高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习有答案解析

新《集合与常用逻辑用语》专题
一、选择题
1．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}
0.5,1x
B y y x ==>，则A B =U （ ）
A ．()0.5,+∞
B ．[)0,+∞
C ．()0,0.5
D ．[)0,0.5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可. 【详解】
0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥
1111,0,|0222x
x B y y ⎛⎫⎧
⎫>∴<<∴=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭Q
1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ⎧⎫
∴⋃=≥⋃<<=≥⎨⎬⎩
⎭
故选B 【点睛】
本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.
3．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
方程22
117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案.
【详解】
因为方程2
2
117x y
m m +=+-表示椭圆，所以1070
17m m m m
+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩
，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：A 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
4．已知集合，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 由题意，集合，
，再根据集合的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合
，
，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合
，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
5．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{
x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r
，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；
④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；
对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r
，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若22
0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-，
且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确.
综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
6．“0a =”是“函数x a
y e -=为偶函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
解析：若0a =，则||
x y e =是偶函数，“0a =”是“函数x a
y e
-=为偶函数”的充分条件；若
函数x a
y e
-=为偶函数，则对称轴为0x =，即0x a ==，则“0a =”是“函数x a
y e
-=为
偶函数”的必要条件，应选答案C ．
7．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|N x y ==
，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ==
=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
8．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x
y
<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
x y <，不能得到
1x y <， 1x
y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，
当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x
y
=>， 故x y <时，
1x
y
<不成立， 当1x
y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1x
y
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
9．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
【答案】B 【解析】
分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；
若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2
【答案】C 【解析】
若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.
11．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
12．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立， 反之当a b ⊥r r
时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r
的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
13．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
14．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可
若01b a <<<，则lg lg b a <，
lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b
b a
b a a b
>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立
但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论
15．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是
B 的充要条件．
16．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1
x
≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=，则下列命
题中为真命题的是 ( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧(⌝q )
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．(⌝p )∧q
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假. 【详解】
对于命题p ：当x ≤0时，x+
1
x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；
对于命题q ：当x 0=
4
π
时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题． 故答案为D. 【点睛】
(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
17．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
18．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1
n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立
【答案】C 【解析】 【分析】
写出命题“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，
结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】
由逆否命题可知，命题“假设(
)*
n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”
的逆否命题为“假设当(
)1n k k N *
=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成
立”，
由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
19．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋1
4
<0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sinx ＋cosx 成立”．则下列判断正确的是（ ） A ．p ∨q 为假命题 B ．p ∧q 为真命题 C ．非p ∧q 为真命题 D ．非p ∨非q 是假命题
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：：∵任意x ∈R 时，都有x 2-x+14
=（x−1
2）2≥0，
∴p 是假命题；
∵sin （x+4π），当x=4
π
时，， ∴q 是真命题，
∴p ∨q 是真命题，非p n q 为真命题，故选C 考点：复合命题的真假
20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞2
0x
>；命题
1:,2q x ⎛⎫
∀∈+∞ ⎪⎝⎭
，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ） A ．q ⌝ B ．()p q ∧⌝ C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∨⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案. 【详解】
取012x =2
12⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真；
因为122x x -+≥=1
2
x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。