弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
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弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
1.1.3 平面应力状态应力关系
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力表示方法
A ( x A cos )sin ( y A sin )cos ( xy A sin )sin ( xy A cos )cos
弹性与塑性 力 学 基 础
边界只存在正应力情况
平面应力状态如图所示， 假设z=0。x－1 ，y－2 ，
任意截面上BC：(, )
设截面BC的面积A， AC面积为Acos，
AB的面积为Asin 。
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( 1 A cos ) cos ( 2 A sin ) sin
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
应力与方向有关，例如简单拉伸。
垂直于轴线平面上的应力
0 P / A0
式中：P—轴向力；
(1-2)
A0——垂直于轴线的横截面面积。 而当所截平面的法线与轴线成α角时，
由于斜面的面积增大(由A0→A0/cosα) ，
相应的轴向应力为
1 P / A0 cos
(1-3)
随着α增大，截平面越来越倾斜， 应力也就越来越小。
将有 =0。
1
。
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
如图所示， x－x、 ；y－y、 任意截面上BC：( ，)
设截面BC的面积A，
AC面积为Acos ， AB的面积为Asin 。
A ( 1 A cos )sin ( 2 A sin ) cos
即：
( 1 2 ) sin cos
(1-5)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
由式(1-4)和(1-5)，将 消去后，可得：
§1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆
1.3.1 主方向、主平面、主应力的概念 1.3.2 应力不变量的概念
1.3.3 任意方向截面应力的主应力的表达
1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-4 主剪应力 §1-5 正八面体剪应力
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
的值。
最大剪应力确定方法：出现于 2
2
或 2
出现在图中的 1 ( 1 2 ) 2 =0 2 情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于1
的截面上，最大剪应力的值为 4
3 的截面上，即 2
。
2 1= 2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上
ΔP与ΔA比值的极限，即
Baidu Nhomakorabea
lim P / A
A 0
(1-1)
当物体受外力P1、P2、P3、…作用时，产生与诸外力相平衡的内力。
作用于变形体 中某一微元面 积的内力ΔP
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
显然，有：
P / A0 cos2 ( P / A0 ) cos sin
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存
在正应力、 剪应力时斜 截面受力图
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( x A cos ) cos ( y A sin )sin ( xy A cos )sin ( xy A sin ) cos
沿BC面的切线方向力的平衡方程为：
§1-6 应力张量及应力偏量
1.6.1 张量概念 1.6.2 应力张量概念 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 1.6.4 应变速率张量
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.1 应力定义
应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力
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第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
1.1.3 平面应力状态应力关系
§1-2 三维应力状态分析
1.2.1 任意倾斜面上的应力分量表示方法 1.2.2 任意倾斜面上的正应力、全应力S、剪应力表示方法
A ( x A cos )sin ( y A sin )cos ( xy A sin )sin ( xy A cos )cos
弹性与塑性 力 学 基 础
边界只存在正应力情况
平面应力状态如图所示， 假设z=0。x－1 ，y－2 ，
任意截面上BC：(, )
设截面BC的面积A， AC面积为Acos，
AB的面积为Asin 。
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( 1 A cos ) cos ( 2 A sin ) sin
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
应力与方向有关，例如简单拉伸。
垂直于轴线平面上的应力
0 P / A0
式中：P—轴向力；
(1-2)
A0——垂直于轴线的横截面面积。 而当所截平面的法线与轴线成α角时，
由于斜面的面积增大(由A0→A0/cosα) ，
相应的轴向应力为
1 P / A0 cos
(1-3)
随着α增大，截平面越来越倾斜， 应力也就越来越小。
将有 =0。
1
。
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存在正应力、剪应力情况
如图所示， x－x、 ；y－y、 任意截面上BC：( ，)
设截面BC的面积A，
AC面积为Acos ， AB的面积为Asin 。
A ( 1 A cos )sin ( 2 A sin ) cos
即：
( 1 2 ) sin cos
(1-5)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
由式(1-4)和(1-5)，将 消去后，可得：
§1-3 三维应力状态的主应力及应力莫尔圆
1.3.1 主方向、主平面、主应力的概念 1.3.2 应力不变量的概念
1.3.3 任意方向截面应力的主应力的表达
1.3.4 三维应力状态应力莫尔圆
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-4 主剪应力 §1-5 正八面体剪应力
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
的值。
最大剪应力确定方法：出现于 2
2
或 2
出现在图中的 1 ( 1 2 ) 2 =0 2 情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于1
的截面上，最大剪应力的值为 4
3 的截面上，即 2
。
2 1= 2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上
ΔP与ΔA比值的极限，即
Baidu Nhomakorabea
lim P / A
A 0
(1-1)
当物体受外力P1、P2、P3、…作用时，产生与诸外力相平衡的内力。
作用于变形体 中某一微元面 积的内力ΔP
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
显然，有：
P / A0 cos2 ( P / A0 ) cos sin
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
边界同时存
在正应力、 剪应力时斜 截面受力图
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
A ( x A cos ) cos ( y A sin )sin ( xy A cos )sin ( xy A sin ) cos
沿BC面的切线方向力的平衡方程为：
§1-6 应力张量及应力偏量
1.6.1 张量概念 1.6.2 应力张量概念 1.6.3 应力张量球张量与偏张量 1.6.4 应变速率张量
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.1 应力定义
应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时，作用在该面积上的内力