2024年浙江强基联校高三数学(文)3月模拟联考试卷及答案解释

2024年浙江强基联校高三数学（文）3月模拟联考试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{2}S x
x =>-∣，{}2340T x x x =+-≤∣，则S T Ç=（）A ．(],1-∞B ．[)4,2--C ．(]
2,1-D ．[)
1,+∞2．已知i 是虚数单位，则i
1i
=-（）A ．
12i 2
-B ．1i 2
-+C ．
2i 2
+D ．
12i 2
+3．现有一项需要用时两天的活动，每天要从5人中安排2人参加，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（）
A ．20种
B ．10种
C ．8种
D ．6种
4．已知0x >，0y >，则（）
A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+
B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅
C ．ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+
D ．()ln ln ln 777xy x y
=⋅5．若02
x π
<<
，则“2cos 1x x <”是“cos 1x x <”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件6．64(1)(1)x x +-的展开式中，6x 的系数为（）A ．2
B ．2
-C ．8
D ．10
7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()
f x （
）
A ．以π为周期
B ．最大值是1
C ．在区间ππ,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减
D ．既不是奇函数也不是偶函数
8．设点A ，B ，C 是抛物线24y x =上3个不同的点，且AB AC ⊥，若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，则点A 的横坐标是（）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．有两组样本数据：122024,,,x x x ；122024,,,y y y .其中()20241,2,,2024i i y x i =+= ，则这两组样本数据的（
）
A ．样本平均数相同
B ．样本中位数相同
C ．样本方差相同
D ．样本极差相同
10．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，（）
A ．若sin
sin 2
A C a b A +=，则π
3B =
B ．若22(sin sin )sin sin sin B
C A B C -=-，则π
6
A =C ．若,,a b c 成等比数列，则π3
B ≤D ．若,,a b c 成等差数列，则tan
3tan 222
A C +≥11．已知正方体1111ABCD A
B
C
D -的棱长为2，过棱1CC ，11A D ，11A B 的中点作正方体的截面，则（）
A
B C ．截面多边形存在外接圆
D ．截面所在平面与平面ABCD 所成角的正弦值为
1111
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量()2,1a =r ，()2,4b t = ，若a b ⊥
，则实数t =
.
13．点()3,P a 关于直线0x y a +-=的对称点在圆22(2)(4)13x y -+-=内，则实数a 的取值范围是
.
14．用[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足：143
a =
，()2
11n n n a a a λμ+=--，*n ∈N .若0λ=，
2μ=-，则n a =
；若1λμ==，则202411i i a =⎡⎤
=
⎢⎥⎣⎦
∑.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数(
)sin f x x x =.
(1)求π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，
(2)求函数()sin y f x x =⋅的单调递增区间.
16．小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是
34
，小基每轮猜对的概率是2
3，各轮结果互不影响.
(1)求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；
(2)求“联盟队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望.
17．如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面
ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点
.
(1)证明：QM BD ⊥.
(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC
所成角的正弦值为7
时，求四棱锥Q ABCD -的体积.
18．已知椭圆2
2:19
x G y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 为直线:2l x =上的动点.
(1)求椭圆G 的离心率.
(2)若12PA PA ⊥，求点P 的坐标.
(3)若直线1PA 和直线2PA 分别交椭圆G 于B ，C 两点，请问：直线BC 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
19．已知函数()e 2e
x x ax
f x =+.
(1)当1
2
a =时，记函数()f x 的导数为()f x '，求()0f '的值.
(2)当1a =，1x ≥时，证明：()3
cos 2
f x x >
.(3)当2a ≥时，令()()e 1x
g x a f x ⎡⎤=+-⎣⎦，()g x 的图象在x m =，()x n m n =<处切线的斜率相同，记
()()g m g n +的最小值为()h a ，求()h a 的最小值.
（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）.1．C 【分析】
由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可.
【详解】{}
{}234041T x
x x x x =+-≤=-≤≤∣∣，所以{}(]|212,1S T x x Ç=-<£=-，
故选：C 2．B 【分析】
利用复数的四则运算法则即可得出结论.【详解】()()()i 1i i 1i
1i 1i 1i 2
+-+==--+.故选：B.3．D 【分析】
根据排列数的定义和公式，即可求解.
【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有2
3A 6=种方法.
故选：D 4．D 【分析】
A 、
B 、
C 选项可用赋值法判断正误，
D 选项根据指数与对数计算法则判断.【详解】设1,2x y ==则
ln1ln2ln2ln27717+≠+=，A 错误；()ln 12ln3ln1ln27777+⋅=≠，B 错误；ln1ln2ln1ln27717⋅≠+=，C 错误；()ln ln ln ln ln 7777xy x y x y +=⋅=，D 正确.
故选：D.5．C 【分析】
构建函数()sin cos f x x x x =-，利用导数结合三角函数性质可得2
π1sin cos cos ,0,2x x x x x x ⎛⎫>>>∈ ⎪⎝⎭
，进
而分析判断.
【详解】设()sin cos f x x x x =-，()()cos cos sin sin f x x x x x x x -='=-，当02x π
<<
时()0f x '>，可知()f x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，且()00f =，所以当02
x π
<<时，21sin cos cos x x x x x >>>恒成立，
故若02
x π
<<，则“2cos 1x x <”是“cos 1x x <”的充分必要条件
故选：C.6．A 【分析】
先将原式化为()()4
22121x x x ++-，再用二项式通项计算即可.【详解】()()()()4
4
2
64222(1)(1)11121x x x x x x x +-=+-=++-，
()4
21x -的通项为()214C 1k
k k k T x +=-，
前面括号内出1时，令263k k =⇒=，此时()3
34C 14-=-；前面括号内出2x 时，k 无解，
前面括号内出2x 时，令242k k =⇒=，此时()2
24C 16-=，
所以6x 的系数为462-+=，故选：A.7．D
【分析】利用赋值法，分别令0x =，y t =，π2x t =
+，π2y =，π
2x =，π2
y t =+，得到
(
)πsin cos 4f x x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭逐项判断.
【详解】解：令0x =，y t =，得()()2cos f t f t t +-=，令π2x t =+，π
2y =，得()()π0f t f t ++=，令π
2x =
，π2
y t =+，得()()π2sin f t f t t ++-=-，由以上3式，得()sin cos f t t t =+，
即(
)πsin cos 4f x x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
则()f x 的周期为2πT =，故A 错误；
()f x
，故B 错误；
令ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π3π0,44x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()f x 的在区间ππ,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭上不单调递减，故C 错误；
因为(
)π4f x x ⎛
⎫-=-+ ⎪⎝
⎭，所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，
所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，故D 正确.故选：D.8．A 【分析】
说明直线BC 过定点()004,E x y +-,并求出A 关于点E 的对称点代入抛物线即可求解.
【详解】设2
00,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，211,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫
⎪⎝⎭，则
122212124
44
BC y y k y y y y -=
=+-
,同理020144,AC AB k k y y y y =
=++，故直线BC 方程为：2111244y y x y y y ⎛
⎫=-+ ⎪+⎝⎭
，
整理得()12124y y y x y y +=+,①由AB AC ⊥得
0201
441,y y y y ⋅=-++整理得()2120120160y y y y y y ++++=,②由①②两式得()()()120044y y y y x x ++=--，即直线BC 过点()004,E x y +-,
A 关于点E 的对称点即为点()008,3D x y +-在抛物线上，
代入得()2
00048936x y x +==，解得01x =.
故选:A.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中的定点问题，关键是利用垂直得斜率的关系进而求出定点坐标.9．CD 【分析】
根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案．【详解】
根据题意，对于数据1x ，2x ，L ，2024x ，假设122024x x x <<< ，
设其平均数为x 、中位数为m 、方差为2S 、极差为n ，则1220241()2024
x x x x =
+++ ，101210131
()2m x x =+，
20241n x x =-，
2222212320241
()(()]2024
S x x x x x x x x =
-+-+-+⋯⋯+-，又由2024(1i i y x i =+=，2，L ，2024)，
设其平均数为y 、中位数为m '、方差为2S '、极差为n '，则
数据
1
y ，
2
y ，
L
，
2024y 的平均数为
12202412202411(202420242024)()202420242024
y x x x x x x x =
+++++=+++=+ ，中位数10121013101210131
1(20242024)()202420242
2
m x x x x m '=+++=++=+，
2024120241(2024)(2024)n y y x x n '=-=+-+=，
方差2
22221220241
[(20242024)(20242024)(20242024)]2024
S x x x x x x S '=
+--++--+⋯⋯++--=，故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同．故选：CD ．10．ACD 【分析】
利用正弦定理、余弦定理边角互化，结合三角恒等变换逐一判断即可.
【详解】
选项A ：由正弦定理可得sin sin
sin sin 2
A C
A B A +=，因为ABC 中(),0,πA B ∈，πA B C ++=，所以sin sin 2
A C
B +=，所以πsin
cos 2sin cos 2222
B B B B -==，解得π
3B =，A 说法正确；
选项B ：若222sin 2sin sin sin sin sin sin B B C C A B C -+=-，则由正弦定理整理可得222a b c bc =+-，
又由余弦定理可得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，因为()0,πA ∈，所以π3
A =，
B 说法错误；选项
C ：若,,a b c 成等比数列，则2b ac =，
根据余弦定理可得22221
cos 222
a c
b a
c ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，
所以π
3
B ≤，
C 说法正确；
选项D ：若,,a b c 成等差数列，则2b a c =+，
根据正弦定理可得2sin sin sin B A C =+，所以()2sin 4sin cos 2sin cos 2222
A C A C A C A C
A C +++-+==，因为
()
,0,πA C ∈，所以2cos
cos 22
A C A C +-=，
展
开
得
2cos
cos 2sin sin cos cos sin sin 22222222
A C A C A C A C
-=+，即cos cos 3sin sin 02222
A C A C
-=，两边同除cos cos 22A C 得13tan tan 022
A C -=，即1
tan tan 223A C =，
所以tan 3tan 222A C +≥=，当且仅当tan 3tan 22A C =时等号成立，D 说法正确；
故选：ACD 11．AB 【分析】
根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系即可求出边长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面与平面ABCD 所成角.
【详解】连QR ，延长交直线11C D ，11C B 的延长线于点F ，E ，连PF 交1DD 于N ，连PE 交1BB 于M ，
连QN，RM得到截面五边形PNQRM，连接P与FE的中点O
.
由Q，R
为中点，MP NP
==
，QR=
，MR NQ
==
，故A正确
.
FE=
PF
PO=
1
2
PFE
S=⋅
，
111
sin
26
FNQ MRE
S S PFE FN FQ
==⋅∠⋅⋅=
，
截面多边形的面积为PFE FNQ MRE
S S S
--=
，故B正确.
PNQ
V与PMN
是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边形没有外接圆，故C错误.
根据二面角定义可知1A OP
∠为截面与底面所成角，
1
2
2
A O=，13
A P=
，根据余弦定理可得
222
11
1
1
cos
2
A O OP A P
A OP
A O OP
+-
∠==
1
sin AOP
∠=，故D错误.
故选AB.
12．1-
【分析】
依题意可得0
a b⋅=
，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为()
2,1
a=
r
，()
2,4
b t
=
且a b
⊥
，
所以22140
a b t
⋅=⨯+⨯=
，解得1
t=-.
故答案为：1-
13．410
a<<
【分析】
首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点()
3,
P a关于直线0
x y a
+-=的对称点为(),x y，
则13
302
2y a
x x a y a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，得03x y a =⎧⎨=-⎩，
又题意可知，()()22
023413a -+--<，解得：410a <<.故答案为：410a <<14．223
n
-，
2
【分析】
当0λ=，2μ=-时，利用构造法可得出数列{}2n a -是等比数列，求出1
2223
n n a --=-⨯，进而得出n a ；
当1λμ==时，由题目中的递推关系式可得1n n a a +>，111111
n n n a a a +=---，20252a >，即可求解.【详解】
当0λ=，2μ=-时，()121n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-，则数列{}2n a -是以12
23a -=-为首项，2为公比的等比数列.
所以12223n n a --=-⨯，即223
n
n a =-.
当1λμ==时，()2
11n n n a a a +=--，即()111n n n a a a +-=-，且()2
110n n n a a a +-=-≥，
∴1n n a a +>，111111
n n n a a a +=---.因为143a =
，所以2024
11220241111
i i
a a a a ==+++
∑ 122320242025111111111111a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1202511
11
a a =
-
--2025131
a =-
-由143a =
，()2
11n n n a a a +=--可得：2139a =，313381a =，46916126561
a +>=
.因为1n n a a +>，所以20252a >，20251011
a <
<-，
则2024112i i a =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑.故答案为：223
n
-；2.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前n 项和.利用构造法即可求解第一空；借助递推关系式得出1n n a a +>，
111111
n n n a a a +=---，20252a >是解答第二空的关键.15．(1)π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)()
π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）将π
6
x =
代入化简即可得出答案；（2）化简()sin y f x x =⋅，求1πsin 226y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即求πsin 26y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的单调递减区间，令
ππ3π2π22π,Z 262
k x k k +≤+≤+∈，即可得出答案.【详解】（1
）πππ1sin 166622f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
.（2）(
)2111πsin sin cos cos 22sin 22226y f x x x x x x x x ⎛
⎫=⋅==-=-+ ⎪⎝
⎭,求1πsin 226y x ⎛⎫=
-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即求πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间，令ππ3π
2π22π,Z 262
k x k k +≤+≤
+∈，解得：
π2π
ππ,Z 63
k x k k +≤≤+∈，所以所求的单调增区间为()π2ππ,πZ 63k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
.
16．(1)14
(2)分布列见解析，()23
6E X =
【分析】
（1）题意可知小强和小基两位同学两轮猜谜都猜对，根据独立重复事件计算方式计算即可；（2）“联盟队”两轮得分之和0,1,2,3,4,6X =，根据独立重复事件计算方式计算这6种情况概率即可.【详解】（1）解：记事i A ：两轮猜谜中，小强猜中第i 个；事件i B ：两轮猜谜中，小基猜中第i 个.()1,2i =()2
2
1212231344P P A A B B ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）“联盟队”两轮得分之和0,1,2,3,4,6X =()2
2
111043144
P X ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2
2
112
231112351C C 44333472
P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222
12
3112132125
2C 44333434144
P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1231121
3C 443312
P X ===
()5
412
P X ==
()22
2316344P X ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以“联盟队”两轮得分之和X 的分布列为X
012346
P
1
144
572
25144
112
5
1214
所求数学期望()236E X =.
17．(1)证明见解析(2)32【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一性质和面面垂直的性质可得QM ⊥平面ABCD ，由线面垂直性质可得结论；（2）方法一：取BC 中点F ，作MG QF ⊥，由线面垂直的性质和判定可证得MG ⊥平面QBC ，由线面
角定义可知sin 7
MNG ∠=
，根据长度关系可构造方程求得QM ，代入棱锥体积公式可求得结果；方法二：取BC 中点F ，以F 为坐标原点可建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法可构造方程求得
QM ，代入棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）M 是AD 中点，QA QD =，QM AD ∴⊥，
平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，QM ⊂平面QAD ，
QM ∴⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，QM BD ∴⊥.
（2）方法一：取BC 中点F ，连接,MF QF ，作MG QF ⊥，垂足为G ，连接,NG MC ，
,M F 分别为,AD BC 中点，//AB CD ，//MF AB ∴，又BC AB ⊥，MF BC ∴⊥；
由（1）知：QM ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，QM BC ∴⊥；
,QM MF ⊂ 平面QMF ，QM MF M = ，BC ∴⊥平面QMF ，
MG ⊂ 平面QMF ，BC MG ∴⊥，
又MG QF ⊥，QF BC F = ，,QF BC ⊂平面QBC ，MG ∴⊥平面QBC ，
∴直线MN 与平面QBC 所成角为MNG ∠，42sin 7
MNG ∴∠=，
设()0QM a a =>，
()13
22
MF AB CD =+= ，2
2
132BC AD AB ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
2
2
132MC MF BC ⎛⎫
∴=+ ⎪⎝⎭
2
11322
MN QC a ∴=+又2
23329944a QM MF
MG QF
a a ⋅=
=++，
22342
94sin 13
2
MG
a MNG MN a +∴∠=
=+3a =32a =，
()113
322
Q ABCD V AB CD BC QM QM -=⨯+⋅⋅= ，
∴当3QM =32Q ABCD V -=；当3
2QM =时，334
Q ABCD V -=.
综上所述：四棱锥Q ABCD -的体积为32或33
4
.
方法二：取BC 中点F ，连接MF ，
,M F 分别为,AD BC 中点，//AB CD ，//MF AB ∴，又BC AB ⊥，MF BC ∴⊥；
由（1）知：QM ⊥平面ABCD ，
以F 为坐标原点，,FM FB
正方向为,x y 轴正方向，过F 作z 轴//QM
，可建立如图所示空间直角坐标系，
设()0QM a a =>，
()13
22
MF AB CD =+=
，BC =
3,0,02M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，3,0,2Q a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，3,,42a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，3,42a MN ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
0,BC =
，32CQ a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
；设平面QBC 的法向量(),,n x y z =
，
则0302BC n CQ n x y az ⎧⋅==⎪
⎨⋅=+=⎪⎩
，令2x a =，解得：0y =，3z =-，()2,0,3n a ∴=-
；cos ,7MN n MN n MN n ⋅∴==⋅
，解得：a =32a =，()11322
Q ABCD V AB CD BC QM QM -=⨯+⋅⋅= ，
∴
当QM =32Q ABCD V -=；当3
2QM =
时，Q ABCD V -=综上所述：四棱锥Q ABCD -的体积为32
18．(1)22
3
(2)(
或(2,(3)9,02⎛⎫ ⎪
⎝⎭【分析】
（1）直接由定义求出即可；
（2）设出坐标，结合已知条件由射影定理求出即可；
（3）两次利用直曲联立，表示出点,B C 的坐标和直线BC 的斜率，由点斜式写出直线BC 方程，即可求出直线过的顶点.
【详解】（1）椭圆G 的离心率为c e a =
=（2）
设()2,P p ，直线2x =交x 轴于点Q ，由12PA PA ⊥，∴2
12||5
PQ QA QA =⋅=
∴(P 或(2,P （3）
()2,P p ，()13,0A -，()23,0A ，
∴()1:35
A P p
l y x =
+代入2299x y +=得：()
2
22292554812250p
x p x p +++-=，
()()()2
222544925812250
p p p ∆=-⨯+⨯->设()11,B x y ，()22,C x y ∴(
)21299253925
p x p --=
+，∴(
)21
23925925
p x
p --=
+，()123035925
p p y
x p =
+=+∴()
22
2392530,925925p p B p p ⎛⎫
-- ⎪ ⎪++⎝⎭.()2:3A p l y p x =--代入2299x y +=得：
()
2
22291548190p
x p x p +-+-=，
()()()2
222544918190
p p p ∆=-⨯+⨯->∴222819
391p x p -=+，∴()
22239191p x p -=
+，()2226391p y p x p =--=+∴()
2223916,9191p p C p p ⎛⎫
-
⎪++⎝⎭
∴2495BC
p k p -=+，∴(
)22
2239164:919591
BC p p p l y x p p p ⎛
⎫-- ⎪
-=- ⎪+++⎝
⎭
∴()
()()
222
221291469591
9591p p p p y x p p p p --=++++++()
2
222291
461959195
p p p y x p p p ⎛⎫-- ⎪
=++ ⎪+++⎝⎭
即直线BC 方程为：249952p y x p -⎛⎫
=
- ⎪
+⎝⎭
恒过定点为902,⎛⎫
⎪
⎝⎭
19．(1)()01f '=(2)证明见解析(3)
13
2ln 22
-【分析】（1）由12a =得到()e 22e
x x x
f x =+，然后求导后求解；
（2）当1x ≥时，()e 2e
x x x
f x =+，利用导数法证明；
（3）求导()()()
e e 1x x
g x a --'=-，由()()g m g n '='，得到e e 1m n a +=+，从而
()()()21(1)e 2m n
g m g n a a m n ++=++-+，令2(1)e 0,4m n a t +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭
，得到
()()()21
(1)ln 2
g m g n F t a t a t +==
++-，再利用导数法求解.【详解】（1）解：当12a =时，()e 22e
x x x
f x =+，
∴()()
2
e
12x x
x
f x e
+-'=，∴()01f '=；
（2）当1x ≥时，()e 2e x x x f x =+，∴()()
2
e 222e
x x x
f x +-'=，
令()=e 1x h x x --，则()=e 1x
h x '-，
当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>，所以当0x =时，()h x 取得最小值()0=0h ，则()0h x ≥，即e 1x x ≥+，∴()2
2e 21x x x ≥++∴()0f x '>，
∴()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()e 133
1cos 222
f x f x e ≥=
+>≥，得证；（3）当2a ≥时，()()2e 1e 2
x
x g x a ax =-++-，
()()()
e e 1x x g x a --'=-，所以()()0,ln ,0x a g x '∈>，()()(),0ln ,,0x a g x ∞'∈-⋃+∞<，
所以()g x 在()0,ln a 上递增，(),0∞-，()ln ,a ∞+上递减，由题意，()()g m g n '='，得e e 1m n a +=+，()()()21
(1)e 2
m n g m g n a a m n ++=
++-+，
由e e 1m
n
a +=+>2(1)0e
4m n
a ++<<，记2(1)e 0,4m n
a t +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭
，
则()()()21
(1)ln 2
g m g n F t a t a t +==
++-，()1a
F t t '=-，所以()()0,,0x a F x ∈'<，()()21,
,04a x a F x ⎛⎫+ ⎪⎪⎭'∈> ⎝，∴()F t 在()0,a 上递减，在2
(1),
4a a ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
上递增.∴()2min 1
(1)ln 2
h a F a a a a ==
++-，当2a ≥时，()ln 10h a a a -'=+>，∴()min 13
22ln22
h h ==
-.【点睛】方法点睛：利用导数法证明不等式()()f x g x ≥，一般是构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证()min 0h x ≥.。