专题1.4 二次函数的应用(第1课时)(备课堂)九年级数学上册同步备课系列(浙教版)
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解得m≠2且m=±2 ∴m=-2 2、y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，
当m为何值时，y是x的二次函数？
m=2
(1)若二次函数Y=kx2 -3x+2kk2 的图象过(-1,-1)则 k=______.
（2）正方形边长为x（cm），它的 面积y（cm2 ）是多少 ？ （3）矩形的长是4厘米，宽是3厘米， 如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘 米,则面积增加到y平方厘米，试写出 y与x的关系式．
g表示重力系数，取g=10m/s²）.问球从弹起至回到地面 需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m？
h(m)
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
地面
2 t(s)
例：
h(m)
6
5
解：由题意，得h关于t的二次函数 4
解析式为h=10t-5t²
3
取h=0，得一元二次方程
2
10t－5t²=0
1
解方程得t1=0；t2=2
0.0225 x2 40x 4000
9
0.0225 x2 40x 202 202 4000
9
0.0225（ x
20）2
400 9
0.022（5 x 20）2 1.
这条抛物线的顶点坐标 是（ 20, 1）.
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是1m.
解：（2） y 0.0225x2 0.9x 10 0.022（5 x 20）2 1.
-2
-1
0
1
2 t(s)
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75
地面
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.
练习：
炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m) 与 飞 行 时 间 t(s) 之 间 的 函 数 关 系 式 是 h=150t－5t2，
则飞行_____s后炮弹高度为1000m；
飞行____s炮弹落在地面.
练习：
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m. ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？yLeabharlann 15105
10 20 30 40 50
x
例5：
利用二次函数的图象求一元二次方程
X²+X－1= 0 的近似解.
y=x²+x－1
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2x
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
y
D
B
C
x
EO A
探究活动：
我们把一元二次方程X²+X－1= 0 的解看做是抛物线 y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的 近似解.如果把方程x²+x-1 = 0变形成 x²= -x+1，那么 方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？ 用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算 机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
2xy 2
2
x
15
7x 4
x
x2
2
7 x2 15 x 7 x 15 2 225 .
22
2 14 56
所以当 x 15 1.07 时. S最大值 4.02.
14
此时，窗户通过的光线最多
纯牛奶何时利润最大
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元， 生产厂家要求每箱售价在40元-70元之间.市场调查发 现:若每箱发50元销售，平均每天可售出90箱，价格每 降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均 每天少销售3箱.
反过来，也可利用二次函数的图象 求一元二次方程的解.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
2、根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02
3.25 0.03
3.26 0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一
个解的范围是 （ C ）
关系_S_=__π_ r2 ,自变量是__r_,它的最高次数是
_2_.
2.正方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的
面积s与a之间的函数关系式为S__=__(a+2)2
自变量是_a__,它的最高次数是_2___.
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
已知m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n， 抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m，0)，B(0，n)
(1)求这个抛物线的解析式 (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的 顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，
下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有
的黑线的长度和）为15m . 当x等于多少时，窗户 通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时， 窗户的面积是多少？
x
x
y
解：由 4 y 7x x 15 得 y 15 7x x .
4
窗户面积
S
x2
复习思考
？ 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定
b²-4ac﹥0，有两个交点 由b²-4ac的符号决定 b²-4ac=0，只有一个交点
b²-4ac﹤0，没有交点
例：
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经 过t（s）时球的高度为h（m）.已知物体竖直上抛运动
中，h=v0t－ ½ gt²（v0表示物体运动上弹开始时的速度，
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面 -5 5
x/m
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？ （3）你是怎样计算的？与同伴进行交流.
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面
-5 5
x/m
解：（1） y 0.0225x2 0.9x 10
且左右两条钢缆关于 y轴对称, 右边的钢缆的表达式为 ：
y 0.022（5 x 20）2 1.
即 y 0.0225x2 0.9x 10.
其顶点坐标为：（20, 1）. 两条钢缆最低点之间的 距离为
20 20 4（0 m）.
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函 数关系式； (2)每箱定价多少元时，才能使平均每天的利润最大？ 最大利润是多少？
解：(1)
(2)
所以每箱定价60元时，才能使平均每 天的利润最大.最大利润是1200.
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线 形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物 线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示，而且左、右 两条抛物线关于y轴对称．
浙教版九年级上册
1.4 二次函数的应用 （第1课时）
1.函数y=x+1 ，自变量是__x_,自变量的次数是 __1_,y是x的_一__次_函数. 2.函数s=-2t-4 ，自变量是__t_,自变量的次数 是_1__,s是t的_一__次_函数.
你能写出下列函数的表达式吗？
1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的
1.若y=(a2-1)x2是二次函数,则 a的取
值范围是a_≠_±__1_
2. 关于x的函数 y (m 1)xm2 m
是二次函数, 求m的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 __≠_ 0 m2-m=_2_,所以m=__2_
注意:二次函数的二次项系数不能为零
1、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数 m-2≠0且m2-2=2
当m为何值时，y是x的二次函数？
m=2
(1)若二次函数Y=kx2 -3x+2kk2 的图象过(-1,-1)则 k=______.
（2）正方形边长为x（cm），它的 面积y（cm2 ）是多少 ？ （3）矩形的长是4厘米，宽是3厘米， 如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘 米,则面积增加到y平方厘米，试写出 y与x的关系式．
g表示重力系数，取g=10m/s²）.问球从弹起至回到地面 需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m？
h(m)
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-2
-1
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1
地面
2 t(s)
例：
h(m)
6
5
解：由题意，得h关于t的二次函数 4
解析式为h=10t-5t²
3
取h=0，得一元二次方程
2
10t－5t²=0
1
解方程得t1=0；t2=2
0.0225 x2 40x 4000
9
0.0225 x2 40x 202 202 4000
9
0.0225（ x
20）2
400 9
0.022（5 x 20）2 1.
这条抛物线的顶点坐标 是（ 20, 1）.
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是1m.
解：（2） y 0.0225x2 0.9x 10 0.022（5 x 20）2 1.
-2
-1
0
1
2 t(s)
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t²=3.75
地面
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.
练习：
炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m) 与 飞 行 时 间 t(s) 之 间 的 函 数 关 系 式 是 h=150t－5t2，
则飞行_____s后炮弹高度为1000m；
飞行____s炮弹落在地面.
练习：
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m. ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？yLeabharlann 15105
10 20 30 40 50
x
例5：
利用二次函数的图象求一元二次方程
X²+X－1= 0 的近似解.
y=x²+x－1
y
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0
1
2x
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
y
D
B
C
x
EO A
探究活动：
我们把一元二次方程X²+X－1= 0 的解看做是抛物线 y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的 近似解.如果把方程x²+x-1 = 0变形成 x²= -x+1，那么 方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？ 用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算 机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
2xy 2
2
x
15
7x 4
x
x2
2
7 x2 15 x 7 x 15 2 225 .
22
2 14 56
所以当 x 15 1.07 时. S最大值 4.02.
14
此时，窗户通过的光线最多
纯牛奶何时利润最大
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元， 生产厂家要求每箱售价在40元-70元之间.市场调查发 现:若每箱发50元销售，平均每天可售出90箱，价格每 降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均 每天少销售3箱.
反过来，也可利用二次函数的图象 求一元二次方程的解.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
2、根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02
3.25 0.03
3.26 0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一
个解的范围是 （ C ）
关系_S_=__π_ r2 ,自变量是__r_,它的最高次数是
_2_.
2.正方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的
面积s与a之间的函数关系式为S__=__(a+2)2
自变量是_a__,它的最高次数是_2___.
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
已知m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n， 抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m，0)，B(0，n)
(1)求这个抛物线的解析式 (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的 顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，
下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有
的黑线的长度和）为15m . 当x等于多少时，窗户 通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时， 窗户的面积是多少？
x
x
y
解：由 4 y 7x x 15 得 y 15 7x x .
4
窗户面积
S
x2
复习思考
？ 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定
b²-4ac﹥0，有两个交点 由b²-4ac的符号决定 b²-4ac=0，只有一个交点
b²-4ac﹤0，没有交点
例：
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经 过t（s）时球的高度为h（m）.已知物体竖直上抛运动
中，h=v0t－ ½ gt²（v0表示物体运动上弹开始时的速度，
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面 -5 5
x/m
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？ （3）你是怎样计算的？与同伴进行交流.
y 0.0225x2 0.9x 10
y/m
10
桥面
-5 5
x/m
解：（1） y 0.0225x2 0.9x 10
且左右两条钢缆关于 y轴对称, 右边的钢缆的表达式为 ：
y 0.022（5 x 20）2 1.
即 y 0.0225x2 0.9x 10.
其顶点坐标为：（20, 1）. 两条钢缆最低点之间的 距离为
20 20 4（0 m）.
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函 数关系式； (2)每箱定价多少元时，才能使平均每天的利润最大？ 最大利润是多少？
解：(1)
(2)
所以每箱定价60元时，才能使平均每 天的利润最大.最大利润是1200.
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线 形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物 线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示，而且左、右 两条抛物线关于y轴对称．
浙教版九年级上册
1.4 二次函数的应用 （第1课时）
1.函数y=x+1 ，自变量是__x_,自变量的次数是 __1_,y是x的_一__次_函数. 2.函数s=-2t-4 ，自变量是__t_,自变量的次数 是_1__,s是t的_一__次_函数.
你能写出下列函数的表达式吗？
1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的
1.若y=(a2-1)x2是二次函数,则 a的取
值范围是a_≠_±__1_
2. 关于x的函数 y (m 1)xm2 m
是二次函数, 求m的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 __≠_ 0 m2-m=_2_,所以m=__2_
注意:二次函数的二次项系数不能为零
1、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数 m-2≠0且m2-2=2