天津市武清区2020年高考数学联考试题
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又 ， ，
当平面 平面 时， ， ，排除B、D选项；
因为 ， ，此时， ，
当平面 平面 时， ， ，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
5．B
【解析】
【分析】
14．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
15． 的展开式中 的系数为__________．
16．学校艺术节对同一类的 ， ， ， 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
4．A
【解析】
【分析】
设 ，取 与 重合时的情况，计算出 以及 的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取 与 重合时的情况.
不妨设 ，延长 到 ，使得 ．
， ， ， ，则 ，
由余弦定理得 ，
， ，
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．若函数 有且只有4个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．已知复数 ，满足 ，则 （）
A．1B． C． D．5
7．已知 的内角 的对边分别是 且 ，若 为最大边，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知函数 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角梯形 中， ， ， ， ，点 为 上一点，且 ，当 的值最大时， ( )
A． B．2C． D．
2．把函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象．给出下列四个命题
（1）求数列 的前n项和 ；
（2）若 ，求数列 的前n项和为 .
21．（6分）已知函数 .
（1）讨论 的零点个数；
（2）证明：当 时， .
22．（8分）如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直， ， // ， .
（1）证明： //平面BCE.
（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求 .
11．集合 的真子集的个数为( )
A．7B．8C．31D．32
12．在边长为2的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 对折，使二面角 的余弦值为 ，则所得三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中， 的系数为_______（用数字作答）.
甲说：“ 或 作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；
丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”；丁说：“ 作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
23．（8分）设函数 ， ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ） 时，若 ， ，求证： ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
【分析】
由题，可求出 ，所以 ，根据共线定理，设 ，利用向量三角形法则求出 ，结合题给 ，得出 ，进而得出 ，最后利用二次函数求出 的最大值，即可求出 .
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18．在 中，角 的对边分别为 .已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的面积 的最大值.
19．（6分）已知 的面积为 ，且 .
（1）求角 的大小及 长的最小值；
（2）设 为 的中点，且 ， 的平分线交 于点 ，求线段 的长.
20．（6分）已知数列 为公差为d的等差数列， ， ，且 ， ， 依次成等比数列， .
①绕着 轴上一点旋转 ;
②沿 轴正方向平移;
③以 轴为轴作轴对称;
④以 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
9．函数 的大致图象为（）
A． B．
C． D．
10．已知函数f(x)＝ ,若关于x的方程f(x)＝kx－ 恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()
A． B．
C． D．
【详解】
由题, ,
则向右平移 个单位可得,
, 的值域为 ,①错误；
当 时, ,所以 是函数 的一条对称轴,②正确；
当 时, ,所以 的一个对称中心是 ,③正确；
,则 ,使得 ,则 在 和 处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
故选:C
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
① 的值域为
② 的一个对称轴是
③ 的一个对称中心是
④ 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（）
A．1Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2C．3D．4
3．已知函数 ， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的一条对称轴是（）
A． B． C． D．
4．如图，正四面体 的体积为 ，底面积为 ， 是高 的中点，过 的平面 与棱 、 、 分别交于 、 、 ，设三棱锥 的体积为 ，截面三角形 的面积为 ，则（）
【详解】
由题意，直角梯形 中， ， ， ， ，
可求得 ，所以 ·
∵点 在线段 上，设 ，
则
，
即 ，
又因为
所以 ，
所以 ，
当 时，等号成立.
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
2．C
【解析】
【分析】
由图象变换的原则可得 ,由 可求得值域；利用代入检验法判断②③；对 求导,并得到导函数的值域,即可判断④.
3．D
【解析】
【分析】
由题，得 ，由 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，可得最小正周期 ，从而求得 ，得到函数的解析式，又因为当 时， ，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得 ，
因为 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 的最小正周期 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 是函数 的一条对称轴，
当平面 平面 时， ， ，排除B、D选项；
因为 ， ，此时， ，
当平面 平面 时， ， ，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
5．B
【解析】
【分析】
14．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
15． 的展开式中 的系数为__________．
16．学校艺术节对同一类的 ， ， ， 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
4．A
【解析】
【分析】
设 ，取 与 重合时的情况，计算出 以及 的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取 与 重合时的情况.
不妨设 ，延长 到 ，使得 ．
， ， ， ，则 ，
由余弦定理得 ，
， ，
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．若函数 有且只有4个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．已知复数 ，满足 ，则 （）
A．1B． C． D．5
7．已知 的内角 的对边分别是 且 ，若 为最大边，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知函数 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角梯形 中， ， ， ， ，点 为 上一点，且 ，当 的值最大时， ( )
A． B．2C． D．
2．把函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象．给出下列四个命题
（1）求数列 的前n项和 ；
（2）若 ，求数列 的前n项和为 .
21．（6分）已知函数 .
（1）讨论 的零点个数；
（2）证明：当 时， .
22．（8分）如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直， ， // ， .
（1）证明： //平面BCE.
（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求 .
11．集合 的真子集的个数为( )
A．7B．8C．31D．32
12．在边长为2的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 对折，使二面角 的余弦值为 ，则所得三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中， 的系数为_______（用数字作答）.
甲说：“ 或 作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；
丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”；丁说：“ 作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
23．（8分）设函数 ， ．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ） 时，若 ， ，求证： ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
【分析】
由题，可求出 ，所以 ，根据共线定理，设 ，利用向量三角形法则求出 ，结合题给 ，得出 ，进而得出 ，最后利用二次函数求出 的最大值，即可求出 .
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18．在 中，角 的对边分别为 .已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的面积 的最大值.
19．（6分）已知 的面积为 ，且 .
（1）求角 的大小及 长的最小值；
（2）设 为 的中点，且 ， 的平分线交 于点 ，求线段 的长.
20．（6分）已知数列 为公差为d的等差数列， ， ，且 ， ， 依次成等比数列， .
①绕着 轴上一点旋转 ;
②沿 轴正方向平移;
③以 轴为轴作轴对称;
④以 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
9．函数 的大致图象为（）
A． B．
C． D．
10．已知函数f(x)＝ ,若关于x的方程f(x)＝kx－ 恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()
A． B．
C． D．
【详解】
由题, ,
则向右平移 个单位可得,
, 的值域为 ,①错误；
当 时, ,所以 是函数 的一条对称轴,②正确；
当 时, ,所以 的一个对称中心是 ,③正确；
,则 ,使得 ,则 在 和 处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
故选:C
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
① 的值域为
② 的一个对称轴是
③ 的一个对称中心是
④ 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（）
A．1Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2C．3D．4
3．已知函数 ， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的一条对称轴是（）
A． B． C． D．
4．如图，正四面体 的体积为 ，底面积为 ， 是高 的中点，过 的平面 与棱 、 、 分别交于 、 、 ，设三棱锥 的体积为 ，截面三角形 的面积为 ，则（）
【详解】
由题意，直角梯形 中， ， ， ， ，
可求得 ，所以 ·
∵点 在线段 上，设 ，
则
，
即 ，
又因为
所以 ，
所以 ，
当 时，等号成立.
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
2．C
【解析】
【分析】
由图象变换的原则可得 ,由 可求得值域；利用代入检验法判断②③；对 求导,并得到导函数的值域,即可判断④.
3．D
【解析】
【分析】
由题，得 ，由 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，可得最小正周期 ，从而求得 ，得到函数的解析式，又因为当 时， ，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得 ，
因为 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 的最小正周期 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 是函数 的一条对称轴，