维恩位移定律的推导

维恩位移定律的推导
维恩位移定律是描述黑体辐射光谱的一条规律。

它表明，位于不同温度的黑体所发出的最大辐射功率的波长成反比于其温度。

这个定律的推导可以从普朗克黑体辐射定律和光谱辐射定律开始。

普朗克黑体辐射定律描述了黑体的辐射光谱，它可以表示为：
$$B_\lambda(\lambda,T) =
\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}$$
其中，$B_\lambda$ 是波长为 $\lambda$ 的光的辐射亮度，
$T$ 是黑体的温度，$h$ 是普朗克常数，$c$ 是光速，
$k_B$ 是玻尔兹曼常数。

光谱辐射定律则描述了某个波段内的辐射亮度与波长的关系，它可以表示为：
$$I(\lambda,T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}f(\lambda,T)$$
其中，$I(\lambda,T)$ 是波长为 $\lambda$ 的光的辐射亮度，
$f(\lambda,T)$ 是波长为 $\lambda$ 的光在黑体上的辐射功率
分布函数。

为了得到 $f(\lambda,T)$ 的表达式，可以用普朗克黑体辐射定
律中的分母部分来代替 $e^{hc/\lambda k_BT}-1$：
$$f(\lambda,T) =
\frac{1}{\pi^2}\frac{\lambda^5}{hc^2}\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}$$
将这个表达式带回光谱辐射定律中，就得到了：
$$I(\lambda,T) =
\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-
1}\frac{1}{\pi^2}\lambda^5\frac{hc^2}{\lambda^5}$$
化简可得：
$$I(\lambda,T) =
\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}$$
这样，我们就得到了普朗克黑体辐射定律和光谱辐射定律之间的联系，也就是维恩位移定律。

其含义是，温度越高的黑体所发出的最大辐射功率波长越短，且波长与温度的关系是 $T
\propto 1/\lambda_{max}$。

维恩位移定律是描述黑体辐射的重要定律，对于研究太阳辐射和恒星辐射等自然现象有着重要的应用。