永州市2013年高一下期数学

永州市2013年下期期末质量检测试卷
高 一 数 学
考生注意：
1．全卷分第I 卷和第II 卷，第I 卷为选择填空题，1~2页；第II 卷为解答题，3~4页． 2．全卷满分120分，时量120分钟．
3．考生务必．．将第I 卷和第Ⅱ卷的答案填入．．答．卷．相应的答题栏内． 参考公式：柱体体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．
第I 卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答卷卷首的答题栏内) 1．设全集为{}1,2,3,U ={}2,3A =,则U C A = A ．{}2,3 B ．{}1 C ．{}1,23， D ．φ2．定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，且自变量与对应的函数值有如下关系：
那么函数f (x )一定存在零点的区间是
A ．(,1)-∞
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,)+∞ 3．若直线经过()(1,0),2,1A B 两点，则直线AB 的倾斜角为
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．120︒ 4．下列函数中，在(0,+)∞上为增函数的是 A ．y ＝1－x 2 B ．21y x =-+ C ．(01)x
y a a =<<
D ．log (1)a y x a =>
5．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为
A ．012=-+y x
B ．072=+-y x
C ．250x y --=
D ．052=-+y x
6．有一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是边长为2cm 的正方形，则该几何体的表面积及体积分别为 A ．2
4cm π，3
cm π B ．24cm π，3
2cm π C ．2
6cm π，3
cm π
D ．2
6cm π，3
2cm π
7．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： ①x 、y 、z 均为直线； ②x 、y 是直线，z 是平面； ③z 是直线，x 、y 是平面； ④x 、y 、z 均为平面． 若“x z ⊥且y z ⊥，则//x y ”.其中成立的是
A ．②③
B ．①③
C ．③④
D ．①②
8．定义两个运算法则：12
1
lg 2
a b a b ⊗=-，31
lg 2-+=⊕b a b a ．若25149⊗=M ，
125
8
2⊕
=N ，则=+N M A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填入答卷相应的答题栏内) 9． 函数()lg(21)f x x =-的定义域为 ．
10．直线y kx =与直线310x y -+=垂直，则实数k 的值为 ． 11．若幂函数)(x f y =
的图像经过点A ，则(3)f = ． 12．在正方体1111OABC D A B C -中，2OA =，在如图所示的空间直角
坐标系中，正方形1111A B C D 的中心1O 的坐标为 ． 13．圆C ：2
2
2210x y x y +-++=的圆心到直线3480x y -+=的距
离为 ．
14．已知函数1)1()(2
++-=mx x m x f 是偶函数，则函数)(x f 在区间[2,1]-上的最大值
与最小值的和等于 ．
15．定义在)1,1(-上的函数)(x f ，对任意的)1,1(,-∈y x 都有：)1(
)()(xy
y
x f y f x f ++=+
；
侧视图
(第6题图)
请回答下列问题： （1）=)0(f ； （2）若31)51(=f ，则111
()()()21119
f f f +--= ．
第Ⅱ卷
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将
答案填入答卷相应的答题栏内) 16．（本题满分8分）已知集合{|317},{|210},{|}A x x B x x C x x a =≤<=<<=<． （1）求A B ,A B ；
（2）如果A C ⊆，求实数a 的取值范围．
17．（本题满分10分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中. （1）证明：直线1C D
面1ABC ；
（2）求直线C B 1与D C 1所成的角的大小．
18．（本题满分10分）已知直线l 经过两点(2,1)A ，(6,3)B ． （1）求直线l 的方程；（请用一般式．．．
作答） （2）圆C 的圆心为直线l 与直线10x y --=的交点，且圆C 与x 轴相切，求圆C 的标
准方程． 19．（本题满分10分）四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且a PD =，a PC PA 2==．
（1）求证：直线⊥PD 平面ABCD ； （2）求二面角D PB A --的大小．
（第17题图）
A
B 1
C 1
D 1
B C
D
A 1
20．（本题满分10分）英国物理学家和数学家牛顿（Issac Newton ，1643-1727）于1701年
提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是0
1C θ，环境温度是00C θ，则经过时间t min 后物体的温度0C θ将满足：kt
e
-⋅-+=)(010θθθθ，其
中k 是一个正常数．现有0
60C 的物体，放在0
15C 的环境中冷却，1min 以后物体的温度是0
50C ，请根据这个模型探究以下问题：
（相关参考数据：ln 3 1.099=，ln 7 1.946=，ln17 2.833=） （1）求k 的值；（精确到0.01）
（2）在环境温度为0
15C 的条件下，一杯温度为0
100C 的开水降到0
30C 时大约需要多
少时间？（精确到1min ）
21．（本题满分12分）设函数
23
()2
f x ax bx =++（,a b 为实数且0a >）．
（1）若(1)=1f ，且对任意实数x 均有()1f x ≥成立，求()f x 表达式；
（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数
k 的取值范围；
（3）若函数)(x f 的定义域为[,]m n ，值域为[,]m n ()m n <，则称函数)(x f 是[,]
m n 上的“方正”函数．设
()f x 是[1,2]上的“方正”函数，求常数b 的值．
永州市2013年下期期末质量检测
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1~4 BCBD 5~8 BDAD
二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）
9．1(,)2
+∞ 10．1
3
-
11
12．(1,1,2) 13．3
14．2- 15．（1）0；（2）2
3
三、解答题(本大题共6个小题，第16小题8分，第21小题12分，其余各小题10分，共60分)
16．解：（1）}103{<≤=x x B A ； ------------------------------------------------------------2分 {|217}A
B x x =<<；----------------------------------------------------------------------------4分
（2）C A ⊆ ，
17≥∴a （无等号的扣2分）---------------------------------------------------------------------8分
17．（1）证明：
11C D AB ，1AB ⊂面1ABC ---------------- ---2分
∴1C D
面1ABC -----------------------------------------------------4分
（2）
11C D AB
∴C B 1与D C 1所成的角为1ABC ∠----------------------------------6分 11
AB BC AC ==，∴1AB C ∆为等边三角形， ∴0
1
60ABC ∠=，∴C B 1与D C 1所成的角为060---------------------------------------------8分 18. 解：（1）由已知得直线l 的斜率311
622
k -=
=-， -------------------------------------------2分 ∴直线l 的方程为20x y -=. --------------------------------------------------------------------4分
（2）
圆C 的圆心为直线l 与直线10x y --=的交点，
(第17题图)
A B 1
C 1
D 1
B
C
D
A 1
由⎩⎨⎧=--=-0
10
2y x y x 得圆C 的圆心坐标为)1,2(， ----------------------------------------------6分
又
圆C 与x 轴相切，∴该圆的半径为1，----------------------------------------------------8分
∴圆C 的标准方程为22(2)(1)1x y -+-=. ------------------------------------------------10分
19．（1）证明：
a PD =，a AD =，a PA 2=，
∴222PA DA PD =+，∴AD PD ⊥，---------------1分
同理CD PD ⊥. ------ -------------------------------------2分 即AD PD ⊥，CD PD ⊥，且D CD AD = ，
∴⊥PD 平面ABCD . ------------------------------------4分
（2）设O BD AC = ，过A 作PB AE ⊥于E ，连接OE ， ⊥AO 平面PBD ，∴PB OE ⊥，
∴AEO ∠为二面角D PB A --的平面角 ----------------------------------------------------6分 ⊥PD 平面ABCD ，AB AD ⊥∴AB PA ⊥ 在PDB Rt ∆中，PB PD BD a =+=223， -------------------------------------------7分
在PAB Rt ∆中，
AE PB AB PA S ⋅⋅=⋅=
2
1
21 ∴a a a a PB AB PA AE 3
232=⋅=⋅=
，a AC AO 2221== -------------------8分
在AOE Rt ∆中，2
3sin ==
∠AE AO AEO ，∴0
60=∠AEO ---------------------------9分 ∴二面角D PB A --的大小为060.-----------------------------------------------------------10分
20. 解：（1）由题意知：0
1050,60,15,1C C C t θθθ====，
代入公式kt
e -⋅-+=)(010θθθθ,得5015(6015)k
e -=+-⋅------------------------------2分
解之得7
9
k
e
-=
，即l n9l n70.252k =-=
----------------------------------------------------4分
（2）由题意知：0
1030,100,15,0.252C C C k θθθ====, 代入公式kt
e -⋅-+=)(010θθθθ得0.2523015(10015)t
e
-=+-⋅--------------------------5分
解之得0.25217
3
t
e
-=
----------------------------------------------------------------------------------6分 A B C
D
P
O
E
0.252ln17ln 3 1.735t =-=，------------------------------------------------------------------8分 得 6.8857t =≈--------------------------------------------------------------------------------------9分
答：k 的值为0.252；在环境温度为015C 的条件下，一杯温度为0100C 的开水降到0
30C
时大约需要7min . ---------------------------------------------------------------------10分
21. 解：（1）由已知可知：(1)110,=1
2f a b a b a
⎧
⎪=-+=⎪>⎨⎪⎪-⎩解得121
a b ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩ ------------------------3分
则213
()22f x x x =-+---------------------------------------------------------------------------4分
（2）由（1）可知213
()22
f x x x =-+，
则22
133()(1)222
g x x x kx x k x =-+-=-++，
则()g x 的对称轴为1
2
k x +=--------------------------------------------------------------------6分
由于()g x 在[]2,2-上是单调函数，
∴122k +≤-或1
22
k +≥，得5k ≤-或3k ≥；------------------------------------------9分 (3) 2
3()2f x ax bx =++的对称轴为：2b x a
=-
①当12b x a =-≤时，()f x 在[1,2]单调递增，有(1)1(2)2f f =⎧⎨=⎩得3454
a b ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩----------10分
②当122b
a <-<时，()f x 在[1,2]先减后增，一定无解； -----------------11分 ③当22
b x a =-≥时，()f x 在[1,2]单调递减，有(1)2(2)1
f f =⎧⎨=⎩得3
4a =-（舍去）
故b 的值为5
4
-. -------------------------------------------------------------------------12分。