不等式的性质与证明PPT课件
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b 注意讨论a＞b，还是b＞a，一
般说来，变形越彻底越有利于下
一步的判断．
例3．解答下列各题：
1．已知：x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
2．已知：x 0, y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值．
xy
3．已知：a、b为实常数，求函数的 y ( x a)2 ( x b)2最小值．
2．比较两个实数a与b的大小，归结为判断它 们的差a－b的符号，这又必然归结到实数 运算的符号法则．因此，实数运算的符号 法则是学习不等式的基础．
3．复习不等式的性质时，要注意将不等式 的性质与等式的性质类比．注意它们之 间的区别，主要表现在与数相乘（除） 时，不等式两边所乘（除）的数的符号 不同，结论是不同的．
xy
分析：
本题的困难在于如何使用条件 1 9 1，如果从中解出 xy
x或y，再代入x＋y转化为一元函数的最值问题显然是比较复 杂的，这时我们可以考虑整体使用条件．
19
解法一：∵ x 0, y 0
1 xy
∴ x y ( 1 9)(x y) xy
y 9x 10 2 xy
y 9x 10 xy
∴C＞A
A B (1 a 2 ) (1 a 2 ) 2a 2 0 ∴A＞B
B D 1 a2
1
a(a 2
a
1)
a (a
1)2 2
5 4
1a
1a
1a
∵ 1 a 0 ∴ 1a 0 2
(a 1)2 5 ( 1 1)2 5 0 2 4 22 4
∴ B＞D
综上：C＞A＞B＞D
1．理解不等式的性质，能够对性质进行证明． 2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 3．掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不 等式． 4．能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确
错误，能正确使用特殊值法，判断不等式的正误．
1．（04—北京）
C．a 2 b2 2 2a 2b D． | a b | a b
分析：∵a＞0，b＞0 ∴ a b 2 ab， 1 1 2 1 a b ab
则 (a b) 1 1 2 ab 2 1 4
a b
ab
（A）成立
又∵ a 2 1 2a，b2 1 2b
∴ a 2 b2 2 2a 2b
即 bn b n
现在试题中“不等式证明”很 少，改为在一定条件下比大小，其 解题方法仍同于不等式的证明（只 不过未确定大小）．特别注意作差 比较法中，代数式的恒等变形．分 解因式，乘法公式的运用．
法”．
a
b
前者依靠 A－B 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠
（b＞0）与 1 的关系来确定 a，b大小，前者适用于多项式型，
后者适合指数型或对数性．此题适合用作商比较，利用同底数
幂的运算法则．
解：∵
aabb abba
aab
bba
a
ab
b
当 a＞b＞0 时，a 1，a－b＞0， b
6 10 16
当且仅当 y 9x ，且 1 9 1
xy
xy
即 x = 4，y = 12．
故 x = 4，y = 12 时 (x y) / min 16
解法二：由 1 9 1 ，得 ( x 1)( y 9) 9（定值）．
xy
又知 x＞1，y＞9， 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3 时，
2
2
解： y (x a)2 (x b)2
(x a)2 (b x)2 ( x a b x )2 2
(a b)2 2
当 x a b x ，即 x a b 时， 2
ymin
(a
b)2 2
从以上三个小题，可知“均值 不等式”的使用，注意了 “和”“积”的转换，达到了“放 缩”目的．解题时要创设应用均值 不等式的条件，合理拆分项或配凑 因式是常用的解题技巧，而拆与凑 的成因在于使等号能够成立．另外 还要注意“和定积最大，积定和最 小”．
即 x = 4，y = 12 时，(x y) / min 16
3．已知：a、b为实常数，求函数的 y ( x a)2 ( x b)2最小值．
分析：
从函数的解析式的特点看，本题可以展开解为
关于x的二次函数，再通过配方求其最小值．但若能
注意到（x－a）＋（b－x）为定值，利用变形不等
式 m 2 n2 ( m n )2 即可使本题得解．
ba
b
a
则 (a 1 )2 (b 1 )2 成立．
b
a
对于
a
1
b
1 b
若成立，则a－b＜b＜0．
∴a＜2b＜0这个结论不一定成立，
因此，只有（B）中两个结论均不成立．
∴选（B）
a2 C b2
5．（01－上海春）
设 a，b为实数，则 a＞b＞0 是 a2 b（2 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件
ab(m n) mn(a b) bn(b n)
∵ a 1, m 1，且a、b、m、n均正． bn
∴a＜b，m＜n
即 a b 0,m n 0 ． 故上式分子中 mn(a b) 0, ab(m n) 0
∴分子＜0，分母＞0．
则 am a m 0 bn b n am a m
1．不等式的定义：
若 a b 0 a b；a b 0 a b；a b 0 a b．
2．不等式的性质：
（1） a b b a （对称性） （2） a b, b c a c （传递性） （3） a b a c b c（加法不变性）
推论：若a＞b，且c＞d，则a+c>b+d（同向，可加性）
例4．已知a、b、m、n均为正数，且
a b
m n
1 ，比较
am bn
与 a m 的大小． bn
分析：
比较两个数（式）的大小，注意利用不等式的性质， 灵活应用已知条件，本题可采用作差比较法．
am a m am(b n) bn (a m)
解：∵
bn b n
bn (b n)
abm amn abn bmn bn (b n)
如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项 中不一定成立的是（ ）
A．ab＞ac
C．cb2 ca2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
分析： ∵ac＜0说明a、c异号，又c＜b＜a ∴a＞0，c＜0．
A．∵b＞c，a＞0 ∴ab＞ac正确 B．c＜0，b－a＜0
∴c(b－a)＞0正确
解：∵
1 2
a
0
，∴令
a
1 4
由此知 A 17 , B 15 ,C 4 , D 4 16 16 3 5∴可猜测C＞A＞B＞D NhomakorabeaC A
1
(1 a2 )
a a2 a 1
a (a 1 )2 3 2 4
1a
1a
1a
∵ 1 a 0,a 0
(a 1)2 3 0 24
∵０＜b＜a＜1， ∴ logba (0,1) ，则成立．
若令 b 1 , a 1 42
检验，D不成立． ∴选（D）
4．（99－上海）
若 a＜b＜0，则下列结论中正确的命题是（ ）
1 A．a
1 b
和
1 a
1 b 均不能成立．
B． 1 1
ab b
和
11 ab
均不能成立．
C． 1 1 和 (a 1 )2 (b 1 )2 均不能成立．
则
a ab
1，
b
所以 a abb a bba
当 b＞a＞0时，0 a 1，a－b＜0， b
则仍有
a
ab
1，
b
∴ aabb abba ．
综上所述，对于不相等的正数 a、b 都有 a abb a bba ．
使用作商比较时，一定要注
意a＞0、b＞0，解题的关键在于 变形的第二步，得出 a ab ．
本题我们采用了赋值法（特 殊值法），先行猜想，使问题得 以简化、明朗．注意赋值法是解 选择题、开放题等常用的方法， 它可将复杂问题简单化，是我们 常用的数学思想．
例2．设 a 0, b 0 ，且 a b ，试比较 aabb 与 abba 的大小．
分析：
比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较
D中ac＜0，a－c＞0 ∴ac(a－c)< 0正确，只有C中
∵b＜a，由于b未说明是否大于零．
∴ b2 a 2不一定成立．c＜0，
则 cb2 ca2 也不一定成立．
选（C）．
2．（04—湖南） 设a＞0，b＞0，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．(a b) 1 1 4 a b
B．a 3 b3 2ab2
ab a
b
a
D．1 1 和 (a 1 )2 (b 1 )2均不能成立．
ab
b
a
分析：∵a＜b＜0 ∴ 0 1 1
ab
1 a
1 b
，各A、B、D中的
1 a
1 b
不能成立．
又b＜0，－b＞0 ∴a－b＞a
又a－b＜0，∴
a
1
b
1 a
（C）中
a
1 b
1 a
不成立．
又∵a＜b＜0，1 1 0 ∴ a 1 b 1 0
例1．已知 1 a 0, A 1 a 2 , B 1 a 2 ,C 1 , D 1
2
1a 1a
比较A、B、C、D的大小．
分析：本题考查两个实数的大小，如果两个两个相比较，需
比较
C
2 4
6
次，运算量比较大．由于给定
1 2
a
0
，所以可令 a 1 采用特殊值办法，先猜出大小，
4
再证．
（C）成立
又∵ a b 时， a b ， (a b) a b ，
两边平方得 ab b 显然成立． ∴（D）成立．
在（B）中，
a 3 ab2 b3 ab2 0 (a b)(a 2 ab b2 ) 0
若a＞b，则a－b＞0
∴ a 2 ab b2 0 应恒成立．
但从上式看出，a与b之间尚有制约性． ∴选（B）
（4）a b, c 0 ac bc；a b, c 0 ac bc
（乘法单调性）
推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd
推论2：若a＞b＞0，则 an bn （ n N ，且 n＞1） 推论3：若a＞b＞0，则 n a n b（ n N ，且 n＞1）
3．不等式的证明的方法： 比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等．
分析：
有条件a＞b＞0，可推出 a 2 b2 ， 但从 a 2 b2 不一定能推出a＞b＞0，只能是 a b ．
∴条件a＞b＞0只能定 a 2 b2 的充分不必要条件．
∴选（A）
1．注意不等式的性质中左侧表示实数的运算 性质，右式反映的是实数的大小顺序，合 起来即为实数运算性质与大小顺序之间的 关系．这是不等式一章的理论基础，是不等 式性质的证明，证明不等式和解不等式的主 要依据．
4．在均值不等式的复习中，a2 b2 2ab 与 a b ab 成立的条件是不同的．前
2
者只要求a，b为实数，而后者要求a，b 为正数，这两个公式都是带有符号的不 等式．因此对其中“当且仅当……时取 ‘＝’号”这句话的含义要搞清楚．
5．能利用“均值不等式”证明的不等式， 用
其它证明方法一样可证．因此，均值不 等式就是利用这些方法证明的，要利用 均值不等式求函数的极值时，一定要注 意不等式使用的条件及等号能否成立， 6．不不可等乱式用证．明的方法很多，要注意恰当选 择方法，可使证明简化．
3．（04－湖北） 若 1 1 1 ，则下列不等式中不正确的是（ ）
ab
A．logab log b a 1 C． (logba)2 1
B． logab logb a 2
D． logab logb a loga b logb a
分析：
∵1 1 1 ab
∴0＜b＜a＜1 ，logab 0, log b a 0 ．A，B显然成立．
1．已知：x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
分析：
因为
4
x
5
0，所以首先要调整符号，又因为
(4
x
2)
4
1 x
5
不是常数，所以对 4x 2 要重新“配凑”．
解：∵ x 5 4
∴ 4x 5 0
∴ y 4x 2 1 4x 5
5 4x 0
(5 4x 1 ) 3 2 3 1 5 4x
当且仅当 5 4x 1 ,(5 4x)2 1 5 4x
5 4x 1
5 4x 1,4x 4, x 1
5 4x 1,4x 6, x 3 2
（不满足4 x 5 条件） 4
∴x =1 时，y 有最大值 1．
2．已知：x 0, y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值．
般说来，变形越彻底越有利于下
一步的判断．
例3．解答下列各题：
1．已知：x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
2．已知：x 0, y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值．
xy
3．已知：a、b为实常数，求函数的 y ( x a)2 ( x b)2最小值．
2．比较两个实数a与b的大小，归结为判断它 们的差a－b的符号，这又必然归结到实数 运算的符号法则．因此，实数运算的符号 法则是学习不等式的基础．
3．复习不等式的性质时，要注意将不等式 的性质与等式的性质类比．注意它们之 间的区别，主要表现在与数相乘（除） 时，不等式两边所乘（除）的数的符号 不同，结论是不同的．
xy
分析：
本题的困难在于如何使用条件 1 9 1，如果从中解出 xy
x或y，再代入x＋y转化为一元函数的最值问题显然是比较复 杂的，这时我们可以考虑整体使用条件．
19
解法一：∵ x 0, y 0
1 xy
∴ x y ( 1 9)(x y) xy
y 9x 10 2 xy
y 9x 10 xy
∴C＞A
A B (1 a 2 ) (1 a 2 ) 2a 2 0 ∴A＞B
B D 1 a2
1
a(a 2
a
1)
a (a
1)2 2
5 4
1a
1a
1a
∵ 1 a 0 ∴ 1a 0 2
(a 1)2 5 ( 1 1)2 5 0 2 4 22 4
∴ B＞D
综上：C＞A＞B＞D
1．理解不等式的性质，能够对性质进行证明． 2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 3．掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不 等式． 4．能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确
错误，能正确使用特殊值法，判断不等式的正误．
1．（04—北京）
C．a 2 b2 2 2a 2b D． | a b | a b
分析：∵a＞0，b＞0 ∴ a b 2 ab， 1 1 2 1 a b ab
则 (a b) 1 1 2 ab 2 1 4
a b
ab
（A）成立
又∵ a 2 1 2a，b2 1 2b
∴ a 2 b2 2 2a 2b
即 bn b n
现在试题中“不等式证明”很 少，改为在一定条件下比大小，其 解题方法仍同于不等式的证明（只 不过未确定大小）．特别注意作差 比较法中，代数式的恒等变形．分 解因式，乘法公式的运用．
法”．
a
b
前者依靠 A－B 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠
（b＞0）与 1 的关系来确定 a，b大小，前者适用于多项式型，
后者适合指数型或对数性．此题适合用作商比较，利用同底数
幂的运算法则．
解：∵
aabb abba
aab
bba
a
ab
b
当 a＞b＞0 时，a 1，a－b＞0， b
6 10 16
当且仅当 y 9x ，且 1 9 1
xy
xy
即 x = 4，y = 12．
故 x = 4，y = 12 时 (x y) / min 16
解法二：由 1 9 1 ，得 ( x 1)( y 9) 9（定值）．
xy
又知 x＞1，y＞9， 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3 时，
2
2
解： y (x a)2 (x b)2
(x a)2 (b x)2 ( x a b x )2 2
(a b)2 2
当 x a b x ，即 x a b 时， 2
ymin
(a
b)2 2
从以上三个小题，可知“均值 不等式”的使用，注意了 “和”“积”的转换，达到了“放 缩”目的．解题时要创设应用均值 不等式的条件，合理拆分项或配凑 因式是常用的解题技巧，而拆与凑 的成因在于使等号能够成立．另外 还要注意“和定积最大，积定和最 小”．
即 x = 4，y = 12 时，(x y) / min 16
3．已知：a、b为实常数，求函数的 y ( x a)2 ( x b)2最小值．
分析：
从函数的解析式的特点看，本题可以展开解为
关于x的二次函数，再通过配方求其最小值．但若能
注意到（x－a）＋（b－x）为定值，利用变形不等
式 m 2 n2 ( m n )2 即可使本题得解．
ba
b
a
则 (a 1 )2 (b 1 )2 成立．
b
a
对于
a
1
b
1 b
若成立，则a－b＜b＜0．
∴a＜2b＜0这个结论不一定成立，
因此，只有（B）中两个结论均不成立．
∴选（B）
a2 C b2
5．（01－上海春）
设 a，b为实数，则 a＞b＞0 是 a2 b（2 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件
ab(m n) mn(a b) bn(b n)
∵ a 1, m 1，且a、b、m、n均正． bn
∴a＜b，m＜n
即 a b 0,m n 0 ． 故上式分子中 mn(a b) 0, ab(m n) 0
∴分子＜0，分母＞0．
则 am a m 0 bn b n am a m
1．不等式的定义：
若 a b 0 a b；a b 0 a b；a b 0 a b．
2．不等式的性质：
（1） a b b a （对称性） （2） a b, b c a c （传递性） （3） a b a c b c（加法不变性）
推论：若a＞b，且c＞d，则a+c>b+d（同向，可加性）
例4．已知a、b、m、n均为正数，且
a b
m n
1 ，比较
am bn
与 a m 的大小． bn
分析：
比较两个数（式）的大小，注意利用不等式的性质， 灵活应用已知条件，本题可采用作差比较法．
am a m am(b n) bn (a m)
解：∵
bn b n
bn (b n)
abm amn abn bmn bn (b n)
如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项 中不一定成立的是（ ）
A．ab＞ac
C．cb2 ca2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
分析： ∵ac＜0说明a、c异号，又c＜b＜a ∴a＞0，c＜0．
A．∵b＞c，a＞0 ∴ab＞ac正确 B．c＜0，b－a＜0
∴c(b－a)＞0正确
解：∵
1 2
a
0
，∴令
a
1 4
由此知 A 17 , B 15 ,C 4 , D 4 16 16 3 5∴可猜测C＞A＞B＞D NhomakorabeaC A
1
(1 a2 )
a a2 a 1
a (a 1 )2 3 2 4
1a
1a
1a
∵ 1 a 0,a 0
(a 1)2 3 0 24
∵０＜b＜a＜1， ∴ logba (0,1) ，则成立．
若令 b 1 , a 1 42
检验，D不成立． ∴选（D）
4．（99－上海）
若 a＜b＜0，则下列结论中正确的命题是（ ）
1 A．a
1 b
和
1 a
1 b 均不能成立．
B． 1 1
ab b
和
11 ab
均不能成立．
C． 1 1 和 (a 1 )2 (b 1 )2 均不能成立．
则
a ab
1，
b
所以 a abb a bba
当 b＞a＞0时，0 a 1，a－b＜0， b
则仍有
a
ab
1，
b
∴ aabb abba ．
综上所述，对于不相等的正数 a、b 都有 a abb a bba ．
使用作商比较时，一定要注
意a＞0、b＞0，解题的关键在于 变形的第二步，得出 a ab ．
本题我们采用了赋值法（特 殊值法），先行猜想，使问题得 以简化、明朗．注意赋值法是解 选择题、开放题等常用的方法， 它可将复杂问题简单化，是我们 常用的数学思想．
例2．设 a 0, b 0 ，且 a b ，试比较 aabb 与 abba 的大小．
分析：
比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较
D中ac＜0，a－c＞0 ∴ac(a－c)< 0正确，只有C中
∵b＜a，由于b未说明是否大于零．
∴ b2 a 2不一定成立．c＜0，
则 cb2 ca2 也不一定成立．
选（C）．
2．（04—湖南） 设a＞0，b＞0，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．(a b) 1 1 4 a b
B．a 3 b3 2ab2
ab a
b
a
D．1 1 和 (a 1 )2 (b 1 )2均不能成立．
ab
b
a
分析：∵a＜b＜0 ∴ 0 1 1
ab
1 a
1 b
，各A、B、D中的
1 a
1 b
不能成立．
又b＜0，－b＞0 ∴a－b＞a
又a－b＜0，∴
a
1
b
1 a
（C）中
a
1 b
1 a
不成立．
又∵a＜b＜0，1 1 0 ∴ a 1 b 1 0
例1．已知 1 a 0, A 1 a 2 , B 1 a 2 ,C 1 , D 1
2
1a 1a
比较A、B、C、D的大小．
分析：本题考查两个实数的大小，如果两个两个相比较，需
比较
C
2 4
6
次，运算量比较大．由于给定
1 2
a
0
，所以可令 a 1 采用特殊值办法，先猜出大小，
4
再证．
（C）成立
又∵ a b 时， a b ， (a b) a b ，
两边平方得 ab b 显然成立． ∴（D）成立．
在（B）中，
a 3 ab2 b3 ab2 0 (a b)(a 2 ab b2 ) 0
若a＞b，则a－b＞0
∴ a 2 ab b2 0 应恒成立．
但从上式看出，a与b之间尚有制约性． ∴选（B）
（4）a b, c 0 ac bc；a b, c 0 ac bc
（乘法单调性）
推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd
推论2：若a＞b＞0，则 an bn （ n N ，且 n＞1） 推论3：若a＞b＞0，则 n a n b（ n N ，且 n＞1）
3．不等式的证明的方法： 比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等．
分析：
有条件a＞b＞0，可推出 a 2 b2 ， 但从 a 2 b2 不一定能推出a＞b＞0，只能是 a b ．
∴条件a＞b＞0只能定 a 2 b2 的充分不必要条件．
∴选（A）
1．注意不等式的性质中左侧表示实数的运算 性质，右式反映的是实数的大小顺序，合 起来即为实数运算性质与大小顺序之间的 关系．这是不等式一章的理论基础，是不等 式性质的证明，证明不等式和解不等式的主 要依据．
4．在均值不等式的复习中，a2 b2 2ab 与 a b ab 成立的条件是不同的．前
2
者只要求a，b为实数，而后者要求a，b 为正数，这两个公式都是带有符号的不 等式．因此对其中“当且仅当……时取 ‘＝’号”这句话的含义要搞清楚．
5．能利用“均值不等式”证明的不等式， 用
其它证明方法一样可证．因此，均值不 等式就是利用这些方法证明的，要利用 均值不等式求函数的极值时，一定要注 意不等式使用的条件及等号能否成立， 6．不不可等乱式用证．明的方法很多，要注意恰当选 择方法，可使证明简化．
3．（04－湖北） 若 1 1 1 ，则下列不等式中不正确的是（ ）
ab
A．logab log b a 1 C． (logba)2 1
B． logab logb a 2
D． logab logb a loga b logb a
分析：
∵1 1 1 ab
∴0＜b＜a＜1 ，logab 0, log b a 0 ．A，B显然成立．
1．已知：x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最大值．
4
4x 5
分析：
因为
4
x
5
0，所以首先要调整符号，又因为
(4
x
2)
4
1 x
5
不是常数，所以对 4x 2 要重新“配凑”．
解：∵ x 5 4
∴ 4x 5 0
∴ y 4x 2 1 4x 5
5 4x 0
(5 4x 1 ) 3 2 3 1 5 4x
当且仅当 5 4x 1 ,(5 4x)2 1 5 4x
5 4x 1
5 4x 1,4x 4, x 1
5 4x 1,4x 6, x 3 2
（不满足4 x 5 条件） 4
∴x =1 时，y 有最大值 1．
2．已知：x 0, y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值．