112导数的概念-河北省遵化市堡子店中学高中数学选修2-2课件(共31张PPT)
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【高中数学选修2-2】1.2.1常用函数的导数及导数公式 PPT 课件
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
高中数学选修2-2精品课件11：1.1.2 导数的概念
自由落体运动物体下落高度公式为 s 1 gt 2
2
求下落t=1秒时的瞬时速度，我们可以先求出1秒到t
秒间的平均速度，
v
s(t) s(1)
1 gt 2 2
1g 2
1 g t2
1
1 (t
1)g
t 1
t 1
2 t 1 2
一般地，求时刻t的速度，可以考虑当t变到t′时 平均速度的极限值.这时用记号
16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝
2s时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
D．0m/s
【解析】ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2 ＝－4Δt2， ∴ΔS＝－4Δt2＝－4Δt，
Δt Δt ∴v＝ lim ΔS＝ lim (－4Δt)＝0.
个值x，都对应一个确定的导数f ′(x).于是，在区间(a，
b)内，f ′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为
函数y=f(x)的导函数，记为f ′(x)或y′(或
y
' x
).
典例讲解
例1：一质点沿直线运动，位移s(单位：m) 与时间t(单位：s)的关系是s＝－t2＋20t，求在 3≤t≤3＋Δt时间段内质点的平均速度及在t＝3 s 时的瞬时速度．
1.1.2 导数的概念
学习目标
1．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景． 2．了解导数概念． 3．会利用导数的定义求函数的导数．
一．速度问题 1. 平均速度：
一汽车3小时走了120公里，则它的平均速度为40
公里/小时.即在时间t内，物体运动了距离s，则它的
平均速度为
v
s t
.
【人教B版】选修2-2数学：1.1.2《导数的概念》ppt课件
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001,
……
……
我们发现,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 13.1.
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
解：Δs f (3 Δt ) f (3)
(3 Δt )2 3 (32 3)
(Δt ) 6Δt
2
Δs (Δt ) 2 6Δt Δt 6 Δt Δt Δs ' f (3) lim lim(Δt 6) 6 Δt 0 Δt Δt 0
2
2
Δy 6Δx 3(Δx) 6 3Δx Δx Δx Δy ' f (1) lim lim (6 3Δx) 6 x 0 Δx x 0
2
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，
并求出在该点处的导数．
解：Δy f (1 Δx) f (1)
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，
并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时
速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001,
……
……
我们发现,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 13.1.
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
解：Δs f (3 Δt ) f (3)
(3 Δt )2 3 (32 3)
(Δt ) 6Δt
2
Δs (Δt ) 2 6Δt Δt 6 Δt Δt Δs ' f (3) lim lim(Δt 6) 6 Δt 0 Δt Δt 0
2
2
Δy 6Δx 3(Δx) 6 3Δx Δx Δx Δy ' f (1) lim lim (6 3Δx) 6 x 0 Δx x 0
2
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，
并求出在该点处的导数．
解：Δy f (1 Δx) f (1)
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，
并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时
速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(人教A版)数学【选修2-2】1-1-2《导数的概念》ppt课件
4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率：Δx＝ ； Δx Δy (3)取极限，得导数：f′(x0)＝ lim Δx. Δx→0
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
物体运动的瞬时速度
课前热身 1.瞬时速度． 设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0时位 于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0 ＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时 St0＋Δt－St0 间内物体的________，即 v ＝ . Δt
二
求函数在某点处的导数
【例2】 【分析】 方法．
求函数y＝ x在x＝1处的导数． 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本
【解法1】 ∵Δy＝ 1＋Δx－1， 1＋Δx－1 Δy Δx ∴ ＝ ＝ Δx Δx Δx 1＋Δx＋1 1 ＝ . 1＋Δx＋1 Δy ∴ lim Δx＝ lim Δx→0 Δx→0 1 ∴y′|x＝1＝2. 1 1 ＝2. 1＋Δx＋1
2．导数还可以如下定义 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
Δx→0
lim
fx0＋Δx－fx0 Δy ＝ lim Δx .我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导 Δx Δx→0 数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ lim fx0＋Δx－fx0 . Δx
当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻 t0的速度．Δt越小， v 就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时， St0＋Δt－St0 ΔS 这个平均速度的极限v＝ lim Δt ＝ lim 就是物体 Δt Δt→0 Δt→0 在时刻t0的速度即为________．
高中数学选修2-2-导数的几何意义-课件.ppt
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数在点 x0 处的导数 f (x0) 就是导函数f (x)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点x0
处的导数的方法之一。
课堂练习: 如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程 关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 ,就是
药物浓度 f t在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
例3 如图1.1 4,它 cmg/ml 1.1
表示人体血管中药 1.0
直观本质。
例1.求曲线y=x2 -1在点（-2，3）处的切线的斜率,
并写出切线方程。
解 : y f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] [(2)2 1]
x2 4x
y x2 4x x 4
x
x
f (1)= lim y lim (x 4) 4
x x0
x 0
k 4
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数在点 x0 处的导数f (x0) 、导函数 f (x) 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f (x0) ，就是在该点的 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它 是一个常数，不是变数。
3）函数在点 x0 处的导数 f (x0) 就是导函数f (x)
在 x x0 处的函数值，这也是 求函数在点x0
处的导数的方法之一。
课堂练习: 如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画 出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程 关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
0.1
0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 ,就是
药物浓度 f t在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
例3 如图1.1 4,它 cmg/ml 1.1
表示人体血管中药 1.0
直观本质。
例1.求曲线y=x2 -1在点（-2，3）处的切线的斜率,
并写出切线方程。
解 : y f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] [(2)2 1]
x2 4x
y x2 4x x 4
x
x
f (1)= lim y lim (x 4) 4
x x0
x 0
k 4
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数在点 x0 处的导数f (x0) 、导函数 f (x) 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f (x0) ，就是在该点的 函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它 是一个常数，不是变数。
河北专用人教A版高二数学选修2-2课件1.1.2导数的概念
练习 1.求函数 y x2 在点 x 1处的导数.
解：∵ △ y (1 △x)2 12 =1 2△x (△x)2 1
= 2△x (△x)2
∴
△y △x
=
2△x (△x)2 △x
=
2 △x
∴
y
|x1
lim (2
△x0
△x)
=2
注：分别在点 x 2 、3 、……处的导数又怎么求？
练习 2.求函数 y 1 在点 x 1 处的导数.
f ( x0 )
切线的斜率
导数的概念：(前面问题的共同特点是求瞬时变化率) 对于前面问题中的函数 s(t) ( f (x) ),当 t ( x )无限趋近于
0 时, s ( f )无限趋近于一个常数. t x
一般地,函数 y f ( x) 在 x x0 处的瞬时变化率是
lim
△x0
f ( x0
是可以任意小的) 位移增量是 △S S(t 0 △t ) S(t 0 )
∴v
△S △t
S(t0
△t) △t
S(t 0 )
即∵当△△tt越→小0 时,速,度v变会化有就一越个小趋,那势么,记平这均个速趋度势v为就△l越itm接0 v近即瞬△l时itm速0 △△度Stv .
∴瞬时速度 v
= lim v △t 0
f ( x) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于正无穷大时，
函数 f ( x)的极限是a ，记作 lim f ( x) a
x
也可记作:当 x 时，f ( x) a
当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f ( x) 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 f ( x) 的极限是a ，记作
高中数学选修2-2第一章-导数及其应用
选修2-2
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
高中数学 1.1.2导数的概念课件 新人教A版选修2-2
间 t 之间的函数关系为 s＝12t2，则 t＝2 时，此木块在水平方向
的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C．12 [答案] A
D．14
[解析] ∵ΔΔst＝122＋ΔtΔ2t－12×22＝12Δt＋2，
∴lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(12Δt＋2)＝2，故选A.
利用定义求函数在某点处的导数
• [答案] 0
[解析]
f ′(1)＝lim
Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim
Δx→0
1＋Δx2－Δ2x1＋Δx＋1＝Δlixm→0Δx＝0.
典例探究学案
瞬时速度
已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
成才之路 ·数学
人教A版 · 选修 2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 导数及其应用
第一章 1.1 变化率与导数
1.1.2 导数的概念
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课时作业
自主预习学案
• 1．理解函数的瞬时变化率的概念和导数的概念． • 2．能利用导数的定义求简单函数的导数．
• 重点：导数的定义． • 难点：用导数的定义求函数的导数．
f1＋Δ3Δxx－f1等于(
)
A．f ′(1)
B．3f ′(1)
1 C.3f
′(1)
D．f ′(3)
[答案] [解析]
C 原式＝13Δlixm→0 f1＋ΔΔxx－f1＝13f ′(1)．
人教a版数学【选修2-2】1.1.3《导数的概念》ppt课件
重点：导数的几何意义及曲线的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
导数的几何意义
新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当
Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的 直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 __________．
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
132＋Δx3＋43－13×23－43 Δx
＝Δlixm→0[4＋2·Δx＋13(Δx)2]＝4. ∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y
)
A．1
B．π4
C．54π
D．－π4
[答案] B
[解析] ∵y＝12x2－2，
∴y′＝ lim Δx→0
12x＋Δx2－2－12x2－2 Δx
＝ lim Δx→0
12ΔxΔ2＋x x·Δx＝Δlixm→0
x＋12Δx＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
数f(x)的导函数__________．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0 处的函数值，f即′(xf)′(x0)＝__________.
f′(x)|x＝x0
牛刀小试
1．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线 方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[答案] B
( 人教A版)高中数学选修22：1.2.11.2.2第1课时导数公式课件 (共31张PPT)
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 9:26:13 AM
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
1．曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线只有一条，但过点 P 求曲线 y＝f(x)的切线时， 点 P 不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条 切线． 2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方 程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的 导数值．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 1 课时 导数公式
考纲定位
重难突破
1.能根据定义求函数 y＝c，y 重点：基本初等函数的导数
＝x，y＝x2，y＝1x，y＝
x的
公式和导数的四则运算法 则，并能用公式和法则求简
导数.
单函数的导数.
2.掌握基本初等函数的导数 难点：指数函数和对数函数
[典例 2] 已知曲线 y＝ x，求：
(1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程；
(2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
[解析] (1)设切点坐标为(x0，y0)，由 y＝ x，
人教新课标A版高中数学选修22可编辑 第一章 导数及其应用 112 导数的概念PPT课件
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
f(a＋4t)－f(a＋5t)
(2)litm→0
t
.
❖ [分析] 已知函数f(x)在x＝a处的导数为A，
要求所给的极限值，必须将已给极限式转
化为导数的意义．
[解析] (1)∵liΔmx→0 f(a＋ΔΔxx)－f(a)＝A，
限．如果ΔΔyx不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，或说
无导数；
第四：f′(x0)的不同表达方式：
y′|x ＝ x0 ＝ f′(x0) ＝ li x→mx0
f(x)－f(x0) x－x0
＝
li
Δmx→0
f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
❖ [例1] 已知自由落体的运动方程为s＝gt2 ， 求：
❖ (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； ❖ (2)落体在t0时的瞬时速度； ❖ (平3)[均落分析速体]度在平；t均0＝速2度秒v 即到平t1均＝变2化.1率秒，而这瞬段时时速度间即内是的平
❖均(速4)度落v体在在Δt→t＝0 2时秒的时极限的值瞬，时为此速，度要．求瞬时速度，应
先求出平均速度，再求 v 当 Δt→0 时的极限值．
g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．
❖ [点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概 念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段 时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动 方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．
❖ 以初[解速析度] v∵0(vΔs0＝＞v00)(竖t0＋直Δt)上－12抛g(t的0＋物Δt)体2－，v0tt秒0－时12gt的20 高时＝(度速v0－为度gt0．s)(Δtt)－＝12gv(0Δtt－)2， gt2，求物体在t0时刻的瞬
(北师大版)数学选修2-2：第2章《导数的概念及其几何意义》ppt课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出了欢呼声姜牧本来准备展开双臂欢 5米远只要顶到必进无
高中数学 导数的概念_说课课件 新人教A版选修2-2
有了新的概念， 当然少不了例题和 练习.
例1的设置是对 导数概念的及时巩 固和诠释，同时规 范解题的格式.
让学生从中总结 求导的步骤，实现 由理论到技能的转 化.
导 数 DAOSHU
（四）成果巩固
分组练习
1、求函数 y 在x3
x1,2处， 的， 导6数. 2、求函数y=x4在
x1,2处， 的， 导6数.
信息技术与课 程整合有着无限 的开发空间，教 师要与时俱进， 多进行有意义的 探索.
观察：当△t→0时，平均速度的变化趋势？
导 数 DAOSHU
（二）主题探究
设计意图
结论：该运动员在[2+△t，2](△t<0)与 [2，2
+△t] (△t>0)时间内 ,
当△t → 0时，平均速度趋近于一个确定的值-13.1
li m ylim fx 0 x fx 0
x x 0 x 0
x
由瞬时速 度的定义推 出瞬时变化 率，这是推 出导数概念 最关键的一 步.
导 数 DAOSHU
（三）概念形成
导数的概念
y f(x) x x0
定义l1i函 m y 数lim fx 在0 x 处fx 的0瞬时变化率
x x 0 x 0
有些时候常识比知识更加 宝贵.
导 数 DAOSHU
（九）课 堂 小 结
设计意图
讨论回答
本节课你学到了什么？ 收获是什么？ 还有什么疑惑的地方？ 还想知道什么？
对学生来说这是对本 节课所学知识的总结和思 考，对教师来说这也是教 后反思的环节 .
小结并非意味着学习 的结束, 新问题的发现与 提出又是新的学习的开始 .
……
让我们共同探索吧！ 理念是教育的灵魂，但是理念只有体现到教学 每个（一）课堂引入 （ 2 分 钟 ） （二）主题探究 （ 5 分 钟 ） （三）概念形成 （ 4 分 钟 ） （四）成果巩固 （ 5 分 钟 ） （五）校正活动 （ 4 分 钟 ） （六）课堂活动 （ 7 分 钟 ） （七）实际应用 （ 5 分 钟 ） （八）拓展阅读 （ 4 分 钟 ） （九）课堂小结 （ 4 分 钟 ）
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h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度
v h h(2 t) h(2) 13.1 4.9t
t
t
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
2.用平均速度描述物体的运动状态有什么局限性？
如何更为准确的 刻画出物体在
某一时刻的运动 状态呢？
瞬时速度
学习目标:
1.知识目标: 理解导数的概念,初步掌握导数的计算方法, 并在具体数学问题中进一步理解导数的概念;
2.能力目标: 在导数概念建立的过程中,通过观察,数值逼近, 类比等方法体会数学概念的发生和形成;
△t = – 0.000001,v 13.0999951 △t =0.000001,v 13.1000049
……
……
v h 13.1 4.9t t
当Δt趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时, 平均速度 v
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
lim h(2 t) h(2)
t 0
t=-13.1源自表示“当t =2, Δt趋近于0时, 平均速度v 趋近于确定值–
13.1”.
从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时,
平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 当△t =0.001时, v 当△t =0.0001时, v 当△t = 0.00001, v 当△t =0.000001, v
……
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.
lim
t 0
h(2 t) h(2) t
=-13.1
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
1. lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
2.lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
1.1.2 导数的概念
旧知回顾
物理中:平均速度= s
t
y
数学中：平均变化率= x
表示f (x)由x1到x2的 f ( x2 ) f ( x1)
平均变化率
x2 x1
练习: 用平均变化率的概念,求出f (x) x3
从x 2到x 3的平均变化率 19
解: y f (3) f (2) 19
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049 当△t =0.0001时, v 13.10049 △t = 0.00001, v 13.100049 △t =0.000001,v 13.1000049
……
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149
y
|x=1=
2.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0);
2. 求平均变化率
y f (x0 x) f (x0) ;
限．如果ΔΔyx不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，或说
无导数；
例题1
求函数y=x2在x=1处的导数.
解：(1)Δy = (1+ Δx)2 -12 = 2Δx +(Δx)2,
Δy = 2Δx +(Δx)2 = 2 + Δx,
Δx
Δx
∴
lim
Δx→0
Δy Δx
=
lim (2
Δx→0
+
Δx)
=
2,∴
步骤总结：
x 3 2 1 y 19
x
(1).求y (2).求x. (3).求 y ;
x
探究讨论：
高台跳水运动中，运动员相对于 水面的 高度h(单位：m)与时间t（单位：s）
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度 v 0
49 问： 1.运动员在这段时间里是静止的吗？
x0
x
x0 x
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) x
f (x0 )
.
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 ) 或 y |xx0 ；
1. f (x0 )与x0的值有关，x最终趋向于0
.
2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
对导数的定义要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负， 但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变 量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不 是变量； 第三：函数 f(x)在 x0 处可导，是指 Δx→0 时，ΔΔyx有极
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
3.德育目标: 从物理中的瞬时速度过渡到数学中的导数过程中, 体会学科间的相互贯通,在探究实际生活的 例子中, 感受数学来源于生活,从而激发学生的学习热情;
如何求运动员的瞬时速度呢? 比如,t=2时的瞬时速度是多少？
不妨先考察t=2附近的情况， 即在[ 2+△t, 2 ]，[2, 2 +△t ]这段时间内的 平均速度
求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度
v h h(2 t) h(2) 13.1 4.9t
t
t
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
2.用平均速度描述物体的运动状态有什么局限性？
如何更为准确的 刻画出物体在
某一时刻的运动 状态呢？
瞬时速度
学习目标:
1.知识目标: 理解导数的概念,初步掌握导数的计算方法, 并在具体数学问题中进一步理解导数的概念;
2.能力目标: 在导数概念建立的过程中,通过观察,数值逼近, 类比等方法体会数学概念的发生和形成;
△t = – 0.000001,v 13.0999951 △t =0.000001,v 13.1000049
……
……
v h 13.1 4.9t t
当Δt趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时, 平均速度 v
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
lim h(2 t) h(2)
t 0
t=-13.1源自表示“当t =2, Δt趋近于0时, 平均速度v 趋近于确定值–
13.1”.
从物理的角度看, 时间间隔 |Δt |无限变小时,
平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 当△t =0.001时, v 当△t =0.0001时, v 当△t = 0.00001, v 当△t =0.000001, v
……
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.
lim
t 0
h(2 t) h(2) t
=-13.1
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
1. lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
2.lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
1.1.2 导数的概念
旧知回顾
物理中:平均速度= s
t
y
数学中：平均变化率= x
表示f (x)由x1到x2的 f ( x2 ) f ( x1)
平均变化率
x2 x1
练习: 用平均变化率的概念,求出f (x) x3
从x 2到x 3的平均变化率 19
解: y f (3) f (2) 19
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049 当△t =0.0001时, v 13.10049 △t = 0.00001, v 13.100049 △t =0.000001,v 13.1000049
……
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149
y
|x=1=
2.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0);
2. 求平均变化率
y f (x0 x) f (x0) ;
限．如果ΔΔyx不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，或说
无导数；
例题1
求函数y=x2在x=1处的导数.
解：(1)Δy = (1+ Δx)2 -12 = 2Δx +(Δx)2,
Δy = 2Δx +(Δx)2 = 2 + Δx,
Δx
Δx
∴
lim
Δx→0
Δy Δx
=
lim (2
Δx→0
+
Δx)
=
2,∴
步骤总结：
x 3 2 1 y 19
x
(1).求y (2).求x. (3).求 y ;
x
探究讨论：
高台跳水运动中，运动员相对于 水面的 高度h(单位：m)与时间t（单位：s）
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度 v 0
49 问： 1.运动员在这段时间里是静止的吗？
x0
x
x0 x
f
( x0
)
lim
x0
f (x0 Δx) x
f (x0 )
.
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 ) 或 y |xx0 ；
1. f (x0 )与x0的值有关，x最终趋向于0
.
2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
对导数的定义要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负， 但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变 量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不 是变量； 第三：函数 f(x)在 x0 处可导，是指 Δx→0 时，ΔΔyx有极
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
3.德育目标: 从物理中的瞬时速度过渡到数学中的导数过程中, 体会学科间的相互贯通,在探究实际生活的 例子中, 感受数学来源于生活,从而激发学生的学习热情;
如何求运动员的瞬时速度呢? 比如,t=2时的瞬时速度是多少？
不妨先考察t=2附近的情况， 即在[ 2+△t, 2 ]，[2, 2 +△t ]这段时间内的 平均速度