江西省南昌市2011—2012学年度第一学期高二年级期末考试(理科乙卷)2

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南昌市2011—2012学年度第一学期高二年级期末考试
数学（理科乙卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内） 1．已知命题p ：对任意2,0x R x ∈≥，则
A ．:p ⌝存在2,0x R x ∈≥
B ．:p ⌝存在2,0x R x ∈≤
C ．:p ⌝存在2,0x R x ∈<
D ．:p ⌝对任意2,0x R x ∈< 2．设复数121,2z i z bi =+=+，若1
2
z z 为纯虚数，则实数b =
A ．2-
B 1-
C ．1
D ．2
3．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末
的瞬时速度是
A ．8米/秒
B ．7米/秒
C ．6米/秒
D ． 5米/秒 4．函数2
1
4y x x
=+
单调递增区间是 A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．1(,)2
+∞ D ．(1,)+∞ 5．若()sin cos f x x x =-,则()f a '等于
A ．sin a
B ．cos α
C ．sin cos αα+
D ．2sin α
6．某个命题与正整数有关，若当)(*
N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该
命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得
A ．当6=n 时，该命题不成立
B ．当6=n 时，该命题成立
C ．当4=n 时，该命题成立
D ．当4=n 时，该命题不成立 7．极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是
A ．两条直线
B ．两条射线
C ．圆
D ．一条直线和一条射线 8．若直线l 的参数方程为13()24x t
t y t =+⎧⎨
=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为
A ．45-
B ． 35-
C ． 35
D ． 4
5
9．用反证法证明命题：“三角形内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是
A ．假设三内角都不大于60度；
B ．假设三内角都大于60度；
C ．假设三内角至多有一个大于60度；
D ． 假设三内角至多有两个大于60度 10．“0a b ⋅=”是“2
2
0a b +=”的
A . 既不充分也不必要条件
B . 充要条件
C . 充分不必要条件
D . 必要不充分条件
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二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上）
11．
12
e
dx x =⎰ 。

12．在复平面内，复数(12)(1)i i +-对应的点的坐标为________________．
13．曲线C ：cos 1,
sin 1
x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为 .
14．若函数5)2()1(2
1
31)(23+'-'+-
=x f x f x x f ，
则曲线()f x 在点（0,(0)f ）处的切线方程为 ．
15．下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法
是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法。

正确的语句有是__________．(填序号)
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分8分）已知复数i m m m m )65()3(2
2
+-+-是纯虚数，求实数m 的值
17．（本小题满分10分）．已知0,1a a >≠，设p ：函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减， q ：曲线2(23)1y x a x =-＋＋与x 轴交于不同的两点.若“p 且q ”为假，“⌝q ”为假，求a 的取值范围
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18．（本小题满分10分）已知函数3
()3f x x x =-
（1）求曲线在2x =处的切线方程；
（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程 19．（本小题满分10分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313
8(0120)12800080
y x x x =
-+<≤已
知甲、乙两地相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
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20．（本小题满分12分）已知函数()x x x f sin -=，数列{}n a 满足：,101<<a ()1,n n a f a +=，
(1,2,)n =
（1）判断函数()x f 在[]1,0∈x 上的单调性； （2）证明：101<<<+n n a a 。

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2011—2012学年度第一学期南昌市高二年级期末考试
数学（理科乙卷）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11. 2； 12．(3,1); 13．2
2
(1)(1)1x y ++-=; 14. 5+=x y ; 15．①②③。

三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解：依题意2230
560
m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩ ……………4分 所以0323m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且，……………6分
所以0m = ………………………………………………………………………………………8分
17．解：解.依题意p :01a << …………………………………………………………2分 由2
(23)40a ∆=-->得：51
:22
q a a >
<或 ……………………………………………5分 因为“p 且q ”为假，且“⌝q ”为假,所以p 假q 真………………………………………7分
1
5,51
222
a a a a >⎧⎪
∴>⎨><⎪⎩或…………………………………………………………………10分 18．解：（1）2x =时，3
2322y =-⨯=，2'()33f x x =-，切线斜率(2)9k f '==……3分 切线方程为29(2)y x -=-即9160x y --=…………………………………………………5分
（2）设切点为3
(,3)Q x x x -，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--………7分
由于切线过点(2,6)P -，32
6(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--，解得0x =或3x = ……9分
所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= ……………10分 19．解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100
2.540
=小时， 要耗没313
(
40408) 2.517.512800080
⨯-⨯+⨯=（升）。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

……………4分 （2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
x
小时，设耗油量为()h x 升，
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依题意得3213100180015
()(
8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤………5分
33
22
80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤…………………………………………………6分
令'()0,h x =得80.x = 当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；…………………7分 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数。

………………………………………………8分 ∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

……………………………………9分
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。

……10分
20．解：（1）()x x f
cos 1'
-=，所以()x f 在[]1,0∈x 为增函数， …………………………4分
下证:()+∈<<N n a n 10
1）,1=n 显然成立；……………………………………………………………………………5分 2）假设k n =成立，即()()()1010f a f f a k k <<⇒<<…………………………………6分 所以11sin 101<-<<+k a ，所以1+=k n 也成立， ………………………………………8分 由1）和2) ()+∈<<N n a n 10 ………………………………………………………………10分 又11sin sin ,n n n n n n a a a a a a ++=-⇒-=-因为01n a <<，所以sin 0a -<
所以n n a a <+1……………………………………………………………………………………12分。