弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
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000弹塑性力学-应力理论
y 32
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
塑性力学 ppt课件
或者
l l n ij i j S n ij l i 2 S n n
2 n
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有 截面上的应力的有无、大小、方向等情况。 一点的应力状态的描述： 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2） 张量表达： (i,j=x,y,z) x xy xz
1 2 2 3 3 1
x
I3 . .
xy xz y yz . z
23 1
讨论：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 三个主平面是相互正交的； 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 应力特征方程的解是唯一的； 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关； I2与塑性 变形有关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
弹性、塑性变形的力学特征
可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆 -关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性 与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关 对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形—— 影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） 变形机理：弹性变形——原子间距的变化； 塑性变形——位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变 形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑 性变形与工模具的弹性变形共存。
金属塑性加工原理
工程弹塑性力学题库及答案
(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。
弹塑性力学第01章
研究完全弹性体，如板，三维物体等。因此问题分析只能从 微分单元体入手，分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，
因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。
也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。而偏 微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊
边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。
广义变分原理，环壳解析解和汉字宏观字形编码（钱码）等。他早期提出的“浅壳大
扰度方程”被国际学术界誉为“钱伟长方程”；在圆薄板大扰度问题上，他提出的以
中心扰度为小参数的摄动法，在国际上称“钱伟长法”。有关圆薄板大扰度问题的工
作，在1955年获中国科学院颁发的国家科学奖二等奖，广义变分原理方面的工作在 1982年获国家自然科学奖二等奖，此外还有多项科研成果分别获北京市、上海市科 学技术进步奖。最近，钱伟长教授关于非克希霍夫--拉夫假设板壳理论的工作，是对 固体力学基础理论的新贡献。1997年获何梁何利基金“科学与技术成就奖”。
▪ 近似计算方法(数值计算方法)的产生和应用
学习目的
▪ 弹性力学作为一门基础技术学科，是近 代工程技术的必要基础之一。在现代工程结 构分析，特别是航空、航天、机械、土建和 水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着 弹性力学的基本公式和结论。弹性力学又是 一门基础理论学科，它的研究方法被应用于 其他学科。近年来，科技界将弹性力学的研 究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科 的研究中。
▪ 钱伟长教授是我国著名的科学家、教育家、社会活动家，为我国的教育事业作出 了重要的贡献。
▪ 钱学森，著名科学家。我国 近代力学事业的奠基人之一。
在空气动力学、航空工程、
喷气推进、工程控制论、物
理力学等技术科学领域做出
弹塑性力学第一章
ij 0
当i 当i
jj时时（i,
j
1,2,3)
2019/9/9
27
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
由 ij 定义9个
元素组成矩 阵为单位阵：
11 21 31
12 22 32
13 1
23
0
33 0
一个下标。
x3
3
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
r
e3 x2
x1 e1 e2
2019/9/9
21
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
3. 张量：有大小，并具有多重方向性的量
如应力 、应变 ，张量的符号记法。
3 3
同样位移矢量u，用ui表示位移，ij 表示 应力 张量。
2019/9/9
25
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
x a y i
ij
j
x1 x2
a11 y1 a21 y1
a12 y2 a22 y2
a13 y3 a23 y3
x3
a31 y1
2019/9/9
7
§1-1 弹塑性力学的任务和对象
如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并 存在永久变形，变形固体在外因作用时已进
入塑性阶段， 曲线不是单值函数。
当然变形体常遇到在物 体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑
性交织在一起 。
2019/9/9
当i 当i
jj时时（i,
j
1,2,3)
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27
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识
由 ij 定义9个
元素组成矩 阵为单位阵：
11 21 31
12 22 32
13 1
23
0
33 0
一个下标。
x3
3
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
r
e3 x2
x1 e1 e2
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21
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
3. 张量：有大小，并具有多重方向性的量
如应力 、应变 ，张量的符号记法。
3 3
同样位移矢量u，用ui表示位移，ij 表示 应力 张量。
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25
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
x a y i
ij
j
x1 x2
a11 y1 a21 y1
a12 y2 a22 y2
a13 y3 a23 y3
x3
a31 y1
2019/9/9
7
§1-1 弹塑性力学的任务和对象
如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并 存在永久变形，变形固体在外因作用时已进
入塑性阶段， 曲线不是单值函数。
当然变形体常遇到在物 体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑
性交织在一起 。
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弹塑性力学课件-塑性基本概念
（2）随动强化模型
由于Bauschinger效应减小了反方向加载时的屈服应力，认为拉伸屈
服应力和压缩屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始终是不变
的。其表达式可写为
| ˆ( p ) | s 其中，ˆ ( p ) 背应力（back stress）是塑性应变 p的单调递增函数。相
塑性基本概念
1.基本实验 2.基本假设 3.简化模型 4.应力分析
1.基本实验
1.1材料简单拉压实验
弹性与塑性的根本区别不在于应力-应 变关系是否线性，而在于卸载后变形 是否可恢复
没有明显屈服平台的应力应变曲线 有明显屈服阶段的拉伸曲线（低碳钢类） （铝合金类）
卸载后再加载
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。 在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但 弹性极限及屈服极限有升高现象，后继屈服应力 升高程度与塑性变形的历史有关，决定于前面塑 性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化。
（1）等向（各向同性）强化模型
认为拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）相等，也
就是 ' ''
Bauschinger效应。
，即在拉伸和压缩两个方向对称强化。不考虑
( )
是反映塑性变形历史的参数。例如可取为累积塑性应变： d p
或取为塑性功 W P d p
（2）静水压力对塑性变形的影响 材料的塑性变形与静水压力无关。对钢试件做了有静水压力的拉伸试验
，并同无静水压力的拉伸试验对比发现，静水压力对初始屈服应力影响很小 ，可以忽略不计。
因而，对钢等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对 于铸铁、岩石、土壤等内部较疏松的材料，静水压力对屈服应力和塑性变形 的大小都有显著的影响，不能忽略。
工程塑性力学(第一章)
σ σ
σ′
σ′
σs
σs
O
εp ε
εe
ε
O
εp ε
εe
ε
图 1-2
卸载和再加载
σ ′′
图 1-3 卸载后反向加载到屈服
1.2.2 没有明显屈服阶段的拉伸曲线（铝合金类）
屈服极限（应力）规定：0.2%塑性应变对应的应力， σ 0.2
σ σb σ0.2
σ′
O
0.2%
ε
σ ′′
图 1-4 没有明显屈服平台的应力应变曲线
1.5.2 卸载
从介于 Ps 和 Pe 之间的某一值 P * 卸载 ΔP ，服从弹性规律。应力应变的改变 量为
Δσ 1 = Δσ 3 =
Δε 1 = Δε 3 =
σ s ⎛ ΔP ⎞
⎛ ΔP ⎞ ⎜ ⎟ ， Δσ 2 = σ s ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ P ⎟ ⎟ 2 ⎝ Pe ⎠ ⎝ e ⎠
（1-20） （1-21）
σ
σs
E’
E
εs
图 1-7
ε
幂强化模型
σ = Aε n ， 0 ≤ n ≤ 1
（1-3）
σ
n =1
A
n = 1/ 2 n = 1/ 3 n=0
1
ε
图 1-8
Ramberg-Osgood 模型
σ /σ0
ε / ε 0 = σ / σ 0 + (σ / σ 0 ) n
3 7
(1-4)
1
n = 0 n =1 n=2 n=5 n=∞
位移：
(1-18)
δ y = ε 2 ⋅ l = 2ε1l =
或
2σ 1 l E
δy P = (1 + 2 ) − 2 δe Pe
σ′
σ′
σs
σs
O
εp ε
εe
ε
O
εp ε
εe
ε
图 1-2
卸载和再加载
σ ′′
图 1-3 卸载后反向加载到屈服
1.2.2 没有明显屈服阶段的拉伸曲线（铝合金类）
屈服极限（应力）规定：0.2%塑性应变对应的应力， σ 0.2
σ σb σ0.2
σ′
O
0.2%
ε
σ ′′
图 1-4 没有明显屈服平台的应力应变曲线
1.5.2 卸载
从介于 Ps 和 Pe 之间的某一值 P * 卸载 ΔP ，服从弹性规律。应力应变的改变 量为
Δσ 1 = Δσ 3 =
Δε 1 = Δε 3 =
σ s ⎛ ΔP ⎞
⎛ ΔP ⎞ ⎜ ⎟ ， Δσ 2 = σ s ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ P ⎟ ⎟ 2 ⎝ Pe ⎠ ⎝ e ⎠
（1-20） （1-21）
σ
σs
E’
E
εs
图 1-7
ε
幂强化模型
σ = Aε n ， 0 ≤ n ≤ 1
（1-3）
σ
n =1
A
n = 1/ 2 n = 1/ 3 n=0
1
ε
图 1-8
Ramberg-Osgood 模型
σ /σ0
ε / ε 0 = σ / σ 0 + (σ / σ 0 ) n
3 7
(1-4)
1
n = 0 n =1 n=2 n=5 n=∞
位移：
(1-18)
δ y = ε 2 ⋅ l = 2ε1l =
或
2σ 1 l E
δy P = (1 + 2 ) − 2 δe Pe
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
弹塑性力学基础
温加工
冷加工 在不产生回复和 再结晶温度以下
改善产品组织性能
降低金属变形抗力 改善金属塑性 提高强度
冷加工－退火 表面光洁，尺寸精确， 组织性能良好
加热温度 变形终了温度 变形程度 冷却速度
冷变形及热变形
冷变形
变形温度低于回复温度时，金属在 变形过程中只有加工硬化而无回复与再 结晶现象，变形后的金属只具有加工硬 化组织，这种变形称为冷变形。
继续提高变形速度，塑性又开始 下降：随变形速度↑，变形抗力
升高，达到相应于更小变形程度 下的断裂抗力之值。 第二次上升：热效应起作用，温度↑ ，变形抗力下降。
第二次下降：热效应极大，把金属加热到出现液相或大大降
低其晶间物质的强度。
4.变形程度 变形程度对塑性的影响，是同加工硬化及加工过程中伴 随着塑性变形的发展而产生的裂纹倾向联系在一起的。 在热变形过程中，变形程度与变形温度-速度条件是相 互联系着的，当加工硬化与裂纹胚芽的修复速度大于发生速
4、具有纤维组织的金属，各个方向上的机械性能 不相同。顺纤维方向的机械性能比横纤维方向的好。金 属的变形程度越大，纤维组织就越明显，机械性能的方 向性也就越显著。
使纤维分布与零件的轮廓相符合而不被切断； 使零件所受的最大拉应力与纤维方向一致，最大 切应力与纤维方向垂直。
实例：
当采用棒料直接经切削加工制造螺钉时，螺钉头部与杆部 的纤维被切断，不能连贯起来，受力时产生的切应力顺着纤维 方向，故螺钉的承载能力较弱(如图a示 )。 当采用同样棒料经局部镦粗方法制造螺钉时(如图b示)，纤 维不被切断且连贯性好，纤维方向也较为有利，故螺钉质量较 好。
3）金属表面形成吸附润滑层，塑性↑
提高金属塑性的主要途径
提高塑性的主要途径有以下几个方面： (1)控制化学成分、改善组织结构，提高材料的成分和组 织的均匀性； (2)采用合适的变形温度—速度制度；
弹塑性力学-01应力分析
A x
pv2px 2p2 ypz2
l2
1 2m 2 2 2n2
2 3
2 v
pv2
2 v
l2 1 2 m 2 2 2 n 2 3 2v 232
3、应力圆
123
v l21 m 22 n 23
v 2 l21 2 m 22 2 n 23 2 v 2
l2m 2n21
1 2 a , 2 0 , 3 a
ma x1 23
3a 2
39
例2：已知某点的应力状态为： x 0, y 20, z 10, xy10, yz0, zx20
求：作用于过该点，方程为 3x 3y2z1 的平面外 侧的正应力和切应力。
解： l:m:n3: 3:2
l2m 2n21
p xl x m yx nzx p ylx ymy nzy p zlx zm y znz
李同林
• 工程弹塑性力学
杨伯源、张义同
• 工程弹塑性力学
毕继红、王晖
• 弹塑性力学引论
杨桂通
• 弹性力学（上、下册） 徐芝伦
• 塑性力学
夏志皋
• 岩土塑性力学原理 郑颖人 沈珠江
. 14
第一章 应力分析
§ 1－1 应力状态 § 1－2 应力张量及分解 § 1－3 等斜截面上的应力、应力状态参数 § 1－4 平衡微分方程
x
a
lco ay,smsxyian
n
xco assian yco assian xy co2as
ax 2ysi2n axy co2as
37
3. 主应力和最大切应力
v 3I1v 2I2 vI30
I1xyzxy
I 2 xy yz zx x 2 y y 2 z z 2 xxy x 2y
弹性与塑性力学总结28页
9两种屈服准则
9 .1T resca 屈 服 准 则
1 3s (1 23 )
9.2M ises屈 服 准 则
(1 2 ) 2 (2 3 ) 2 (3 1 ) 2 2 s 2
屈服函数 屈服曲面 加载面*
9 .3 T r e s c a 屈 服 函 数 、 曲 面
f(ij) (1 3 )s (1 2 3 )
6.3最小势能原理与最小余能原理
7弹性薄板的弯曲问题* 7.1薄板是指板厚与板的最小边长满足下列关系 7.2弹性曲面的微分方程 D 4w （ x,y） q(x,y) 7.3薄板的边界条件
塑性力学总结 8塑性力学的基本概念
8.1简单拉伸下的应力应变曲线 8.2包辛格效应* 8.3静水压力试验 8.4简单拉伸下的应力应变曲线的简化模型
(
y
z )] xy
zx
G
y
1 E
[
y
( x
z )]
yz
yz
G
z
1 E
[ z
( x
y )]
zx
zx
G
导出表达形式
ij2 G ij E kkij2 G ij 3 E m ij
3.1广义虎克定律的表达形式
i j 2 G i j k k i j 2 G i ji j 2 G i j 3 m i j
2.4二维情况下的变形（应变）协调方程
2x
y2
2y
x2
2xy
xy
2.5变形（应变）协调方程的意义
如能正确求出一点的位移函数，根据应变位移方程求出应 变分量，则变形（应变）协调方程自然满足。而用力法解 题时，则需考虑应变协调方程。
3弹性应力应变关系
3.1广义虎克定律的表达形式
弹塑性力学-1 应力分析
斜截面上的应力 分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表 示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都 换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
2 2 2 pvy pvz 总应力 pv pvx
正应力 v lPvx mP vy nP vz l 2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx 剪应力 v pv2 v2
对于动力学问题，还要给出初始条件。
弹塑性力学的基本解法： 根据基本方程求解 精确解法 即能满足弹塑性力学中全部方程的解。 近似解法 即根据问题的性质，采用合理的简化假 设，从而获得近似结果。 有限元数值分析方法 它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复 杂的物理关系都能算出正确的结果。
1-2 三维应力状态分析
z
pvz
斜截面的法线v与坐标轴 正向夹角余弦：
xy y yx xz yz zy zx pvx x z
x
pvy
cos(v, x) l , cos(v, y ) m, cos(v, z ) n
y
四面体平行于坐标轴的棱 边长度为dx，dy，dz 斜截面的面积为dS 静力平衡方程
3 基本方程与基本解法
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学 和物理学三方面来进行研究。 几何学方面 建立位移和应变之间的关系。 几何方程，位移边界条件 运动学方面 建立物体的平衡条件。 运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件
以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。
物理学方面 建立应力与应变之间的关系。 本构方程
正应力 p cos cos2 剪应力 p sin sin cos
1-弹塑性力学第一章 绪 论 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件
第一章 绪 论 (Introduction)
1.1 研究内容
弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科， 是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体 内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
第一章 绪 论 (Introduction)
1.4 基本假设
假设的目的：为了简化研究 ✓ 连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积） ✓ 均质、各向同性假设 ✓ 弹、塑性体假设
弹性体——满足广义虎克定律； 塑性体——符合体积不可压缩规律
✓ 小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性： 各个变形瞬时）
✓ 无初始应力作用假设
1.1 研究内容
弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科， 是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体 内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
第一章 绪 论 (Introduction)
1.4 基本假设
假设的目的：为了简化研究 ✓ 连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积） ✓ 均质、各向同性假设 ✓ 弹、塑性体假设
弹性体——满足广义虎克定律； 塑性体——符合体积不可压缩规律
✓ 小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性： 各个变形瞬时）
✓ 无初始应力作用假设
弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
➢ 例题1
设物体内某点的应力状态由如下应力分量确定，即x=0， xy=1，xz =2，y =2，yz=0，z=1，试求通过点作用在其方向余 弦为 l m 1 ,n 3 的斜面上的正应力、剪应力和全应力。
11 11
解： 由式(1-17)，得斜面上全应力的各分量为
S x lx m y x nz x1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 2 7 1 1 S y lx y m y nz y1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 0 3 1 1
轴上点
1 2
(1
2
)
半 径： 12(x y)2 x2y
2020/10/13
应力莫尔圆
弹性与塑性 力学基础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 ➢ 边界同时存在正应力、剪应力情况
主应力状态1、2和0 的确定
剪应力为零时的正应力的值为
1 2 1 2xy x 2y2x2y
xz zx
四面体受力图
弹性与塑性 力学基础
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力 表示方法
受力物体内一点的应力状态，可用三个相互垂直面上的应力分量
x，y，z以及xy，yz，zx确定。
即：斜面上正应力、全应力S及 剪应力可由下式确定：
SxlSym Sznxl2ym 2zn22lxm 2ym y2znnzxl SxlSym Szn xl2 ym 2 zn2 2lxm 2 ym y 2 znn zxl
(1-16)
四面体受力图
弹性与塑性 力学基础
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
设物体内某点的应力状态由如下应力分量确定，即x=0， xy=1，xz =2，y =2，yz=0，z=1，试求通过点作用在其方向余 弦为 l m 1 ,n 3 的斜面上的正应力、剪应力和全应力。
11 11
解： 由式(1-17)，得斜面上全应力的各分量为
S x lx m y x nz x1 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 2 7 1 1 S y lx y m y nz y1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 0 3 1 1
轴上点
1 2
(1
2
)
半 径： 12(x y)2 x2y
2020/10/13
应力莫尔圆
弹性与塑性 力学基础
第一章 应力分析
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 ➢ 边界同时存在正应力、剪应力情况
主应力状态1、2和0 的确定
剪应力为零时的正应力的值为
1 2 1 2xy x 2y2x2y
xz zx
四面体受力图
弹性与塑性 力学基础
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力 表示方法
受力物体内一点的应力状态，可用三个相互垂直面上的应力分量
x，y，z以及xy，yz，zx确定。
即：斜面上正应力、全应力S及 剪应力可由下式确定：
SxlSym Sznxl2ym 2zn22lxm 2ym y2znnzxl SxlSym Szn xl2 ym 2 zn2 2lxm 2 ym y 2 znn zxl
(1-16)
四面体受力图
弹性与塑性 力学基础
第一章 应力分析
§1-2 三维应力状态分析
塑性力学(第一章)简单应力状态下的弹塑性力学问题
2、真应力
~ = P, σ A
3、对数应变
P） σ , （名义应力 = A 0
~ = ι dl′ = ln( l / l ) = ln(1+ ε) ε ∫ 0 l′ ι0 l − l0 （ 义 变 = 名 应 ε ） , l0
4、截面积收缩比 q=（A0-A）/A0 q=（
二、真应力
假定材料是不可压缩的： 假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩： 达到最高点C时出现颈缩：
当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。 可近似地认为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。
应力§1.3 应力-应变关系关系的简化模型
1．理想弹塑性模型
σ < σs时 ε = σ E 当 ， 当 ， σ = σs时 ε = σ E + λsignε
适用： 适用：材料的强化率较高且在一定范围 内变化不大
σS
E′
O εS
E
ε
图 4
3．一般加载规律
对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系： 对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：
σ = φ(ε) = Eε[1−ω(ε)]
其 中 0 ω(ε) = [Eε -φ(ε)]/(Eε) 当 ≤ εs ε 当 > εs ε
例如，对处于图2（a）中的M点，当加 中的M 例如，对处于图2 载时即应力（或应变）继续增长时， 载时即应力（或应变）继续增长时， 应力应变曲线将沿AMM 方向延伸， 应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公 当卸载时即应力（或应变） 当卸载时即应力（或应变）减小时应 力应变曲线才以（ 式的规律沿MN 力应变曲线才以（1）式的规律沿MN 向下降。 向下降。为了区分以上这种加载和卸 载所具有的不同规律， 载所具有的不同规律，就必须给出相 应的加卸载准则 加卸载准则。 应的加卸载准则。
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1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
1.1.3 平面应力状态应力关系
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力表示方法
显然，有：
P / A0 cos2 ( P / A0 ) cos sin
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
ΔP与ΔA比值的极限，即
lim P / A
A 0
(1-1)
当物体受外力P1、P2、P3、…作用时，产生与诸外力相平衡的内力。
作用于变形体 中某一微元面 积的内力ΔP
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
§1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆
1.3.1 主方向、主平面、主应力的概念 1.3.2 应力不变量的概念
1.3.3 任意方向截面应力的主应力的表达
1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-4 主剪应力 §1-5 正八面体剪应力
边界同时存
在正应力、 剪应力时斜 截面受力图
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( x A cos ) cos ( y A sin )sin ( xy A cos )sin ( xy A sin ) cos
沿BC面的切线方向力的平衡方程为：
边界只存在正应力情况
平面应力状态如图所示， 假设z=0。x－1 ，y－2 ，
任意截面上BC：(, )
设截面BC的面积A， AC面积为Acos，
AB的面积为Asin 。
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( 1 A cos ) cos ( 2 A sin ) sin
A ( 1 A cos )sin ( 2 A sin ) cos
即：
( 1 2 ) sin cos
(1-5)
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第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
由式(1-4)和(1-5)，将 消去后，可得：
的值。
最大剪应力确定方法：出现于 2
2
或 2
出现在图中的 1 ( 1 2 ) 2 =0 2 情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于1
的截面上，最大剪应力的值为 4
3 的截面上，即 2
。
2 1= 2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上
A ( x A cos )sin ( y A sin )cos ( xy A sin )sin ( xy A cos )cos
弹性与塑性 力 学 基 础
§1-6 应力张量及应力偏量
1.6.1 张量概念 1.6.2 应力张量概念 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 1.6.4 应变速率张量
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第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.1 应力定义
应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力
应力与方向有关，例如简单拉伸。
垂直于轴线平面上的应力
0 P / A0
式中：P—轴向力；
(1-2)
A0——垂直于轴线的横截面面积。 而当所截平面的法线与轴线成α角时，
由于斜面的面积增大(由A0→A0/cosα) ，
相应的轴向应力为
1 P / A0 cos
(1-3)
随着α增大，截平面越来越倾斜， 应力也就越来越小。
将有 =0。
1
。
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
如图所示， x－x、 ；y－y、 任意截面上BC：( ，)
设截面BC的面积A，
AC面积为Acos ， AB的面积为Asin 。