老高考适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件北师大版

2 0
k=-2 .
0
常用结论
2
2
1.椭圆和双曲线的焦点弦中通径最短,弦长 lmin= ,抛物线的通径长为 2p.

2 2
2.AB 为双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点 M(x0,y0),则


2
0
直线 AB 的斜率 k= 2 .
数k的取值范围是(
)
15 15
A. - 3 , 3
15
B. 0, 3
15
C. - 3 ,0
15
D. - 3 ,-1
(2)过抛物线x2=4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为
.
答案 (1)D
(2)y=2x-4
= + 2,
解析 (1)由 2 2
得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线的交点为
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组
= 2 + ,
2
4
2
+
2
= 1,
消去 y,得 9x2+8mx+2m2-4=0,
则 Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当 Δ>0,即-3 2<m<3 2时,方程有两个不相等的实数根,则直线 l 与椭圆 C
有两个公共点.
2
②
点”.( × )
(4)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l与抛物线C的方
程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( × )
2.若直线y=x+2与椭圆
2 2
+
3
=1有两个交点,则m的取值范围是(
A.(1,+∞)
B.(1,3)∪(3,+∞)
C.(3,+∞)
D.(0,3)∪(3,+∞)
2 5
- ,3 3
.
考向2.对称问题
典例突破
例4.已知椭圆
2
2=1的左焦点为点F,点O为坐标原点,设过点F且不与坐
+y
2
标轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求
点G横坐标的取值范围.
解设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0).
= ( + 1),
0
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共
点”.(
)
(2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共
点”.( × )
(3)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共

2 2
与椭圆 +y =1
2
2
2
+ 2 = 1,
=
1
-

有两个交点,所以
4
+2+ 2>0.

①
2
将线段 AB 中点
2 2
M( 2 , 2 )代入直线方程
+2 +2
由①②得 m 的取值范围是(-∞,-
+ ,
得
6
6
)∪( ,+∞).
3
3
1
y=mx+ ,解得
2
2 +2
b=- 2 .
方法总结椭圆中对称问题的解题策略
2 2
1
对点训练 3 已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称,求
2
2
实数 m 的取值范围.
解 由题意知 m≠0,故可设直线 AB 的方程为
1
1
+ 2
2

Δ=-2b
x
2
2
- x+b2-1=0.因为直线

1
y=- x+b

1
y=- x+b.联立
第九章
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
1.掌握直线与圆锥曲线位置关系 1.直线和圆锥曲线的
的判断方法.
位置关系
2.掌握直线被圆锥曲线所截弦长 2.弦长问题
及中点弦问题的求解方法.
3.中点弦问题
核心素养
直观想象
逻辑推理
数学运算
强基础 增分策略
- = 6
1- 2 ≠ 0,
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
D.
2
1-
-10
2
1-
> 0,
> 0,
(2)(方法 1)易知切线斜率存在,设切线方程为 y-4=k(x-4).
1
4 13
x1=3,x2=3,故|AB|= 3 .
突破技巧求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题的三种常用方法
考点三
中点弦问题(多考向探究)
考向1.由中点弦确定直线方程或曲线方程
典例突破
2 2
例 3.已知椭圆 +y =1.
2
(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程;
1 1
(2)求过点 P(2 , 2)点 P 平分的弦所在直线的方程.
4
x=4 时,y'=2,∴切线方程为 y-4=2(x-4),即 y=2x-4.
考点二
弦长问题
典例突破
例2.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为
抛物线C的交点为点A,点B,与x轴的交点为点P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求直线l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
对点训练 2 已知双曲线的一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两
2
点.若线段 MN 中点的横坐标为- ,求此双曲线的方程.
3
2
解设双曲线的方程为2
−
2
2
2
=1(a>0,b>0),由题可知
a
+b
=7.设
2

M(x1,y1),N(x2,y2),则线段 MN 的中点为
5
,解得
2
所以直线 l 的方程为
7
t=-8,
3 7
y=2x-8.
=
3

2
+ ,
2 = 3,
(2)由=3可得 y1=-3y2.
联立
=
3

2
+ ,
2 = 3,
得 y2-2y+2t=0.
易知 Δ>0,所以 y1+y2=2,
所以-3y2+y2=2,所以 y2=-1,y1=3.
代入抛物线 C 的方程得
2 2
2
2
联立 2
得(1+2k
)x
+4k
x+2k
-2=0.
2
+ 2 = 2,
因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F,所以直线 AB 与椭圆必有两个交点,所以 Δ>0.
设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 N(x0,y0),则
42
1
22

x1+x2=- 2 ,x0= (x1+x2)=- 2 ,y0=k(x0+1)= 2 ,所以线段
微点拨1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律:“联立方程求交点,
根与系数的关系求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.
2.当直线过抛物线的焦点时,可利用焦点弦长公式求弦长.
微思考直线AB为椭圆
2 2
+
2 2
=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为
M(x0,y0),请你推出直线AB的斜率的表达式.
提示 因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,
所以
21
2
+
22
2
+
21
2
= 1,
2
= 1,②

22

21 -22
①-②得 2
+
21 -22
2

=0,
2 1 +2 2 0
整理得
=-2 · + =-2 ,
1 -2
1
2
0
1 -2
即直线 AB 的斜率
圆有无交点.
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|= 1 + 2 |x1-x2|
= 1 + 2 (1 + 2 )2 -41 2
= 1+
= 1+
1

2|y1-y2|
1

2
(1 + 2 )2 -41 2 .
解 设弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为
2
21

M(x0,y0),则有 +12 =1, 2 +22 =1,
2
2
(2 -1 )(2 +1 )
两式作差,得
+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为
2
2 -1
0
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, - =kAB,所以 kAB=-2 .
2
2 +1
2 +1
2 +1
线 NG 的方程为
2
2
1
y-y0=-(x-x0).令
1
1
=- 2 =-2 + 2 .因为
2
2 +1 2 +1
4 +2
为
1
- ,0
2
.
y=0,得 xG=x0+ky0=-
22
2
2 +1
1
k≠0,所以-2<xG<0,所以点
AB 的垂直平分
+
G 横坐标的取值范围
(2)当 Δ=0,即 m=±3 2时,方程有两个相等的实数根,则直线 l 与椭圆 C 有且
只有一个公共点.
(3)当 Δ<0,即 m<-3 2或 m>3 2时,方程没有实数根,则直线 l 与椭圆 C 没有公
共点.
名师点析直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法
对点训练1(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则实
)
答案 B
= + 2,
解析 由
2

2
+ 3
m≠3.故选 B.
得(m+3)x2+4mx+m=0.由 m>0,m≠3 且 Δ>0,得 m>1 且
= 1,
3.直线y=kx-k+1与椭圆
2 2
+
9 4
=1的位置关系为
.
答案 相交
解析 ∵y=kx-k+1 可化为
1
1
y=k(x-1)+1,∴直线恒过点(1,1).∵9 + 4<1,
∴点(1,1)在椭圆的内部,∴直线 y=kx-k+1
2
与椭圆 9
2
+ 4 =1
相交.
增素能 精准突破
考点一
直线和圆锥曲线的位置关系
典例突破
2
2


例1.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:
=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆
+
4 2
C
(1)有两个公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点.
1
2
1
0
对双曲线来说,直线l可能平行于渐近线;对抛物线来说,直线l可能与抛物线
的对称轴平行或重合
(2)几何法:在同一平面直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性
质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.
微点拨1.判定直线与圆锥曲线的位置关系,一般用代数法.
2.对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭
21
由2
21
22
− 2 =1,2

(1 +2 )(1 -2 )
得
2
2
2× -3
即 2

−
=
5ห้องสมุดไป่ตู้
=
2× -3
2
22
2 =1,

(1 +2 )(1 -2 )
,
2

2
,所以 2

=
5
2.

又 a2+b2=7,解得 a2=2,b2=5,
2
故所求双曲线的方程为
2
2
− =1.
5
知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程
ax2+bx+c=0.
a=0
a≠0
曲线C为双曲线,直线l为其渐近线
方程ax2+bx+c=0的解
b=0
无解
b≠0
有一解
Δ>0
两个不相等的解
Δ=0
两个相等的解
Δ<0
无解
l与C的交点个数
0
3
2
的直线l与
解
设直线
3
l:y=2x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题可得 F
3
,0
4
3
5
,所以|AF|+|BF|=x1+x2+2,所以 x1+x2=2.联立
得 9x2+12(t-1)x+4t2=0.
易知 Δ>0,所以
12(-1)
所以- 9
=
12(-1)
x1+x2=- 9 ,
2 1
0
(1)设弦中点为

M(x,y),由①式,2=- ,所以
2
x+4y=0.故所求的轨迹方程为
4
4
x+4y=0(- <x< ).
3
3
(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率
1 1 1
y- =- (x- ),即
2 2 2
2x+4y-3=0.
0
1
k=- =- ,所以其方程为
20 2
①
方法总结用“点差法”解决有关中点弦问题一般步骤
-4 = (-4),
由 2
得 x2=4(kx-4k+4),即 x2-4kx+16(k-1)=0.
= 4
∵Δ=(-4k)2-4×16(k-1)=0,
∴k2-4k+4=0,∴k=2.
故切线方程为 y-4=2(x-4),即 y=2x-4.