[精品]华东师大初中数学八年级上册实数与实数的运算(提高)知识讲解(1)
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实数与实数的运算(提高)
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应.;
2. 会用有理数估计一个无理数的大致范围.
3. 会进行简单的实数四则运算,进一步认识近似数的概念.
4. 能用实数的运算解决一些简单的实际问题.
【要点梳理】
【高清课堂:389317 立方根、实数,知识要点】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释:(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不
能表示成分数的形式.
(2)常见的无理数有三种形式:①含π类.②看似循环而实质不循环的数,如:
1.313113111…….
.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分:
实数⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数
无理数:无限不循环小数
按与0的大小关系分:
实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0,负实数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
实数的运算顺序是:先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减.如果遇到括号,则先进行括号里的运算.
【典型例题】
类型一、实数概念
1、(2015春•港南区期中)把下列各数填入相应的大括号.
3,﹣,,0.5,2π,3.14159265,﹣|﹣25|,1.103030030003…(两个3之间依次
多一个0)
①有理数集合{…};
②无理数集合{…}
③正实数集合{…}
④负实数集合{…}.
【答案与解析】
解:①有理数集合{﹣,,0.5,3.14159265,﹣|﹣25|,…};
②无理数集合{ 3,2π,1.103030030003…(两个3之间依次多一个0)…}
③正实数集合{ 3,0.5,2π,3.14159265,1.103030030003…(两个3之间依次多一个0)…}
④负实数集合{﹣,,﹣|﹣25|,…}.
【总结升华】此题要求学生认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数.
举一反三:
【高清课堂:389317 立方根实数,例1】
【变式】判断正误,在后面的括号里对的用“√”,错的记“×”表示,并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数,还有π,1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数,是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数,其中无限不循环小数才是无
理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如π,虽然不带根号,但它是无限不循环小数,所以是无理数.
(6)(×)如,虽然带根号,但=9,这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示,无理数是无限不循环小数,所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较
2、(2016•安徽模拟)在如图所示的数轴上,点C 与点B 关于点A 对称,C 、A 两点对应的实数分别是和1,则点B 对应的实数为 .
【思路点拨】根据中点的性质得到AC=AB ,可得答案.
【答案与解析】
解:AC=﹣1,
AB=1﹣(﹣1)=2﹣,
点B 对应的数是2﹣.
【总结升华】本题考查了实数与数轴,利用AB=AC 得出AB=1﹣(
﹣1)是解题关键. 举一反三:
【变式】如图,A 、B 两点在数轴上表示的数分别是a 、b ,则下列式子中成立的是( )
A .a+b <0
B .-a <-b
C .1-2a >1-2b
D .|a|-|b|>0
【答案】C .
类型三、实数的运算
3、文文设计了一个关于实数运算的程序,按此程序,输入一个数后,输出的数比输入
的数的平方小1 )
A .5
B .6
C .7
D .8
【思路点拨】根据运算程序得出输出数的式子,再根据实数的运算计算出此数即可.
【答案】B ;
【解析】
解:∵输入一个数后,输出的数比输入的数的平方小1,
,则输出的结果为2
-1=7-1=6. 故选B .
【总结升华】本题考查的是实数的运算,根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键. 举一反三:
【变式】(2015•大连)计算:(
+1)(﹣1)+﹣()0
. 【答案】
解:原式=3﹣1+2﹣1 =1+2.
类型四、实数的综合运用
4、已知2(21)0a b -++4=
【答案与解析】
解:∵ 2(21)0a b -++=,且2(21)0a b -+≥0≥.
∴ 2(21)0,0a b --==,即210a b -+=,30b -=.
解得 b =3,a =54=得c =64.
∴6==.
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用,由210a b -+=,30b -=可
求a 、b 4=,所以c =64。