【必考题】高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)(3)

【必考题】高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)(3)
一、选择题
1．123{3x x >>是12126
{9
x x x x +>>成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ）
A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0
B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0
C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0
D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0
3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张
卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ）
A
．
12
B ．
13
C ．2
3
D ．
34
4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）
A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
5．已知向量()1,1m λ=+r ，()2,2n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-r r r r ，则λ=（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
6．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''
=,//'''B C y 轴,
则ABC V 中AB 边上的中线的长度为( )
A ．
73
2
B ．73
C ．5
D ．
52
7．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )
A ．相交
B ．平行
C ．异面而且垂直
D ．异面但不垂直
8．已知,a b ∈R ，函数32
,0()11(1),03
2x x
f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<
D ．1,0a b >->
9．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin lg 2b A c
+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
10．设集合(){
}
2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）
A ．{}22x x -≤<
B ．{}2x x ≥-
C ．{}2x x <
D ．{}
12x x ≤<
11．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
12．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
56
二、填空题
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
14．函数()22,0
26,0
x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．
15．若过点()2,0M 3()2
:0C y ax a =>的准线l 相交于点
B ，与
C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v
，则a =____．
16．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则32z x y =-的最小值是__________．
17．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年
级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
18．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB •=u u u r u u u r
，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设
OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则m
n
=__________．
19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 20．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
三、解答题
21．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的
极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，曲线C 的极坐标方程为2
23sin 1ρρθ+=
（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程； （2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t
l y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
(
)
5,0，离心率为5.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
24．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()
1,1P f 处的切线方
程为31y x =+．
（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]
3,1-上的最大值． 25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．
(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数
b 的取值范围．
26．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个
零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③
.
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在
之外的零件认定为是“次品”.
①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望
.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 试题分析：因为123{
3
x x >>12126{
9
x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{
1
x x ==满足12126{
9
x x x x +>>，但
不满足123{
3
x x >>，必要性不成立，所以选A.
考点：充要关系
2．D
解析：D 【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．
从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2
46C =种，数学之和为偶数的有13,24
++两种，所以所求概率为1
3
，选B ． 考点：古典概型．
4．C
解析：C 【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴()()0m n m n +⋅-=r r r r
. ∴
，即2
2
(1)1[(2)4]0λλ++-++=，
∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】
由斜二测画法规则知AC BC ⊥,即ABC V 直角三角形,其中3AC =,8BC =,所以
73AB =所以AB 73. 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.
7．D
解析：D
【解析】
解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …
时，32321111
()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=
-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】 当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a
=
-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …
时，32321111
()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，
当10a +„，即1a -„时，0y '…
，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；
当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，
1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：
∴01b a <-且32
11(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31
0(116
,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由1lg lg()lgsin 2b A c
+==-22lg
lg 22
b b
c c =⇒=且2
sin A =
A 为锐角，所以45A =o ，由2b =，根据正弦定理，得22sin )cos sin
B
C B B B =
=-=+o ，解得cos 090B B =⇒=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q
{}2M N x x ∴⋃=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.
【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．C
解析：C
【解析】
试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有
6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为2
3
，选C.
【考点】古典概型
【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.
二、填空题
13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取
300
6018
1000
⨯=件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．
14．2【解析】【详解】当x≤0时由f（x）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f（x）=2x﹣6+lnx单调递增则f（1）＜0f（3）＞0此时函数f（x）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：
解析：2
【解析】
【详解】
当x≤0时，由f（x）=x2﹣2=0，解得x=1个零点；
当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，
则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】
判断函数零点个数的方法
直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，
图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，
性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8
【解析】 【分析】
由直线方程为2)y x =-与准线:a
l x 4
=-
得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.
【详解】
解：抛物线()2
:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4
=-
过点()2,0M
2)y x =-，
联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪
⎨=-⎪
⎩
，
解得，交点B
坐标为(a 4-
， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v
=，
所以点M 为线段AB 的中点，
所以00()4423(8)402a x a y ⎧+-⎪
=⎪
⎪⎨-+⎪+⎪=⎪⎩
，解得()
(,)a 3a 8A 44++，
将()
(,)a 3a 8A 444
++代入抛物线方程， 即()(
)()23a 8a
a 444
+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
16．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线
解析：6 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322
z
y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由32z x y =-可得322
z
y x =-． 平移直线322z y x =
-，结合图形可得，当直线322
z
y x =-经过可行域内的点A 时，直线
在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)， ∴min 326z =⨯=，
即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】
求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：
a z
y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当
0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值；②当
0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b
取最小值时，z 取最大值．
17．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人
解析：60 【解析】 【分析】
采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4
300604556
⨯=+++.
故答案为60.
18．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则
解析：3 【解析】
因为30AOC ∠=o
，所以cos cos302OC OA AOC OC OA
⋅∠===⋅o
u u u r u u u r u u u r u u u r
，从而有
22=u u u r u u u r u u u r
．因为1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
2=，化简可得222334m m n =+，整理
可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则
3m n
= 19．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的
解析：8 【解析】 【详解】
由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．
20．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间
解析：6
π-
. 【解析】
分析：由对称轴得π
π()6
k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因
为ππ22ϕ-
<<，所以π
0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T ω
=
；(3)由π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
三、解答题
21．（1）P ，22(4x y ++=；（2）110
-. 【解析】 【分析】
（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出.
【详解】
（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ
代入计算，36
P x π
===
，6P y π=
＝1
2
= ∴点P
的直角坐标(
，由2sin 1ρθ+=
，得221x y ++=，
即(2
24x y ++=，所以曲线C
的直角坐标方程为(2
24x y ++=
（2）曲线C
的参数方程为22x cos y sin θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参
数），得直线l 的普通方程为270x y --=.
设()
2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，那么点M 到直线l 的距离，
(
)11d θϕ-+
=
=
=
11
1≥
=，
所以点M 到直线l
1. 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．
22．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
5533
a a =⇒=，且有2235
b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
22000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)
()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
， 化简得()2
2
00
940y kx k ---=，即()()2
2
20
00
9240x k kx y y --+-=，
则1k 、2
k 是关于k 的一元二次方程()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8. 【解析】 【分析】
(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求. 【详解】
(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．
(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩
,
∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |
=
∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． 【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 24．（1）()3
2
245f x x x x =+-+；（2）13。

【解析】 【分析】
（1）由f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x=-2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式．
（2）先求函数的导数f′（x ），通过f′（x ）＞0，及f′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可． 【详解】
（1）依题意，()2
32f x x ax b =++'，且()14f =，()13f '=，()20f '-=，
∴143231240a b c a b a b +++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
，解得2a =，4b =-，5c =． ∴()3
2
245f x x x x =+-+．
（2）由（1）知()2
344f x x x '=+-，
令()0f x '=，得2
3
x =或2x =-． ∴当2x <-或23x >
时，()f x 为增函数；当2
23
x -<<时，()f x 为减函数． ∴()f x 在2x =-时取极大值，()213f -=． 又∵()14f =，
∴函数()f x 在区间[]
3,1-上的最大值为13． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，
()f x 的单调递减区间是10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
(2) 211b e -≤ 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；
（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2⇔1+
1
x
﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x
﹣lnx
x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：
（1）在区间()0,∞+上， ()11
ax f x a x x
-'=-
=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a
=， 在区间10,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+
x
b x x
-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x
=+-， 则()222
11ln ln 2x x g x x x x -='--
-=， 易得()g x 在(2
0,e ⎤⎦上单调递减，在)
2,e ⎡+∞⎣上单调递增，
所以()()2
2
min 11g x g e
e ==-，即2
1
1b e -≤.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x > 26．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②
.
【解析】 【分析】
（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。

①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出。

②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取值的概率，进而求出。

【详解】 （I ）
，
，
，
，
，
，
由图表知，
，
，，
所以该设备的级别为丙级.
（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，
依题意，～
，故
.
②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，
，
，
故.
【点睛】
对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次独立重复试验中，事件A 发生的次数 ，其
期望为
）利用公式得出。