 是,存在互质 的正整数 m,n,使得 2 m ,
证明： 假设∠Ａ＜６０°， ∠Ｂ ＜６０°，∠Ｃ ＜６０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０ °
推出矛盾
这于 三角形的内角和等于１８０°矛盾
所以假设不成立，
肯定结论
与已有定 理矛盾
所以，所求证的结论成立．
问题初探
2、设 a、b是异面直线，点A、C在直线 a上，点B、D
在直线 b 上，证明：AB和CD也是异面直线。
两个正整数m,n
互质,是指m ,n 的最 大公约数是1,即
m,n 1.
从而有 m 2n,因此 m2 2n2,所以 m 为偶数.
于是可设 m 2kk是正整数 ,从而有4k2 2n2,
即n2 2k2,所以n也是偶数 .这与m,n互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错 误,从而 2是无理数.
正是 2的发现,使人们认识到在有理数之 外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无 理数;从而引发了数学史上的第一次危机, 大大推动了数学前进的步伐.
归纳总结
2、哪些命题适宜用反证法证明？ （1）至多，至少型命题 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 等
正难则反!
归纳总结
3、反证法的一般步骤是什么？
反设
归谬
不假
成设
引
立命 题Βιβλιοθήκη 从假设出发出 矛的
盾
结
论
结论
求
假
设 不
得出结论
成
立
证 的 命 题 正 确
归纳总结
4、归谬矛盾的类型有哪些?
（1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾或自相矛盾; （3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
典例剖析
例1：
证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”， “不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……” 等) 常用反证法
典例剖析
例2：
已知 a、b、c 都是正数，求证：a 1 ,b 1 , c 1 bca
三个数中至少有一个不小于2.
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证
法
典例剖析
例3：
已知 a、b、c、d R ，且 a b c d 1, ac bd 1, 求证： a、b、c、d 这四个数中至少有一个是负数.
证明： 假设AB、CD共面，
A
Ca
则AB、CD确定平面
否定结论
B
则 A、C a，a
B、D b,b
推出矛盾
这与 a、b 是异面直线矛盾，
Db
与已知条 件矛盾
所以假设不成立， 所以，所求证的结论成立．
肯定结论
建构概念
反证法：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下， 结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法（归谬法）。
间接证明 — 反证法
创设情境
说一说
你能否作出这样的判断：在班级中至少 存在两个人，他们的生日是在同一月份 的？请说明理由。
问题初探
1、证明：在三角形中至少有一个角不小于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角
不小于６０°.（ 60 ）
Ｂ 否定结论 Ｃ
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证
法
归纳总结
1、什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下， 结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法（归谬法）。
数学证明方法可分为直接证明和间接证明，从原命题所给的条件出发， 根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到 所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证明．有些命题不易用直 接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真， 这种证法叫做间接证明．反证法是数学中常用的间接证明的方法。
经典案例赏析：求证 2 是无理数 .
分析 直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用
反证法.假设 2 不是无理数,那么它就是有理数.我们
知道,任一有理数都可以写成形如m (m,n互质,m Z, n
n N )的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.
证明 假设 2不是无理 数,那么它就是有理数 .于 是,存在互质 的正整数 m,n,使得 2 m ,
证明： 假设∠Ａ＜６０°， ∠Ｂ ＜６０°，∠Ｃ ＜６０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０ °
推出矛盾
这于 三角形的内角和等于１８０°矛盾
所以假设不成立，
肯定结论
与已有定 理矛盾
所以，所求证的结论成立．
问题初探
2、设 a、b是异面直线，点A、C在直线 a上，点B、D
在直线 b 上，证明：AB和CD也是异面直线。