2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题五第3讲知能演练轻松闯关含答案

1．（2012·山东潍坊二模）已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G :x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是错误!时，错误!＝4错误!.
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1,y 1),C (x 2，y 2），当直线l 的斜率是错误!时，
l 的方程为y ＝12
（x ＋4），即x ＝2y －4， 联立错误!,得2y 2－（8＋p )y ＋8＝0，
y 1＋y 2＝错误!，y 1y 2＝4，
由已知错误!＝4错误!,∴y 2＝4y 1,
由根与系数的关系及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，
∴抛物线G 的方程为x 2＝4y 。

(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0,
设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为（x 0，y 0），
由错误!，得x 2－4kx －16k ＝0，
由Δ〉0得k <－4或k 〉0,
∴x 0＝错误!＝2k ,y 0＝k （x 0＋4）＝2k 2＋4k ，
BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－错误!(x －2k )，
∴b ＝2(k ＋1）2，
∴b 〉2.
故b 的取值范围是(2,＋∞)．
2．（2012·河南八校联考）已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上,它的一个顶点为A (错误!，0），且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的错误!,过点M (2，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ,Q ,点N 在线段PQ 上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2)设|PM|·|NQ｜＝|PN|·｜MQ｜,求动点N的轨迹方程．解:(1)设椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1（a>b〉0）．
由于椭圆的一个顶点是A（错误!,0），故b2＝2.
根据题意得，∠AF1O＝π
6
，sin∠AF1O＝错误!,
即a＝2b，a2＝8，
所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。

(2)设P（x1，y1），Q(x2，y2），N(x,y),由题意知，直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝k(x－2）．
直线l的方程与椭圆方程联立消去y得:
（k2＋4)x2－4k2x＋4k2－8＝0.
由Δ＝16k4－4(k2＋4)(4k2－8)>0，得－2〈k〈2.
根据根与系数的关系得x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
又｜PM|·｜NQ｜＝|PN|·|MQ｜，
即（2－x1)(x2－x）＝（x－x1)（2－x2）
解得x＝1，代入直线l的方程得y＝－k,y∈(－2，2)．
所以动点N的轨迹方程为x＝1，y∈(－2,2）．
3．（2012·西城区期末考试)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的
一个焦点是F(1,0)，且离心率为1 2。

(1）求椭圆C的方程;
(2）设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0)，求y0的取值范围．
解：(1)设椭圆C的半焦距是c.
依题意，得c＝1.
因为椭圆C的离心率为错误!，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3。

故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。

（2)当MN⊥x轴时,显然y0＝0.
当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由错误!,消去y并整理得(3＋4k2）x2－8k2x＋4(k2－3）＝0.
设M（x1,y1),N(x2,y2），线段MN的中点为Q(x3，y3）,又x1＋x2＝错误!，所以x3＝错误!＝错误!，y3＝k（x3－1)＝错误!.
线段MN的垂直平分线的方程为
y＋错误!＝－错误!（x－错误!）．
在上述方程中，令x＝0，得y0＝错误!＝错误!。

当k〈0时,错误!＋4k≤－4错误!；当k>0时，错误!＋4k≥4错误!.
所以－错误!≤y0<0或0<y0≤错误!.
综上，y0的取值范围是[－错误!，错误!］．
4．已知点P是圆O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作垂直x轴于点D的直线，动点Q满足错误!＝错误!错误!.
(1）求动点Q的轨迹方程；
(2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M、N，使错误!＝错误!(错误!＋错误!)(O是坐标原点)？若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1）设P（x0，y0)，Q(x，y)．
依题意,点D的坐标为（x0,0)，
∴错误!＝（x－x0，y)，错误!＝（0，y0），
又错误!＝错误!错误!，
∴错误!，即错误!,
∵点P在⊙O上，故x2，0＋y错误!＝9，
∴x2
9
＋
y2
4
＝1,
∴点Q的轨迹方程为错误!＋错误!＝1.
(2）假设椭圆错误!＋错误!＝1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足错误!＝错误!(错误!＋错误!），
则E(1，1）是线段MN的中点,且有错误!，即错误!.
又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆x2
9
＋错误!＝1上，
∴错误!，
两式相减，得
错误!＋错误!＝0，
∴k MN＝错误!＝－错误!，
∴直线MN的方程为4x＋9y－13＝0，
∴椭圆上存在不重合的两点M、N满足错误!＝错误!（错误!＋错误!),
此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0。

5．如图，
已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴的两端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
(1）求椭圆的方程；
（2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连结CM，交椭圆于点P,证明：错误!·错误!为定值；
(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解:（1）由题意,得2b＝2c＝2错误!.
∴b＝c＝2，a＝2，
∴所求椭圆的方程是错误!＋错误!＝1。

（2）证明:由(1）知,C(－2，0），D(2，0）．
由题意可设CM：y＝k(x＋2)，P（x1,y1),
∵MD⊥CD,∴M(2,4k）．
由错误!,消去y并整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0。

∵－2x1＝错误!，∴x1＝错误!。

∵y1＝k（x1＋2）＝错误!,
∴P（错误!,错误!)．
∴错误!·错误!＝2·错误!＋4k·错误!＝错误!＝4。

即OM，→·OP，→为定值．
（3)设Q（x0，0）（x0≠－2)，
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，
则MQ⊥DP，∴错误!·错误!＝0.
由(2)可知错误!＝(2－x0，4k)，
错误!＝（－错误!,错误!）．
∴错误!·错误!＝（2－x0）·错误!＋4k·错误!＝0.
即错误!x0＝0，∴x0＝0。

∴存在Q(0,0)使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点．
6．(2012·深圳市调研)如图,已知椭圆C:x2
a2＋错误!＝1(a>b>0)的离心率
为错误!,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r〉0）,设圆T与椭圆C交于点M与点N.
（1)求椭圆C的方程；
(2)求错误!·错误!的最小值,并求此时圆T的方程；
(3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于点R、S，O为坐标原点,求证：｜OR|·|OS|为定值．解：(1）依题意,得a＝2，e＝错误!＝错误!,
∴c＝错误!，b＝错误!＝1.
故椭圆C的方程为错误!＋y2＝1.
(2）易知点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1），N（x1，－y1)，不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上,∴y错误!＝1－错误!。

①
由已知T(－2，0)，
则错误!＝（x1＋2，y1），错误!＝(x1＋2，－y1）,
∴错误!·错误!＝（x1＋2,y1）·（x1＋2，－y1）
＝（x1＋2）2－y错误!
＝(x1＋2)2－(1－错误!）
＝错误!x错误!＋4x1＋3
＝错误!（x1＋错误!)2－错误!。

由于－2<x1<2,
故当x1＝－错误!时，错误!·错误!取得最小值－错误!。

把x1＝－错误!代入①式,得y1＝错误!，故M（－错误!，错误!)．
又点M在圆T上,代入圆的方程得r2＝错误!。

故圆T的方程为(x＋2）2＋y2＝错误!.
(3)证明:设P（x0，y0),
则直线MP的方程为y－y0＝错误!（x－x0），
令y＝0,得x R＝错误!，同理：x S＝错误!，
故x R·x S＝错误!。

②
又点M与点P在椭圆上，故x错误!＝4(1－y错误!），x错误!＝4(1－y错误!），代入②式，得：
x R·x S＝错误!＝错误!＝4.
所以|OR|·｜OS｜＝|x R｜·｜x S|＝|x R·x S|＝4为定值．。