《确定圆的条件》示范公开课教学设计【九年级数学下册北师大】

第三章圆
3.5确定圆的条件
一、教学目标
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.
2．了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，会用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3．进一步体会解决数学问题的策略.
二、教学重点及难点
重点：理解“确定圆的条件”及应用方向．
难点：利用“确定圆的条件”的知识解决相关问题．
三、教学用具
多媒体课件，圆规．
四、相关资源
《探究过不共线三点确定一个圆》动画.
五、教学过程
【情境导入】
《草原放牧》
草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得三个放牧点到定居点的距离相等.如果三个放牧点的位置如图，那么如何确定定居点的位置？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这个问题．
设计意图：通过有实际问题的展示，导入本节课的学习内容．
【探究新知】
我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆呢？经过几点能确定一个圆呢？本节课我们将进行有关探索．
设计意图：与作直线类比，引出确定圆的条件问题．
想一想我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径，根据圆的定义大家觉得作圆的关键是什么？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后得出答案．
答：由圆的定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，因此作圆的关键就是确定圆心的位置和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定了．
设计意图：让学生自主探索确定圆的条件．
做一做（1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
（2）作圆，使它经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
（3）作圆，使它经过已知点A，B，C（A，B，C三点不在同一条直线上）．你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
师生活动：教师出示问题，分析，引导；学生分组讨论；最后师生共同得出结论．答：（1）因为作圆实质上就是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定
下来，半径就随之确定下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个，如下图所示．
（2）已知点A，B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A，B的距离相等．根据以前学过的线段垂直平分线的性质可知，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上．在线段AB垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在线段AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到点A的距离即为半径，这样圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，因此有无数个圆心，作出的圆也有无数个，如下图所示．
（3）要作一个圆经过A，B，C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到这三点的距离相等．因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
作法：①连接AB，BC．
②分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O．
③以O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆．
在上面的作圆过程中，因为直线DE和FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等，所以经过A，B，C三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆．结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
设计意图：由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件．
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
【典例精析】
例如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案．解：最少使用2次，就可以找到圆形工件的圆心，第一次画出A1B1的垂直平分线M1N1，第二次画出A2B2（A2B2与A1B1不平行）的垂直平分线M2N2，两线的交点就是圆形工件的圆心．理由：圆心到A1B1两点的距离相等，因此圆心一定在A1B1的垂直平分线M1N1上．同理，圆心也一定在A2B2的垂直平分线M2N2上．直线M1N1与直线M2N2的交点到点A1，B1，A2，B2的距离相等，所以它是圆心．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
【课堂练习】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别
为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）．A．（2，3）B．（3，2）
C．（1，3）D．（3，1）
2．下列说法错误的是（）．
A．过一点有无数多个圆
B．过两点有无数多个圆
C．过三点只能确定一个圆
D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
3．三角形的外心具有的性质是（）．
A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外D．外心在三角形内
4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为
配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该
是（）．
A．第①块B．第②块
C．第③块D．第④块
5．已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点？
6．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵
树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花
坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹)．
（2）若在△ABC中，AB=8m，AC=6m，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．C．3．B．4．B．
5．答：作图略；锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
6．解：（1）如图所示，⊙O即为所求作的花坛的位置．
（2）∵∠BAC=90°，AB=8 m，AC=6 m，∴BC=10 m．
∴△ABC外接圆的半径为5 m．
∴小明家圆形花坛的面积为25π m2．
设计意图：通过对本题的学习，加深对本节课所学知识的理解．
六、课堂小结
1．三角形的外接圆及其相关概念
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.5确定圆的条件
1．三角形的外接圆及其相关概念
2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆。