2020高考数学(文)刷题首选卷：函数的单调性(含解析)

14． (2017 ·北京高考
) 已知函数
f
(
x)
＝
x
3－
1 3
x
，则
f ( x)(
)
A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数
D．是偶函数，且在 R 上是减函数 答案 A
解析
∵函数
f ( x) 的定义域为
R，f
(
－
x)
＝
－x
3－
1 3
－x
2．下列函数中，在 (0 ，＋∞ ) 上单调递减的是 ( )
1 A． f ( x) ＝ x
B
．f ( x) ＝ ( x－ 1) 2
C．
f
(
x)
＝
x
e
D ．f ( x) ＝ ln (
x＋ 1)
答案 A 解析 f ( x) ＝ ( x－ 1) 2 在 (0 ，＋∞ ) 上不单调， f ( x) ＝ex 与 f ( x) ＝ ln ( x＋ 1) 在 (0 ，＋∞）
C． (0 ， 1) D ．(0 ， 1]
答案 D
解析
f ( x) ＝－ ( x－ a) 2＋a2，当
a≤１时， f ( x) 在 [1 ， 2] 上是减函数；
a g( x) ＝ x＋1，当
a>0 时， g( x) 在 [1 ，2] 上是减函数，则 a 的取值范围是 0<a≤1．故选 D．
11．函数 y＝－ ( x－ 3)| x| 的递增区间为 ________．
x＋ c x≥０，
7．函数 f ( x) ＝
是增函数，则实数 c 的取值范围是 ( )
x－ 1 x<0
A． [ －1，＋∞ ) B ． ( －1，＋∞）
C． ( －∞，－ 1) D ． ( －∞，－ 1]
答案 A
解析 作出函数图象可得 f ( x) 在 R 上单调递增， 则 c≥－ 1，即实数 c 的取值范围是 [ －
x
＝2 在 R 上是增函数，
f ( － 1． 5)< f (1 ． 5) ，所以函数值无法确定．故选
D．
10．若
f
(
x) ＝－
x2＋ 2ax
与
g(
x)
a ＝ x＋ 1在区间
[1
，2]
上都是减函数，
则 a 的取值范围是
() A． ( －1， 0) ∪ (0 ， 1] B ． ( － 1， 0) ∪ (0 ， 1)
＝
1 3
x
－
x
3 ＝－
f
(
x)
，∴函数
f ( x)
是奇函数．∵函数
y＝
1 3
x在
R 上是减函数，∴函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y＝－
1 3
x在
R 上是增函数．又∵
y＝ 3x
在 R 上是增函数，∴函数 f ( x) ＝3x－ 1 x 在 R 上是增函数．故选 A． 3
15．(2016 ·北京高考 ) 下列函数中，在区间 ( － 1， 1) 上为减函数的是 ( )
16．(2015 ·湖南高考改编 ) 设函数 f ( x) ＝ ln (1 ＋ x) － ln (1 －x) ，则 f ( x) 是 ( )
A．在 ( － 1， 1) 上是增函数 B．在 ( － 1， 1) 上是减函数
C．在 ( － 1， 0) 上是减函数，在 (0 ， 1) 上是增函数
D．在 ( － 1， 0) 上是增函数，在 (0 ， 1) 上是减函数 答案 A
3 答案 0，
2
解析
－
x
2
＋
3
x，
x
>0，
y＝－ ( x－ 3)| x| ＝ x2－ 3x， x≤0，
作出其图象如图，观察图象知递增区间
3 为 0， 2．
ax＋ 1 12．已知 f ( x) ＝ x＋ 2 ，若对任意 x1， x2∈ ( － 2，＋∞ ) ，有 ( x1－ x2)[ f ( x1) － f ( x2 )]>0 ，
1 A． y＝ 1－ x B ． y＝ cos x C． y＝ln ( x＋ 1) D ． y＝ 2－x 答案 D
1
1
1
解析 选项 A 中， y＝ 1－ x＝ － x－ 1 的图象是将 y＝－ x的图象向右平移 1 个单位得到
1 的，故 y＝ 1－ x在 ( － 1， 1) 上为增函数，不符合题意；选项
调递增．
1， x>0， 17．(2015 ·湖北高考 ) 已知符号函数 sgnx＝ 0， x＝0，
－ 1， x<0.
f ( x) 是 R上的增函数， g( x)
＝f ( x) － f ( ax)( a>1) ，则 ( ) A． sgn[ g( x)] ＝sgnx B． sgn[ g( x)] ＝－ sgn x C． sgn[ g( x)] ＝sgn[ f ( x)] D． sgn[ g( x)] ＝－ sgn[ f ( x)] 答案 B 解析 ∵ f ( x) 是 R 上的增函数， a>1， ∴当 x>0 时， x<ax，有 f ( x)< f ( ax) ，则 g( x)<0 ； 当 x＝0 时， g( x) ＝ 0； 当 x<0 时， x>ax，有 f ( x)> f ( ax) ，则 g( x)>0 ．
B 中， y＝ cos x 在( － 1， 0) 上为
增函数，在 (0 ， 1) 上为减函数，不符合题意；选项 C 中， y＝ ln ( x＋ 1) 的图象是将 y＝ ln x
的图象向左平移 1 个单位得到的，故 y＝ ln ( x＋ 1) 在 ( －1， 1) 上为增函数，不符合题意； 选项 D 符合题意．
在定义域内不是单调函数．故选 B． 4．已知函数 y＝ f ( x) 在 R 上单调递增，且 f ( m2＋ 1)> f ( －m＋ 1) ，则实数 m的取值范围
是(
)
A． ( －∞，－ 1) B ． (0 ，＋∞）
C． ( －1， 0) D ． ( －∞，－ 1) ∪(0 ，＋∞） 答案 D 解析 由题得 m2＋1>－ m＋1，故 m2＋ m>0，解得 m<－ 1 或 m>0．故选 D．
解析
由 f ( x) ＝ ln (1 ＋ x) －ln (1 － x) ，得 f ( x) ＝ ln
1＋ x 1－ x ＝ ln
2
2
1－ x－1 ．∵ t ＝ 1－ x
－1 在 ( － 1， 1) 上单调递增， y＝ ln t 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增，∴ y＝ f ( x) 在 ( － 1，1) 上单
上单调递增，故选 A．
3．下列四个函数中，在定义域内不是单调函数的是
()
1 A． y＝－ 2x＋ 1 B ． y＝x C． y＝lg x D ． y＝ x3 答案 B
解析 y＝－ 2x＋ 1 在定义域内为单调递减函数； y＝lg x 在定义域内为单调递增函数；
y＝ x3 在定义域内为单调递增函数；
1 y＝ x在 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 上皆为单调递减函数，但
考点测试 6 函数的单调性
一、基础小题
1．若函数 f ( x) ＝ (2 a－ 1) x＋ b 是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围为 ( )
1
1
A． 2，＋∞ B ．－∞， 2
1
1
C． 2，＋∞ D ．－∞， 2
答案 D
1 解析 当 2a－ 1<0，即 a<2时，该函数是 R 上的减函数．故选 D．
1，＋∞ ) ．故选 A．
8．若函数 f ( x) ＝ 8x2－ 2kx－ 7 在 [1 ，5] 上为单调函数，则实数 k 的取值范围是 (
)
A． ( －∞， 8] B ． [40 ，＋∞）
C． ( －∞， 8] ∪[40 ，＋∞ ) D ． [8 ， 40]
答案 C
解析
由题意知函数 f ( x) ＝ 8x2－ 2kx－ 7 图象的对称轴为
3x＋
1＝2
3 x－4
2－
1 8，∴
t
＝
2x2 －3x＋
1
的单调递增区间为
(1 ，＋
1 ∞) ．又 y＝ log t
在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数，
∴函数
y＝
log
1 (2
x 2－
3x＋
1)
的单调递减区间为
2
2
(1 ，＋∞ ) ．故选 A．
f a －f b 6．定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意两个不相等的实数 a， b，总有 a－ b >0 成立，则
)
A． ( －∞，－ 2) B ． ( －∞， 1)
C． (1 ，＋∞ ) D ． (4 ，＋∞）
答案 D 解析 由 x2－ 2x－8>0 可得 x>4 或 x<－ 2，所以 x∈ ( －∞，－ 2) ∪ (4 ，＋∞ ) ，令 u＝ x2 －2x－ 8，则其在 x∈ ( －∞，－ 2) 上单调递减，在 x∈ (4 ，＋∞ ) 上单调递增．又因为 y＝ ln u 在 u∈ (0 ，＋∞ ) 上单调递增，所以 y＝ln ( x2 －2x－ 8) 在 x∈ (4 ，＋∞ ) 上单调递增．故选 D．
必有 ( ) A．函数 f ( x) 先增加后减少
B．函数 f ( x) 先减少后增加 C． f ( x) 在 R 上是增函数 D． f ( x) 在 R 上是减函数 答案 C
f a －f b 解析 因为 a－ b >0，所以，当 a>b 时， f ( a)> f ( b) ，当 a<b 时， f ( a)< f ( b) ，由增 函数定义知， f ( x) 在 R 上是增函数．故选 C．
减区间．利用二次函数的性质可求得函数 g( x) 在 ( － 3， 1) 内的减区间为 [ － 1， 1) ，故选 C．
20．(2018 ·广东深圳一检 ) 已知函数 f ( x) ＝ log 2(5 － ax) 在[0 ， 2] 上是减函数，则 a 的
取值范围是 (
)
5
A． (0 ，＋∞ ) B ．
则(
)
A． f ( x1)< f ( x2) B ．f ( x1)> f ( x2)
C． f ( x1) ＝ f ( x2) D ．无法确定
答案 D
－1 解析 因为 f ( x) ＝ x 在( － 2，－ 1) 和 (1 ，2) 上都是增函数， f ( －1．5)> f (1 ．5) ；f ( x)
则此函数的单调递增区间是 ( )
A． ( －∞，－ 1] B ． [ －1，＋∞）
C． [ －1， 1) D ． ( － 3，－ 1]
答案 C
解析
令
g(
x)
＝－
x
2
－
2
x＋
3
，由题意知
g( x)>0 ，可得－ 3<x<1，故函数的定义域为
{ x|
－3<x<1} ．根据 f (0) ＝log a3<0，可得 0<a<1，则本题即求函数 g( x) 在 ( － 3，1) 内的单调递
13 答案 2， 2
解析 由题意知函数 f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递减． 因为 f (2 | a－1| )> f ( － 2) ，且 f ( － 2)
＝f (
2) ，所以 f (2 | a －1| )> f (
2) ，所以
2
|
a－
1|
<2
1 ，解之得
13 <a< ．
2
22
三、模拟小题 19．(2018 ·山西晋城一模 ) 已知函数 f ( x) ＝ log a( － x2－ 2x＋3)( a>0 且 a≠1) ，若 f (0)<0 ，
1， x<0， ∴ sgn[ g( x)] ＝ 0， x＝ 0，
－ 1， x>0，
∴ sgn[ g( x)] ＝－ sgn x．故选 B．
18．(2016 ·天津高考 ) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ( －∞， 0) 上单调递 增．若实数 a 满足 f (2 | a－1| )> f ( － 2) ，则 a 的取值范围是 ________．
5．函数
y＝
log
1 (2
2
x 2－
3x＋1)
的递减区间为
(
)
3
A． (1 ，＋∞ ) B ．
－∞， 4
1
3
C． 2，＋∞ D ． 4，＋∞
答案 A
解析 由 2x2－ 3x＋ 1>0，得函数的定义域为－∞，
1 ∪ (1 ，＋∞ ) ．令
t ＝ 2x2－ 3x＋1，
2
则
y＝
log
1 2t
．∵
t
＝
2x 2－
－∞， 2
5
5
C． 0， 2 D ． 1， 2
答案 C 解析 ∵ y＝ log 2x 是增函数，∴ u＝ 5－ ax 在 [0 ， 2] 上是减函数，且
5－ 2a>0，即
则 a 的取值范围是 ________．
1 答案 2，＋∞
解析
由
f
(
x)
＝
axx＋＋21＝a＋
1－ 2a x＋ 2 ，且
y＝ f ( x) 在 ( － 2，＋∞ ) 是增函数，得
1－ 2a<0，
1 即 a>2．
二、高考小题
13．(2017 ·全国卷Ⅱ ) 函数 f ( x) ＝ ln ( x2－ 2x－ 8) 的单调递增区间是 (
k x＝ ，因为函数
f ( x) ＝ 8x2－
8
k
k
2kx－ 7 在 [1 ，5] 上为单调函数，所以 8≤１或 8≥5，解得 k≤８或 k≥40，所以实数 k 的取值
范围是 ( －∞， 8] ∪ [40 ，＋∞ ) ．故选 C．
9．函数 f ( x) 在( a， b) 和( c， d) 上都是增函数，若 x1∈ ( a， b) ，x2∈ ( c， d) ，且 x1<x2，