2019-2020学年新人教A版必修一 集合的基本运算 学案

1．1.3集合的基本运算
第1课时并集与交集
学习目标 1.理解并集、交集的概念；2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集；3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一并集
思考某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？
答案19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．
(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.
知识点二交集
思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)图形语言：阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B ⊆B.
类型一求并集、交集
例1(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B；
(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<3}，求A∩B；
(3)集合A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝3}，求A∪B，A∩B，并说明其几何意义．
解(1)可以借助数轴求，A∪B如图．
A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}
＝{x|－1<x<3}．
A∩B＝{x|1<x<2}．
(2)集合A由数轴上的无限多段组成．但我们只需取与B有公共元素的，如下图．
A∩B＝{x|2<x<3}．
(3)A∪B＝{(x，y)|x＝2，或y＝3}，几何意义是两条直线x＝2，和y＝3上所有点组成的集合．A∩B＝{(2,3)}，几何意义是两条直线x＝2，和y＝3的交点组成的集合．
反思与感悟在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B⊆A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝∅的情况，切记不可漏掉．
跟踪训练1(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B，A∩B；
(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；
(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∪B，A∩B.
解(1)A∪B＝{x|x<2或x>3}，A∩B＝{x|－1<x≤1}．
(2)A∩B＝{x|2<x<3或4<x<5}．
(3)A∪B＝{(x，y)|y＝x＋2或y＝x＋3}，A∩B＝∅.
类型二翻译集合语言
例2已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．解A∪B＝B⇔A⊆B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝∅，满足A⊆B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A⊆B.
当2a<a＋3，即a<3时，要使A⊆B，
需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧
a <3，2a >5，
解得a <－4，或5
2
<a <3.
综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4，或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >5
2}．
反思与感悟 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 跟踪训练2 设集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________． 答案 a >－1
解析 如图，利用数轴分析可知，a >－1.
类型三 并集、交集的性质
例3 设想集合A 、B 、C 的各种情形，A ∩(B ∩C )等于(A ∩B )∩C 吗？试证明你的结论． 解 可设想A 、B 、C 相等，适合空集等各种情形． 若x 0∈A ∩(B ∩C )，依交集定义有x 0∈A ，且x 0∈B ∩C ， ∴x 0∈A ，且x 0∈B ，且x 0∈C .
∴x 0∈A ∩B ，且x 0∈C ，∴x 0∈(A ∩B )∩C . 即A ∩(B ∩C )⊆(A ∩B )∩C . 同理可证A ∩(B ∩C )⊇(A ∩B )∩C . ∴A ∩(B ∩C )＝(A ∩B )∩C .
反思与感悟 证明要紧扣定义，这是以后我们做证明题的共性． 跟踪训练3 猜想A ∩(B ∪C )＝(A ∩B )∪(A ∩C )吗？试证明你的结论． 解 若x 0∈A ∩(B ∪C )，依并集，交集定义有x 0∈A ，且x 0∈B ∪C ， ∴x 0∈A ，且x 0∈B ，或x 0∈C . 若x 0∈B ，则x 0∈A ∩B ， 若x 0∈C ，则x 0∈A ∩C ， ∴x 0∈(A ∩B )∪(A ∩C )， 即A ∩(B ∪C )⊆(A ∩B )∪(A ∩C )．
同理可证A∩(B∪C)⊇(A∩B)∪(A∩C)．
∴A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)．
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于()
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
答案 B
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
答案 C
3．设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x∈R|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是()
A．P∩Q＝P B．P∩Q Q
C．P∩Q P D．P∩Q＝Q
答案 C
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()
A．∅B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
答案 A
5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()
A．0或 3 B．0或3
C．1或 3 D．1或3
答案 B
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
一、选择题
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于() A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案 D
解析M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，则M∪N＝{－2,0,2}．
2．已知集合A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|－5<x<5}，则()
A．A∩B＝∅B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
答案 B
解析∵5>2，集合A，B在数轴上表示如图，
易知A∪B＝R.
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()
A．{y|0<y<1}
B．{y|0≤y≤1}
C．{y|y>0}
D．{(0,1)，(1,0)}
答案 B
解析∵B＝{y|y＝x2}，
∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．
4．点集A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，则A∪B中的元素不可能在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 C
解析A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}，表示的区域是平面直角坐标系中第一、二、四象限和x，
y 轴的正半轴，故不可能在第三象限．
5．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B 等于( ) A ．{x |1≤x <3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |0≤x <1或x >3} D ．{x |0≤x ≤1或x ≥3} 答案 C
解析 由题意知，A ∪B ＝{x |x ≥0}， A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}， ∴A *B ＝{x |0≤x <1或x >3}．
6．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( ) A ．{a |1<a <9} B ．{a |1≤a ≤9} C ．{a |6≤a <9} D ．{a |6<a ≤9}
答案 D
解析 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＋1<3a －5，
2a ＋1>3，
3a －5≤22，
解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]． 二、填空题
7．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有________个． 答案 2
解析 ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ， 解得x ＝0或2或－2或1.
经检验当x ＝2或－2时满足题意．
8．设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 答案 {x |－1<x <3} {x |1<x <2}．
解析 在数轴上分别表示出集合A ，B ， 易知A ∪B ＝{x |－1<x <3}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．
9．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤1
解析 A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图．
10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 三、解答题
11．已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，求实数a 的值．
解 若a ＝4，则a 2＝16∉(A ∪B )，所以a ＝4不符合要求；若a 2＝4，则a ＝±2，又－2∉(A ∪B )，∴a ＝2.
12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．
解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＝1，m ＋2≥3，
得m ＝3.
(2)A ∩B ＝∅，A ⊆{x |x <m －2或x ＞m ＋2}． ∴m －2＞3或m ＋2<－1.
∴实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．
13．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A 、B 、C ，同时参加数学和化
学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。