福建省漳州市八校联考高三数学下学期第三次联考试题 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市八校联考高三（下）第三次联考数学试
卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．i是虚数单位，复数=（）
A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i
2．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第25项为（）
A．2 B．6 C．7 D．8
3．x＞2是x＞5的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件
4．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线
对称．则下列判断正确的是（）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真
5．若，则f（x）的定义域为（）
A．B．C．
D．
6．已知变量x，y满足约束条件，则的取值X围是（）
A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]
7．（5分）（2011某某）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）
A．B．C．D．
8．（5分）（2013长宁区一模）在△ABC中，若+2=0，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
9．（5分）（2004某某）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）
A．B．3 C．D．
10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是（）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输了的概率是D．乙不输的概率是
11．（5分）（2013潼南县校级模拟）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x＜4的解集为R，则实数a的取值X围是（）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，2] 12．设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则
log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值为（）
A．﹣log20122011 B．﹣1
C．（log20122011）﹣1 D．1
二.填空题：（本大题共4个小题，每小题0分，共20分）
13．（2016春某某月考）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=..
14．（2016春某某月考）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（4，m）到其焦点的距离为
，则p的值是．
15．（2011七里河区校级二模）（文）定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1．已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为．
16．（2016春某某月考）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；②f（x）=x2+1；③f（x）=sin（x+）；④f（x）是定义在实数集R的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍约束函数”的是．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本题共5小题，共70分．）
17．（12分）（2013崇明县二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．
18．（12分）（2011春潍坊校级期末）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）
与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么X围内？
19．（12分）（2016春某某月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求三棱锥C﹣PBD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．
20．（12分）（2016春某某月考）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：
x=1上，离心率e=．设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）试判断△PQR能否为等边三角形？证明你的结论．
21．（12分）（2014某某二模）设函数f（x）=（x﹣a）e x+（a﹣1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）是f（x）的导函数，
（i）证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x0使得g（x0）=0；
（ii）某某数a的取值X围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2015某某二模）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．
（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（10分）（2016某某校级一模）已知曲线C1：（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（10分）（2011新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
2015-2016学年某某省某某市八校联考高三（下）第三次联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．i是虚数单位，复数=（）
A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i
【分析】复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：．
故选A．
【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题．
2．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第25项为（）
A．2 B．6 C．7 D．8
【分析】数字1有1个，数字2有2个，数字3有3个，数字n=6时有1+2+3+4+5+6=21个，由此可得答案．
【解答】解：数字共有n个，当数字n=6时，有1+2+3+4+5+6=21项，
所以第25项是7，
故选C．
【点评】本题考查数列的函数特性，考查学生的观察分析能力，属基础题．
3．x＞2是x＞5的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件
【分析】由x＞5，可得x＞2；反之不成立，即可判断出结论．
【解答】解：∵x＞5，可得x＞2；反之不成立．
∴x＞2是x＞5的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线
对称．则下列判断正确的是（）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真
【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．
【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题．
故选C．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．
5．若，则f（x）的定义域为（）
A．B．C．
D．
【分析】根据分式函数的分母不能为0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得不等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案．
【解答】解：根据题意有：
解得：﹣＜x≠0，
所以其定义域为：
故选C．
【点评】本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法，常见的有分母不能为零，负数不能开偶次方根，零次幂及真数要大于零等．
6．已知变量x，y满足约束条件，则的取值X围是（）
A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D．[3，6]
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值X围．
【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：
三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），
表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，
当（x，y）=（1，6）时取最大值6，
当（x，y）=（）时取最小值，
故的取值X围是
故选A．
【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
7．（5分）（2011某某）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）
A．B．C．D．
【分析】A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．
【解答】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，
C的正视图为
D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为
故选B
【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
8．（5分）（2013长宁区一模）在△ABC中，若+2=0，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【分析】由，得：，即：得出答案．
【解答】解：由，
得，
即
所以△ABC是直角三角形．
故选B．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的含义与物理意义，关键是通过向量的数量积为0得垂直关系，解题时经常用到．
9．（5分）（2004某某）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）
A．B．3 C．D．
【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．
【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．
由于a=4，b=3，
∴c=＜b
∴∠F1MF2＜90°，
∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．
令x=±得
y2=9=，
∴|y|=．
即P到x轴的距离为．
【点评】本题主要考查了椭圆的基本应用．考查了学生推理和实际运算能力．
10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是（）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输了的概率是D．乙不输的概率是
【分析】由已知条件分别求出甲获胜、甲不输、乙输和乙不输的概率，由此能得到正确选项同．
【解答】解：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，
∴甲获胜的概率是：1﹣=，故A正确；
甲不输的概率是：1﹣=，故B不正确；
乙输了的概率是：1﹣=，故C不正确；
乙不输的概率是： =．故D不正确．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．
11．（5分）（2013潼南县校级模拟）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x＜4的解集为R，则实数a的取值X围是（）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，2] 【分析】对a进行分类讨论，当a﹣2=0时，恒成立，当a﹣2≠0时，利用二次函数的性质，列出不等关系式，求解即可得答案，最后求两种情况的并集即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x＜4的解集为R，
①当a﹣2=0，即a=2时，不等式为0＜4恒成立，
故a=2符合题意；
②当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x＜4的解集为R，即不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，
则，解得﹣2＜a＜2，
故﹣2＜a＜2符合题意．
综合①②可得，实数a的取值X围是（﹣2，2]．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，要求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，将不等式解集的端点转化为一元二次方程的根．本题考查了一元二次不等式的应用，运用了分类讨论的数学思想方法，本题的易错点是容易忽略对a﹣2的讨论．属于中档题．
12．设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则
log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值为（）
A．﹣log20122011 B．﹣1
C．（log20122011）﹣1 D．1
【分析】由题意可得f′（x）=（n+1）x n，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，在方程中，令y=0可得，x n=，利用累乘可求
x1x2…x2011=，代入可求出答案．
【解答】解：对函数f（x）=x n+1求导可得，f′（x）=（n+1）x n，
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1）．
令y=0可得，x n=，
∴x1x2…x2011=．
∴log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011=log2012（x1x2…x n）
=log2012．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力，是中档题．
二.填空题：（本大题共4个小题，每小题0分，共20分）
13．（2016春某某月考）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B={x|1≤x≤2}..
【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．
【解答】解：∵集合A={x|x≥1}，
集合B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
∴集合A∩B={x|1≤x≤2}．
故答案为：{x|1≤x≤2}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
14．（2016春某某月考）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（4，m）到其焦点的距离为，则p的值是．
【分析】根据抛物线的定义得出A到准线的距离为，从而得出p的值．
【解答】解：抛物线的准线为x=﹣，
由抛物线的定义可知A到焦点的距离为4+=，
解得p=．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
15．（2011七里河区校级二模）（文）定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1．已知函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为 1 ．
【分析】根据题意可知当x≥0时，函数的定义域为[0，1]；当x≤0时，函数的定义域为[﹣1，0]．所以函数的定义域为[﹣1，1]此时长度为最大等于1﹣（﹣1）=2，而[0，1]或[﹣1，0]都可为区间的最小长度等于1，所以最大值与最小值的差为1．
【解答】解：当x≥0时，y=2x，因为函数值域为[1，2]即1=20≤2x≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；
当x≤0时，y=2﹣x，因为函数值域为[1，2]即1=20≤2﹣x≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤﹣x≤1即﹣1≤x≤0．
故[a，b]的长度的最大值为1﹣（﹣1）=2，最小值为1﹣0=1或0﹣（﹣1）=1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1
故答案为：1
【点评】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．
16．（2016春某某月考）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；②f（x）=x2+1；③f（x）=sin（x+）；④f（x）是定义在实数集R的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍约束函数”的是①④．（写出所有正确命题的序号）
【分析】根据新定义依次对函数的性质判断，从而求得．
【解答】解：对于f（x）=2x，|f（x）|≤3|x|，故①成立；
对于f（x）=x2+1，对任意M，存在x=M，使|f（M）|＞M|x|，
故②不是倍约束函数；
对于f（x）=sin（x+），|f（0）|＞M|0|，故③不是倍约束函数；
∵f（x）是定义在实数集R的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|，
∴|f（x）﹣f（0）|≤2|x﹣0|，
即|f（x）|≤2|x|，
故④成立，
故答案为：①④．
【点评】本题考查了学生的学习能力及分类讨论的思想方法应用．
三、解答题（本题共5小题，共70分．）
17．（12分）（2013崇明县二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．
【分析】（1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C﹣）=1，由C的X围，求
出2x﹣的X围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由
sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，将c与
cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．
【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣
=sin2x﹣﹣
=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，
∵﹣1≤sin（2x﹣）﹣≤1，
∴f（x）的最小值为﹣2，
又ω=2，
则最小正周期是T==π；
（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，得到sin（2C﹣）=1，
∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，
∴2C﹣=，即C=，
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=，
∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②，
联立①②解得：a=1，b=2．
【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）（2011春潍坊校级期末）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）
与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么X围内？
【分析】（1）将已知函数化简，从而看利用基本不等式求车流量y最大值；
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使，解之即可得汽车的平均速度的控制X围
【解答】解：（1）函数可化为
当且仅当v=40时，取“=”，即千辆，等式成立；
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使，
即v2﹣89v+1600≤0⇒v∈[25，64]
【点评】本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题．
19．（12分）（2016春某某月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求三棱锥C﹣PBD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．
【分析】（1）利用等体积转化，即可求三棱锥C﹣PBD的体积；
（2）利用三角形中位线性质证明线线平行，再证明线面平行即可；
（3）证明BD⊥平面PAC，利用不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC，即可得到结论．【解答】（1）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥平面BCD…（1分）
∴===
即三棱锥C﹣PBD的体积为．…（4分）
（2）证明：连接AC交BD于O，连接OE．…（5分）
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．…（6分）
∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE …（7分）
∴PC∥平面BDE．…（8分）
（3）解：不论点E在何位置，都有BD⊥CE．…（9分）
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（10分）
又∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…（11分）
∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE．…（12分）
【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查线面平行，线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）（2016春某某月考）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：
x=1上，离心率e=．设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）试判断△PQR能否为等边三角形？证明你的结论．
【分析】（1）利用椭圆的性质、离心率计算公式及a2=b2+c2即可得出；
（2）证明：设T（1，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．则=，，
只要证明==0即可，利用“点差法”中点坐标公式即可证明；
（3）分类讨论，利用等边三角形的性质和两点间的距离关系及其根与系数的关系即可得到满足条件的直线斜率k存在即可．
【解答】（1）解：由题意可得，解得，∴椭圆的方程为；（2）证明：设T（1，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则=，，
∴=，
由点P，Q在椭圆上，∴，，
两式相减得=0，
∵x1+x2=2，y1+y2=2y0，
∴．
∴．
∴PQ⊥RT．
即RT是线段PQ的垂直平分线，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①当PQ的斜率不存在时，△PQR不是等边三角形；
②当PQ的斜率存在时，由（2）可知：k=0时不符合题意．
设直线PQ的方程为y=kx+m．
联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
假设k≠0，△PQR为等边三角形，则，
设PQ的中点T（1，y0），此时，．
∴=，
∴，
代入化为==3（1+k2），
解得．
由△＞0，得64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＞0，
把代入上式得，∴符合题意．
∴△PQR能为等边三角形．
【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、垂直与数量积的关系、两点间的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力．
21．（12分）（2014某某二模）设函数f（x）=（x﹣a）e x+（a﹣1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）是f（x）的导函数，
（i）证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x0使得g（x0）=0；
（ii）某某数a的取值X围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．
【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）（i）确定函数g（x）在（0，a﹣2）上递减；在（a﹣2，+∞）上递增，即可证得结论；
（ⅱ）先确定a＞2，设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，由此可某某数a的取值X围．
【解答】（1）解：当a=1时，f（x）=（x﹣1）e x+1，f'（x）=xe x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
当f'（x）＜0时，x＜0；当f'（x）＞0时，x＞0
所以函数f（x）的减区间是（﹣∞，0）；增区间是（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）证明：（ⅰ）g（x）=f'（x）=e x（x﹣a+1）+（a﹣1），g'（x）=e x（x﹣a+2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
当g'（x）＜0时，x＜a﹣2；当g'（x）＞0时，x＞a﹣2
因为a＞2，所以函数g（x）在（0，a﹣2）上递减；在（a﹣2，+∞）上递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
又因为g（0）=0，g（a）=e a+a﹣1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一个x0使得g（x0）=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（ⅱ）解：若a≤2，可得在x∈[0，2]时，g（x）≥0，从而f（x）在[0，2]内单调递增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴a＞2
由（ⅰ）知f（x）在（0，x0）递减，（x0，+∞）递增，
设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，
若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
由f（2）≤0得（2﹣a）e2+2a﹣2+a≤0，∴，
又f（0）=0，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2015某某二模）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．
（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．
【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，
则r+r=2+，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．
【解答】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，
由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，
设圆半径为r，则r+r=2+，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）
【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（10分）（2016某某校级一模）已知曲线C1：（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）距离的最小值．
【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，再根据圆、椭圆的标准方程可得结论．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得M到C3的距离
=|sin（θ+α）﹣|，从而求得d取得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为
，
C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，
求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin （θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．
从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．
【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（10分）（2011新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为
|x﹣1|≥2．
由此可得x≥3或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得
|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}
由题设可得﹣=﹣1，故a=2
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。