福建省永春一中2013届高三5月质检数学(文)试卷及答案

福建永春一中高三年校质检数学（文）科试卷 （2013.05） 命题教师： 考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1. 复数2(1i)+的值是（ ）
A ．2 B.2- C.2i D.2i -
2. 已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =-，{0,2,4}B =，那么U A B =ð
（ ）
A.{2,1,4}-
B. {2,1,3}-
C.{0,2}
D.{2,1,3,4}- 3. 命题“x e R x x
>∈∀,”的否定是（ ） A ．x e R x x
<∈∃, B ．x e R x x
<∈∀, C ．x e R x x
≤∈∀, D ．x e R x x
≤∈∃,
4. 执行如图所示的程序框图，若输入2=x ，则输出y 的值为（ ） A ．5 B. 9 C.14 D.41
5. 设平面向量a (2,6)=-，b (3,)y =，若a ∥b ，则a －2b ＝（ ）
A ．(4,24)
B ．(8,24)-
C ．(8,12)-
D ．(4,12)-
6. 高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为 4的样本，已知6号32号45号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ） A. 3 B. 12 C. 16 D.19
7. 下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A ．()1x f x e =-
B ．1()f x x x -=+
C ．1
()f x x x -=- D ．()|sin |f x x =-
8. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=- ⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．左移
π3个单位 B ．右移π3个单位 C ．右移π
6个单位 D ．左移
π
6
个单位
9. 已知(){}(
{}
,11,02,,A x y x y B x y y =
-≤≤≤≤=．若在区域A 中随机的
扔一颗豆子，求该豆子落在区域B 中的概率为（ ） A ．18π-
B ．
4π C ．14
π- D ．
8
π
10. 设双曲线22
21(0)9y x a a
-=>的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为（ ） A ．
54
B ．
53 C
．4
D
11. 一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中
最大的面积是（ ）
A ．2 B. 22 C ．3 D. 32
12. 设函数()f
x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使
()()
2
f x f y C C (+=
为常数)成立，则称函数()f
x 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3y
x =；
②12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；③y x ln =；④21y x sin =+，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13. 已知变量,x y 满足约束条件1
101x y x x y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为 .
14. 已知1||=a ，2||=b ，向量a 与b 的夹角为
60，则=+||b a .
15. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．若每批生产x 件，则平均仓储
时间为
4
x
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件.
16. 下面的数组均由三个数组成，它们是：（1,2,3）、（2,4,6）、（3,8,11）、（4,16,20）、 （5,32,37）、……、),,(n n n c b a ，若数列{n c }的前n 项和为n M ，则10M = .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。

17.（本小题满分12分）
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，你有多大的把握认为心
肺疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考： （参考公式
2
2
()()()()(n ad bc K a b c d a c b
-=
+++，其中n a b c d =+++） 18.（本小题满分12分）
已知函数21
()cos cos ,2
f x x x x x R =--
∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，
若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．
19.（本小题满分12分）
已知复数i b a z n n n ⋅+=,其中R a n ∈,R b n ∈,*
∈N n ,i 是虚数单位, 且i z z z n n n 221++=+,i z +=11.
（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求和:①n z z z +++ 21;②n n b a b a b a +++ 2211.
20.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形， D 是BC 的中点.
（Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论. 21.（本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为21,F F 点A 在椭圆C 上， ⋅1AF 12F F =0，,5||.||31212F AF A F AF ⋅-=2||21=F F ，过点2F 且与坐标轴不垂直的
直线交椭圆于Q P ,两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)线段2OF 上是否存在点)0,(m M ,使得?MQ PQ MP QP ⋅=⋅若存在，求出实数m
的取值范围；若不存在，说明理由.
22.（本小题满分14分）
永春一中高三年校质检数学（文）科试卷参考答案 （2013.05）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 2 14.7 15. 40 16. 2101
三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分） 17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为
61
305
=
∴男性应该抽取1
2045
⨯
=人. ……….4分 （Ⅱ）在上述抽取的6名患者中, 女性的有2人，男性4人。

女性2人记,A B ；
男性4人为,,,c d e f ， 则从6名患者任取2名的所有情况为: (,)A B 、(,)A c 、 (,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、
(,)d e 、(,)d f 、(,)e f 共15种情况，其中恰有1名女性情况有：(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f ，共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为8
15
P = …………10分 （Ⅲ）∵2
8.333K ≈，且2(7.789)0.0050.5%P k ≥==，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…….12分
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)
211()cos cos 2cos 2122
f x x x x x x =--
=-- sin(2)16
x π
=-- ……………3分
∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ……………5分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=-
-=， 即sin(2)16C π
-= ∵0C π<<，112666
C πππ
-<-<，
∴26
2
C π
π
-
=
，∴ 3
C π
=
． ………7分
∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=． 由正弦定理
sin sin a b
A B
=
， 得2,b a = ① …………9分 ∵3c =，由余弦定理，得2292cos
3
a b ab π
=+-， ② …………10分
解方程组①②，得a b ⎧=⎨
=⎩
……………12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） i i b a z +=⋅+=1111,∴11=a ,11=b . …………1分
由i z z z n n n 221++=+得：
i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211,
∴⎩⎨
⎧+==++231
1n n n
n b b a a ……………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列,数列{}n b 是以1为首项公差为2的
等差数列,∴13-=n n a ,12-=n b n . ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知13-=n n a ,12-=n b n .
①i n i b b b a a a z z z n
n n n ⋅+-=
⋅+++++++=+++2212121)13(2
1)()( ……8分 ②令n n n b a b a b a S +++= 2211,)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n (1)
将(1)式两边乘以3得：)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n (2) 将(1)减(2)得：)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n .
)22(322+-+-=-n S n n ,
13)1(+⋅-=n n n S …………12分
20.（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)在直三棱柱111C B A ABC -中，1AA ABC ⊥面，所以1AA BC ⊥, 在等边 ABC ∆中，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥
因为 在平面AD A 1中，A AD A A =⋂1，所以 1BC A AD ⊥面 又因为AD A D 11面⊂A ，所以，BC D A ⊥1
在直三棱柱111C B A ABC -中，四边形11BCC B 是平行四边形，所以BC C B //11 所以，111C B D A ⊥ ………………….6分 (Ⅱ) 在直三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，
在平行四边形11ACC A 中联结C A 1,交于1AC 点O ,联结DO . 故O 为C A 1中点. 在三角形CB A 1中,D 为BC 中点,O 为C A 1中点,故B A DO 1//.
因为111, DO DAC A B DAC ⊂⊄平面平面,所以,1
1 //ADC B A 面
故,11 ADC B A 与面平行 …………….12分 21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意12123
90,cos 5
AF F F AF ∠=∠=， 注意到12||2F F =，所以121235
||,||,2||||422
AF AF a AF AF =
==+=， 所以2
2
2
2,1,3a c b a c ===-=，
即所求椭圆方程为22
143
x y +=．――――4分
(Ⅱ) 存在这样的点M 符合题意．――――－5分
设线段PQ 的中点为N ，112200(,),(,),(,)P x y Q x y N x y ， 直线PQ 的斜率为(0)k k ≠，
注意到2(1,0)F ，则直线PQ 的方程为(1)y k x =-，
由22
1,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消y 得：2222
(43)84120k x k x k +-+-=， 所以2122
843k x x k +=+，故2
1202
4243
x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，所以22243(,)4343
k k
N k k -++，―――――8分
由QP MP PQ MQ ⋅=⋅可得()20PQ MQ MP PQ MN ⋅+=⋅=，
即PQ MN ⊥，所以222
30143443MN
k k k k k m k +
+=
=--+，――――10分 整理得22
211
(0,)34344k m k k
==∈++， 所以，在线段2OF 上存在点)0,(m M 符合题意，其中1(0,)4
m ∈．――――12分
22.（本小题满分14分）。