湖南省衡阳八中2011届高三第五次月考(数学文)

衡阳市八中
2011届高三年级第五次月考
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2，则1()3
f 的值为 （ ）
A ．1
B ．4
C ．9
D ．16
2．若集合},0{2
m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
3．如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相
同的是
（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（4） 4．在()0,ABC AB AB BC ABC ∆∙+=∆中，若则是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
5．已知曲线C 的参数方程是2cos 2sin x a y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），曲线C 不经过第二象限，则实
数a 的取值范围是
（ ）
A ．a ≥2
B ．a ＞3
C ．a ≥1
D ．a ＜0
6．定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-，且在[0,2]上是增函数，若(1)()
f m f m -<（22的圆柱 （1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥
（4）长、宽、高分别为2、3、4的长方体
成立，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．
1
22
m <≤
B ．13m -≤≤
C ．112m -≤<
D ．1
2
m >
7．已知1a >，1b >，且1ln 4a ，1
4
，ln b 成等比数列，则ab
（ ）
A ．有最大值e
B ．有最小值e
C
D
8．已知双曲线C ：2
2
21(0)y x b b
-=>，过点M （1，1）能作直线l 交双曲线C 于A 、B
两点，使得M 是线段AB 的中点，则实数b 取值范围为： （ ）
A ．
B ．(1,0)
(0,1)- C ．(0,1) D ．(1,)+∞
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上． 9．已知：||1,||2,,60,||a b a b a b ==<>=+则= 。

10．已知抛物线C :y ＝x 2，则抛物线C 准线方程为： 。

11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分
层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝______． 12．函数sin cos y x x =+在[0,]π上的单调增区间是： 。

13．直线3
1y kx b y x ax =+=++与曲线相切于点（2，3），则b 的值为: ．
14．由曲线y x =，y x =-，2x =，2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体
的体积为1V ；满足2
2
4x y +≤，22(1)1x y +-≥，22
(1)1x y ++≥的点组成的图形绕
y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式
1V :2V = 。

15．已知数列{}n a 是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈*N ，且{}n
a 中任意两项之和
也是该数列中的一项．
（1）若14a =，则d 的取值集合为 ；
（2）若12()m a m *=∈N ，则d 的所有可能取值的和为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若c
o s 10C =-，cos B =． （1）求cos A 的值；
（2）若a =
ABC ∆的面积．
17．某高校2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：
第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示。

⑴求第3、4、5组的频率；
⑵为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ ⑶在⑵的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：
第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？
18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AB= AD=2P A，
E、F分别是PB、PC的中点．
⑴证明：EF∥平面P AD；
⑵求直线CE与直线PD所成角的余弦值．
19
现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A和630单位维生素B．
⑴若混合食物中恰含580单位维生素A和660单位维生素B，求混合食物的成本为多
少元?
⑵分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多
少元？
20．已知数列{},n n a n S 的前项和为且对任意正整数(1)n n n S p a =-总有（p 为常数，且
0,1p p ≠≠），数列{}n n b b kn q =+满足（q 为常数） ⑴求数列{}n a 的首项1a 及通项公式（用p 表示）；
⑵若恰好存在唯一实数p 使得1133,,a b a b ==求实数k 的取值的集合。

21．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ． ⑴①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； ⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
222
2
a b ON
OM
+
为定值．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1—4CBCB 5—8AABC
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上． 9．
10．答案：14
y =- 11．答案：80 12．答案：[0,
]4
π
13．答案：—15 14．答案： 4:3
15．答案：（1）{}1,2,4；（2）121m +-
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．
若c
o s C =
cos B =． （1）求cos A 的值；（2
）若a =
ABC ∆的面积． 解：（1
）
cos()cos A B C +=-=
cos cos[()]10510510
A A
B B =+-=
+⨯=
224
cos 22cos 12(
1105
A A ∴=-=⨯-=……………………………………6分 （2
）
cos A =
，sin A ∴=
=， 4b ∴=．
1114
sin 422105
ABC S ab C ∆∴=
=⨯=……………………………………12分 17．
18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AB= AD=2P A，
E、F分别是PB、PC的中点．
⑴证明：EF∥平面P AD；
⑵求直线CE与直线PD所成角的余弦值．
解：（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥B C．
又BC∥AD，∴EF∥AD,
又∵AD⊄平面P AD，E F⊄平面P AD,
∴EF∥平面P A D．
（Ⅱ）连结BD，取BD中点G，连结EG，CG，EC，
则
设AB= AD=2P A=2
EG=1 2
CG
，
∴222cos 2CE GE CG CEG CE GE +-∠==⋅
∴直线CE 与直线PD
所成角的余弦值
35。

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现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg 混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A 和630单位维生素B ．
⑴若混合食物中恰含580单位维生素A 和660单位维生素B ，求混合食物的成本为多少元?
⑵分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？
【解】解法一：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg ，ykg ，zkg ，混合食物的成本为p 元，
则（Ⅰ）依题意得10607040580804050660x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即102318316z x y x y x y =--⎧⎪
+=⎨⎪-=⎩
． （2分）
由此解得x ＝6，y ＝z ＝2． （4分）
故混合食物的成本为6×11＋2×9＋2×4＝92（元）． （5分） （II ）
10
607040560
8040506300,0,0
x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪++≥⎪
⎨
++≥⎪⎪>>>⎩，即2316031300,0x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪>>⎩． （7分） 且11947540p x y z x y =++=++．
（8分） 作可行域，如图． （10分）
由23160
3130
x y x y +-=⎧⎨
--=⎩，得点A （5，2）．
平移直线7x ＋5y ＝0，由图知，当直线经过点A 时， 它在y 轴上的截距为最大，所以点A 为最优解，
此时75524085p =⨯+⨯+=（元）． （12分）
故用甲种食物5kg ，乙种食物2kg ，丙种食物3kg 时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元． （13分）
解法二：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg ，ykg ，zkg ，混合食物的成本为p 元，则
10
607040560
8040506300,0,0x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪++≥⎪
⎨
++≥⎪⎪>>>⎩
，即46323130,0
x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪>>⎩． （7分） 且11947540p x y z x y =++=++． （8分） 因为75(46)(3)45x y x y x y +=++-≥，
所以7540454085p x y =++≥+=． （10分）
当且仅当4632313x y x y +=⎧⎨
-=⎩，即52
x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以p 的最小值为45． （12分）
故用甲种食物5kg ，乙种食物2kg ，丙种食物3kg 时，才能使混合食物的成本最低，其
最低成本为85元． （13分）
20．已知数列{},n n a n S 的前项和为且对任意正整数(1)n n n S p a =-总有（p 为常数，且
0,1p p ≠≠），数列{}n n b b kn q =+满足（q 为常数）
⑴求数列{}n a 的通项公式（用p 表示）；
⑵若恰好存在唯一实数p 使得1133,,a b a b ==求实数k 取值的集合。

（||）1133a b a b =⎧⎨=⎩31()31
p
k q p p k q
p ⎧=+⎪-⎪
⇒⎨
⎪=+⎪-⎩3()211p p k p p ⇒=+--3()211p p k p p ⇒-=--
考虑函数3
(),0f x x x x =-≠且1x ≠
则2
'()313(33
f x x x x =-=+
- 所以3
(),0f x x x x =-≠且1x ≠
在(,-∞
，
，)+∞
上为增函数；在(上为减函数； 恰好存在唯一实数p 使得1133,,a b a b ==
只要方程3
2x x k -=，0x ≠且1x ≠恰有一个实数解。

由图象可知，实数k 的取值的集合为
23
(,{0}(,)-∞+∞ 21．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,
A B ．
（Ⅰ）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；
（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； （Ⅱ）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
2222a b ON OM +为定值．
解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，
∴ b c =，
∴ 2222b a c c =-=，
∴ 222a c =，
∴2
e =． （ⅱ）由90APB ∠=
及圆的性质，可得OP =， ∴2222,OP b a =≤
∴222a c ≤ ∴212
e ≥
，12e ≤<． ---------------- 6分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则
011011
y y x x x y -=-- 整理得220011x x y y x y +=+
22211x y b +=
∴PA 方程为：211x x y y b +=，
PB 方程为：222x x y y b +=．
∴11x x y y +=22x x y y +， ∴021210
x y y x x y -=--
,
直线AB 方程为 ()0110
x y y x x y -=--，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2
0b OM x x ==， ∴22222
22220022442a y b x a b a b a b b b
ON OM ++===， ∴2222a b ON OM +为定值，定值是2
2a b ．
----------------13分。