人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题
1．过点
)
引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当
AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D 2．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2
224x y -+= B ．()2
224x y ++= C ．()()2
2
448x y -+-=
D ．()()22
448x y ++-=
3．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()2
2
234x y +++=作一条切线切于点
T ，则MT 的最小值为（ ）
A B ．4
C ．
D ．4．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆
22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．16
D ．20
5．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=
B ．310x y +-=
C ．3240x y -+=
D ．230x y --=
6．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4±
B ．－4
C ．4
D ．2±
7．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此
时a 的值为（ ） A ．3
B ．－3
C ．
13
D ．－
13
8．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2
C
D ．9．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于
A ，
B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ） A ．8 B ．4
C ．24
D ．16
10．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+=上， 则m c += .
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．⎡⎢⎣⎦
D ．⎡⎢⎣⎦
12．曲线21
4y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k
的取值范围是（ ）
A ．50,12⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．13,34⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．
53,124
二、填空题
13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
AOB 面积的最大值为__________.
14．已知两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，则c 的值为______.
15．若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹方程是______．
16．已知圆C ：()2
234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段
MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．
17．过圆226430x y x y +-+-=的圆心，且垂直于2110x y ++=的直线方程是______．
18．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．
19．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__. 20．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()2
2
:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使
3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.
三、解答题
21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．
（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标． 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：
20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．
（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程；
（3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．
23．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆2
2
2:10100C x y x y +++=相切于原点，直线
:(21)(1)740l m x m y m +++--=．
（1）求圆1C 的方程；
（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值． 24．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，AB 4=，M 过点A ，B 且与直线20
x +=相切.
（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；
（2）求
M 的圆心M 点的轨迹方程.
25．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上． （1）求圆C 的标准方程；
（2）设点()()1,0Q m m ->在圆C 上，求△QAB 的面积．
26．已知圆22:40C x y mx my +++-=关于直线10x y ++=对称， （1）求圆C 的标准方程；
（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程：若不存在，说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由y =2
2
1x y +=()0y ≥，由题知直线斜率存在，设直线l 的斜率为k ，
10k -<<，设直线l 为0(y k x -=，然后根据圆的弦长公式||AB =
以及圆心O 到直线l 的距离
d =1
2
AOB
S
d AB =
，进而化简求解即可 【详解】
由y =2
2
1x y +=()0y ≥，
∴曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），
由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，
则10k -<<，∴直线l
的方程为：0(y k x -=-
，即0kx y --= 则圆心O 到直线l
的距离d =
=
直线l 被半圆所截得的弦长为
||AB ===
12AOB
S
d AB ==
=
=令
2
1
1
t k
=+ 则AOB
S
=，
当3
t 4=，即2
1314k =+时，AOB S 有最大值为
1
2
此时，
2
131
4
k =+ k ∴=又
10k -<
<，
k ∴=
综上所述，直线l 的斜率是
故答案为：A 【点睛】
关键点睛：通过圆的弦长公式||AB =
和圆心O 到直线l
的距离d =
得出12AOB
S
d AB ==211
t k =+，可得AOB
S
=，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题
2．A
解析：A 【分析】
设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】
设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==
整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，
所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2
2
24x y -+=.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．D
解析：D 【分析】
根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算
可得答案． 【详解】
根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，
过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，
而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4
min MC ==，
则||MT = 故选：D 【点睛】
方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.
4．A
解析：A 【分析】
由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】
两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，12
1a b
+=， ∵0,0a b >>，
∴1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+
+≥+=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．
故选：A ． 【点睛】
本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．
5．A
解析：A 【分析】
根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于
x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求
方程即可. 【详解】
解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：43
6413
y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.
【点睛】
本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.
6．B
解析：B 【分析】
由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】
因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】
易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题
7．C
解析：C 【分析】
先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂
直的性质可得答案. 【详解】
直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .
圆2
2
:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41
332PC k -=
=-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313
PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.
故选：C . 【点睛】
方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ；
（3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0
,0f x y g x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
求解. 8．C
解析：C 【分析】
求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】
圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+， 所以2
2
15221(1)
d -+=
=+- ，
圆22
(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值2222d r -=
故选C ． 【点睛】
圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.
9．A
解析：A 【分析】
根据题意，得到四边形PAOB 的面积2
2224PAO
S S PA PO ===-只需求PO 最小值，进而可求出结果.
【详解】
因为圆2
2
4x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r
，
圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，
所以直线2100x y ++=与圆2
2
4x y +=相离，
又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆2
2
4x y +=相切于A ，
B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，
因此四边形PAOB 的面积为
12222
PAO PBO
PAO
S S
S
S
PA r PA =+==⨯
⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，
又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =
所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAO
S =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.
10．C
解析：C 【分析】
由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02
c
x y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】
由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线02c x y -+=上
代入得：
12022
m c
+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.
11．B
解析：B 【分析】
首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】
依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，
过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02
sin 452
OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，
解得011x -≤≤．
故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.
12．D
解析：D 【分析】 易知曲线21
4y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24
y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线21
4y x 变形为2
22
1
41
41y x x y y 表示以()0,1 为圆心，
以2为半径的半圆，
直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，
在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：
当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
2
3221k
k -=+，解得5
12k =，即5
12
AC k ，又413
224
AB k ， 由图知：当曲线21
4y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：
AC
AB k k
k ，即
53124
k <≤. 故选：D 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆
解析：3 【分析】
设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】
可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈
设圆心O 到直线的距离为d
，则d =
AB =，
∴
12
AOB
S
AB d d =⨯⨯=== 当2
3d
=，即
()2
2
231
m m -=
+，即22
m -±=
时，AOB
S 取得最大值为3.
故答案为：3. 【点睛】
关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.
14．或【分析】根据两平行线间的距离公式得到即可求解【详解】由题意两条平行直线与间的距离为3根据两平行线间的距离公式可得解得或即的值为或故答案为：或【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条平行线间
解析：9-或21. 【分析】
3=，即可求解.
【详解】
由题意，两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，
根据两平行线间的距离公式，可得3d =
=，
解得21c =或9c =-，即c 的值为9-或21. 故答案为：9-或21. 【点睛】
两平行线间的距离的求法：
利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式求解.
15．【分析】直线上到原点的距离最近的点就是过原点作直线的垂线垂足即为又原点到直线的距离为定值所以可知动点的轨迹【详解】∵原点到直线的距离为∴当在实数范围内变化时动点的轨迹为以原点为圆心半径为1的圆即其轨 解析：221x y +=
【分析】
直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，就是过原点作直线的垂线，垂足即为M ，又原点到直线的距离为定值，所以可知动点M 的轨迹. 【详解】
∵原点()0,0到直线cos sin 10x y θθ++=的距离为
2
2
1cos sin θθ
=+，
∴当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹为以原点()0,0为圆心，半径为1的圆， 即其轨迹方程为2
2
1x y +=． 故答案为：221x y += 【点睛】
本题主要考查轨迹方程，解决与直线有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，属于中档题.
16．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆 解析：23
【分析】
题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232
l
PC d =-=，进一步求出答案. 【详解】
题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，
由题意知，圆心()3,0C ，半径2r
线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离2
23011
52+1
d -⨯-+=
=，
根据图像的对称性可知
2232
l
PC d =-= 所以线段MN 长度的最大值为3 故答案为: 3 【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.
17．【分析】求出圆心坐标由垂直设出直线方程为代入圆心坐标求出参数得直线方程【详解】圆的标准方程是圆心坐标为垂直于的直线方程为则∴所求直线方程为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由垂直求直线方程解题方法 解析：280x y --=
【分析】
求出圆心坐标，由垂直设出直线方程为20x y m -+=，代入圆心坐标求出参数m ，得直线方程． 【详解】
圆22
6430x y x y +-+-=的标准方程是22
(3)(2)10x y -++=，圆心坐标为(3,2)-，
垂直于2110x y ++=的直线方程为20x y m -+=，则23(2)0m ⨯--+=，8m =-， ∴所求直线方程为280x y --=． 故答案为：280x y --=． 【点睛】
方法点睛：本题考查由垂直求直线方程，解题方法有两种：
（1）由垂直得斜率乘积为1-，得出所求主直线的斜率，再由写出点斜式方程， （2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为0Bx Ay m -+=，代入已知点坐标求出参数m 后可得．
18．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B
解析：x ＋4y －4＝0
【分析】
设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得
a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．
【详解】
设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】
本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．
19．【分析】利用配方法将圆化成标准方程得其圆心为当垂直这条弦时所得到的弦长最短求出直线的斜率后再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解【详解】解：将圆化成标准形式为圆心为则点A 在圆内当垂直这条弦时所得到
解析：80x y +-=
【分析】
利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为M ，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线AM 的斜率AM k 后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解. 【详解】
解：将圆2248800x y x y +---=化成标准形式为22
(2)(4)100x y -+-=，圆心为
(2,4)M ，则点A 在圆内，
当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，
54
132
AM k -=
=-， ∴这条弦所在直线的斜率为1-，其方程为5(3)y x -=--，即80x y +-=.
故答案为：80x y +-=. 【点睛】
本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化、两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
20．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]
【解析】 【分析】
设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，
所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：2
2
(1)4x y +-= ，
所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()2
2
:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.
所以13≤
≤ ，解得03a ≤≤.
所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3].
故答案为：[0,3]. 【点睛】
本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.
三、解答题
21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为
()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；
（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】
解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，
即260kx y k --+=2=，解得4
3
k =
，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，
设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．
由于以PO 为直径的圆的方程为2222
442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
即()22
80x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为22
4x y +=②．
①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=，
则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．
22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】
（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利
用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOB
AOP
BOP
S
S
S
=+求出
面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；
（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】
（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为1212
2(,)22
x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，
所以
1212
22022
x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率122122277
44
x x x k x x x +=
==-， 所以直线AB 的方程为7
(1)4
y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，
联立10
x my x y =+⎧⎨
-=⎩，得11x y m ==-，所以11
(
,)11A m m --(1)m <， 联立120
x my x y =+⎧⎨
+=⎩，得121x m =+，221y m =-
+1()2m >-，所以12
(,)2121B m m -++， 所以AOB
AOP BOP
S S
S
=+112||()2121OP m m =
+-+11
2221
m m =+-+， 因为220,210m m ->+>， 所以
112221m m +-+112221
()22213
m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-
+14(233
≥+=， 当且仅当1
4
m =时，等号成立， 所以AOB S
的最小值为
4
3，此时14m =，直线AB 的方程为114
x y =+，即
440x y --=.
（3）由（2
）知，||PA ==
||PB =
21
m =
+，
所以||||PA PB ⋅
=222221m m m +=-++222(1)2(1)3
m m m +=-+++ 2
2
321
m m =
+-++， 令53(,4)2
m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==
-++
-≤
=
，当且仅当=t
3m =时，23
1
m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取
得最小值，此时直线AB
的方程为3)1x y =+
，即3)10x y --=. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2
） 【分析】
（1）设2
2
2
1:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；
（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】
（1）设2
2
2
1:()()C x a y b r -+-=，圆2
2
2:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，
半径为
则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=
，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程为2
2
(3)(3)18x y -+-=.
（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=， 由27040x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩得3
1x y =⎧⎨=⎩
，所以直线l 过定点(3,1)B ，
设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d
，则1||2d C B ≤==，当且仅当
1l BC ⊥时，等号成立，
所以弦长||AB =≥=.
所以直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值为. 【点睛】
关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键. 24．（1）2r 或6r =；（2）2
4y x =.
【分析】 （1）
M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上，设(),M a a ，根据AOM
为直角三角形，由勾股定理即可求解.
（2）设(), M x y ，由于MO AO ⊥，根据AOM 为直角三角形，由勾股定理即可求解. 【详解】 解：（1）因为
M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.
由已知A 在直线0x y +=上，且A ，B 关于坐标原点O 对称， 所以M 在直线y x =上，故可设(),M a a . 因为
M 与直线20x +=相切，所以M 的半径为2r a =+.
由已知得2AO =，(),M a a 点到0x y +==
又MO AO ⊥，故可得()2
2242a a +=+，解得0a =或4a =. 故
M 的半径2r 或6r =.
（2）设(), M x y ，由已知得
M 的半径为2r x =+，2AO =， MO =
由于MO AO ⊥，所以2
2
2MO OA r +=，
故可得()2
2242x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为2
4y x =.
【点睛】
思路点睛：直线和圆相交时，通常用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形建立等量关系. 25．（1）()()2
2
3640x y ++-=；（2）24． 【分析】
（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．
AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，
AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．
由33150y x x y =-+⎧⎨
+-=⎩，得3
6x y =-⎧⎨=⎩
，即圆心()3,6C -．
∴
半径r ==．
故所求圆C 的标准方程为()()2
2
3640x y ++-=． （2）
点()()1,0Q m m ->在圆C 上，
12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，
12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，
点B 到直线AQ 的距离为4，
QAB ∴的面积11
41242422
S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．
【点睛】
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 26．（1）2
2
119
()()2
2
2
x y +++=
；（2）存在，且切线方程为20x y +-=或40x y ++=．
【分析】
（1）由直线过圆心可求得m ；
（2）设出截距相等的直线方程（判断是否是两种情形，一种过原点，一种不过原点），由圆心到切线的距离等于半径求得参数即得直线方程． 【详解】
（1）由题意圆心为(,)22m m C -
-，∴1022
m m
--+=，1m =， ∴圆方程为2240x y x y +++-=，标准方程为2
2
1
19()()2
2
2
x y +++=， （2）由（1）知圆心为11(,)22
C --
，半径为2
r =， 因此原点在圆内．截距相等的切线不过原点． 设截距相等的切线方程为0x y a ++=，
2=，解得2a =-或4a =， ∴存在，且切线方程为20x y +-=或40x y ++=． 【点睛】
易错点睛：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆相切问题．在截距相等的直线中要注意分类讨论：直线过原点，设直线方程为y kx =，直线不过原点，设直线方程为
0x y a ++=，容易忘记过原点的直线的横纵截距也相等．。