2020年高一数学下册点拨复习测试题5

由果导因妙解题
“假设结论已知”是笛卡尔的一个解题思想，即从结论入手，用分析的方法，通过等价推理，寻找最终解题所需要的条件，以下举例说明其在立体几何中的应用．
例１如图1，在四面体A-VBC中，VA=VB=VC，∠AVB=∠AVC=60°，
∠BVC=90°，求证：平面VBC⊥平面ABC．
分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实
现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直
的直线呢？
我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平
面垂直的性质定理，在平面VBC内作VD⊥BC，则VD⊥平面ABC，所以VD即为我们所要寻找的直线．
要证明VD⊥平面ABC，除了已知的VD⊥BC之外，还需要在平面ABC内找一条直线与VD垂直，哪一条呢？
假设已经知道VD⊥平面ABC，则VD与平面ABC内的任意直线均垂直，即必有VD⊥AB，VD⊥AC，但这两个垂直的证明较难入手．还有其他的直线吗？
连结AD呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则必有VD⊥AD．通过计算可得到∠VDA=90°，原题得证．
证明：设BC的中点为D，连结VD，AD，因为VB=VC ，所以
VD ⊥BC ；
设VA =VB =VC =1，因为∠AVB =∠AVC =60°，∠BVC =90°，所以AB =AC =1，BC =2，VD =AD =22
，所以∠VDA =90°，即VD ⊥AD ，又已知AD ∩BC =D ，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面ABC ．
例2 如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．
分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条
相交直线与另一平面平行．
假设两平面平行已知 ，则一个平面内的任意直线
均与另一个平面平行，所以有1A B ，1A D ，BD 均与平面
11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择1A B ，1A D ． 要想证明11A B A D ，与平面11CB D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直
线分别与11A B A D ，平行．
假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定
理，过1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．
而易知1CD ，1B C 分别与1A B ，1A D 平行，原题得证．
证明：因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以有11A D BC ∥，即四边形
11A BCD 为平行四边形，从而有11A B CD ∥，又已知1A B ⊄平面11CB D ，1CD ⊂平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D B C ∥，从而有1A B ∥平
面11CB D ；又已知11A B A D A I ，所以有平面1A BD ∥平面11CB D ．。