2024届辽宁省锦州市名校中考联考数学试卷含解析

2024届辽宁省锦州市名校中考联考数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）
A．
3
3
πB．
3
2
π
C．πD．
3
2
π
2．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是() A．B．C．D．
3．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤
2
3
AM MF
=．其中正确结论的是（）
A．①③④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④⑤
4．已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一，二，四象限，那么直线y=bx-a一定不经过（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A ．
12
B ．2
C ．
55
D ．
25
5
6．下列说法中，正确的是（ ） A ．长度相等的弧是等弧
B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C ．经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D ．在同圆或等圆中90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径
7．如图，A ，C ，E ，G 四点在同一直线上，分别以线段AC ，CE ，EG 为边在AG 同侧作等边三角形△ABC ，△CDE ，△EFG ，连接AF ，分别交BC ，DC ，DE 于点H ，I ，J ，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ 的面积是（ ）
A ．
3
8
B ．
34
C ．
12
D ．
32
8．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m ，先到终点
的人原地休息．已知甲先出发2s ．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：①a ＝8；②b ＝92；③c ＝1．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．仅有①②
C ．仅有①③
D ．仅有②③
9．将抛物线2y
x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A ．2(2)3y x =+-
B ．2(2)3y x =++
C ．2(2)3y x =-+
D ．2(2)3y x =--
10．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是( )
A ．60
B ．65
C ．70
D ．75
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =1
3
S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA+PB 的最小值为______．
12．现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a （不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b ，则点（a,b ）在直线11
+22
y x = 图象上的概率为__．
13．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==．O 的半径为2，
点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ (点
Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为______．
14．若n 边形的内角和是它的外角和的2倍，则n = .
15．从﹣2，﹣1，2，0这四个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点不在第三象限的概率是_____．
16．若关于x 的函数2y kx 2x 1=+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 . 三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）
画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；以点B
为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比为2︰1，并直接写出C 2点的坐标及△A 2BC 2的面积．
18．（8分）黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．
（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；
（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？
19．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝55，求BD 的长．
20．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ． （1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若DE ＝2BC ，AD ＝5，求OC 的值．
21．（8分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（l）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数______．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向
点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？23．（12分）如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A、C两点间来回摆动，A点与地面距离AN=14cm，小球在最低点B时，与地面距离BM=5cm，∠AOB=66°，求细线OB的长度．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）
24．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星期一二三四五
每股涨跌（元）+2 ﹣1.4 +0.9 ﹣1.8 +0.5
根据上表回答问题：
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解题分析】
试题分析：连接OB，OC，
∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=3A=30°，∴3，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则劣弧BC长为6033 1803
π
=．
故选A.
考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．
2、D
【解题分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【题目详解】
解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．
故选D．
【题目点拨】
本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形
3、D
【解题分析】
根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出
∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后
求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得
2AM MD AD
EM AM AE
===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=
2
3
MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确． 【题目详解】
在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°， ∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点， ∴AE=BF=
1
2
BC ， 在△ABF 和△DAE 中，
AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABF ≌△DAE （SAS ）， ∴∠BAF=∠ADE ，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°， ∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确； ∵DE 是△ABD 的中线， ∴∠ADE≠∠EDB ，
∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误； ∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ， ∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴
2AM MD AD
EM AM AE
=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ， ∴MD=2AM=4EM ，故④正确；
设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，
在Rt △ABF 中，AF=
()
2
22225AB BF a a a +=
+=
∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°， ∴△AME ∽△ABF ， ∴
AM AE
AB AF
= ， 即
25AM a
a a
=， 解得AM=
255
a
∴MF=AF-AM=25355=
55
a a
a -
，
∴AM=
2
3
MF ，故⑤正确； 如图，过点M 作MN ⊥AB 于N ， 则
MN AN AM
BF AB AF
== 即5
525a
MN AN a a a
== 解得MN=
a 5
2，AN=4
5a ，
∴NB=AB-AN=2a-45a =6
5
a ，
根据勾股定理，22
226221055NB MN a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ， 则OK=a-
a 5
2=a 53，MK=65a -a=1
5a ，
在Rt △MKO 中，5==
根据正方形的性质，BO=2a×
2
=，
∵BM 2+MO 2=2
2
22a ⎫⎫
+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭
)
2
2
22BO a =
=
∴BM 2+MO 2=BO 2，
∴△BMO 是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个． 故选：D 【题目点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键． 4、D 【解题分析】
根据直线y=ax+b （a≠0）经过第一，二，四象限，可以判断a 、b 的正负，从而可以判断直线y=bx-a 经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决． 【题目详解】
∵直线y=ax+b （a≠0）经过第一，二，四象限， ∴a ＜0，b ＞0，
∴直线y=bx-a 经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选D ． 【题目点拨】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5、A 【解题分析】
分析：连接AC ，根据勾股定理求出AC 、BC 、AB 的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，根据正切的定义计算即可． 详解： 连接AC ，
由网格特点和勾股定理可知， AC=2,22,10AB BC ==，
AC 2+AB 2=10，BC 2=10，
∴AC 2+AB 2=BC 2，
∴△ABC 是直角三角形，
∴tan ∠ABC=212
22AC AB ==. 点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 6、D
【解题分析】
根据切线的判定，圆的知识，可得答案．
【题目详解】
解：A 、在等圆或同圆中，长度相等的弧是等弧，故A 错误；
B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B 错误；
C 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C 错误；
D 、在同圆或等圆中90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故D 正确；
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了切线的判定及圆的知识，利用圆的知识及切线的判定是解题关键．
7、A
【解题分析】
根据等边三角形的性质得到FG ＝EG ＝3，∠AGF ＝∠FEG ＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG ＝90°，根据相似三角形的性质得到
AE AG =EJ GF =36，AC AE =CI EF =13
，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【题目详解】
∵AC ＝1，CE ＝2，EG ＝3，
∴AG ＝6，
∵△EFG 是等边三角形，
∴FG ＝EG ＝3，∠AGF ＝∠FEG ＝60°，
∵AE ＝EF ＝3，
∴∠FAG ＝∠AFE ＝30°，
∴∠AFG ＝90°，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠DEC ＝60°，
∴∠AJE ＝90°，JE ∥FG ，
∴△AJE ∽△AFG ， ∴
AE AG =EJ GF =36
， ∴EJ ＝13， ∵∠BCA ＝∠DCE ＝∠FEG ＝60°，
∴∠BCD ＝∠DEF ＝60°，
∴∠ACI ＝∠AEF ＝120°，
∵∠IAC ＝∠FAE ，
∴△ACI ∽△AEF ， ∴AC AE =CI EF =13
， ∴CI ＝1，DI ＝1，DJ ＝
12，
∴IJ ＝2
，
∴DIJ S =12•DI•IJ ＝12×12 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
8、A
【解题分析】
解：∵乙出发时甲行了2秒，相距8m ，∴甲的速度为8/2＝4m/ s ．
∵100秒时乙开始休息．∴乙的速度是500/100＝5m/ s ．
∵a 秒后甲乙相遇，∴a ＝8/(5－4)＝8秒．因此①正确．
∵100秒时乙到达终点，甲走了4×(100＋2)＝408 m，∴b＝500－408＝92 m．因此②正确．
∵甲走到终点一共需耗时500/4＝125 s，，∴c＝125－2＝1 s．因此③正确．
终上所述，①②③结论皆正确．故选A．
9、A
【解题分析】
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【题目详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选A．
10、D
【解题分析】
由题意知：△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．
故选D．
【题目点拨】
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解题分析】
分析：首先由S△PAB=1
3
S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称
点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
详解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AB•h=
1
3
AB•AD，
∴h=2
3
AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=2222
=44=42
AB AE
++，
即PA+PB的最小值为42．
故答案为42．
点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
12、1 6
【解题分析】
根据题意列出图表，即可表示（a，b）所有可能出现的结果,根据一次函数的性质求出在
11
+
22
y x
=图象上的点，即可
得出答案．【题目详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直线
11
+
22
y x
=图象上的只有(3,2)，
∴点（a，b）在
11
+
22
y x
=图象上的概率为
1
6
．
【题目点拨】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．
13、23 【解题分析】 连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【题目详解】
连接OQ ．
∵PQ 是O 的切线，
∴OQ PQ ⊥；
∴222PQ OP OQ =-，
∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，
∴PQ 的长最短，
∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==，
∴28AB OA =
=， ∴4OA OB OP AB
⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=.
故答案为：23
【题目点拨】
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB ⊥时，线段PQ 最短是关键．
14、6
【解题分析】
此题涉及多边形内角和和外角和定理
多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º
所以，由题意可得180(n-2)=2×
360º
解得：n=6
15、56
【解题分析】
列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．
【题目详解】
如图：
共有12种情况，在第三象限的情况数有2种，
故不再第三象限的共10种，
不在第三象限的概率为105=126
， 故答案为56
． 【题目点拨】
本题考查了树状图法的知识，解题的关键是列出树状图求出概率．
16、0或－1。

【解题分析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：
当k=0时，函数y 2x 1=-是一次函数，与x 轴仅有一个公共点。

当k≠0时，函数2y kx 2x 1=+-是二次函数，若函数与x 轴仅有一个公共点，则2kx 2x 10+-=有两个相等的实数根，即()224k 10k 1∆=-⋅⋅-=⇒=-。

综上所述，若关于x 的函数2y kx 2x 1=+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为0或－1。

三、解答题（共8题，共72分）
17、解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（2，－2）．（2）如图，△A 2BC 2即为所求，C 2（1，0），△A 2BC 2的面积：10
【解题分析】
分析：（1）根据网格结构，找出点A 、B 、C 向下平移4个单位的对应点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，
再根据平面直角坐标系写出点1C 的坐标；（2）延长BA 到2A 使A 2A =AB ，延长BC 到2C ，使C 2C =BC ，然后连接A 2C 2即可，再根据平面直角坐标系写出2C 点的坐标，利用△2A B 2C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
本题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2)
(2)如图,△2A B 2C 为所求,2C (1,0)，
△2A B 2C 的面积： 6×4−12×2×6−12×2×4−12
×2×4=24−6−4−4=24−14=10， 18、（1）2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%；（2）该校的寝室建成后最多可供1名师生住宿.
【解题分析】
（1）设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x ，根据2018及2020年寝室数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设双人间有y 间，则四人间有5y 间，单人间有（121-6y ）间，可容纳人数为w 人，由单人间的数量在20至30之间（包括20和30），即可得出关于y 的一元一次不等式组，解之即可得出y 的取值范围，再根据可住师生数=寝室数×每间寝室可住人数，可找出w 关于y 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【题目详解】
（1）解：设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x ，
根据题意得：64（1+x ）2=121，
解得：x 1=0.375=37.5%，x 2=﹣2.375（不合题意，舍去）．
答：2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%．
（2）解：设双人间有y 间，可容纳人数为w 人，则四人间有5y 间，单人间有（121﹣6y ）间，
∵单人间的数量在20至30之间（包括20和30），
∴ 121620{121630
y y -≥-≤ ，
解得：15 1
6
≤y≤16
5
6
．
根据题意得：w=2y+20y+121﹣6y=16y+121，
∴当y=16时，16y+121取得最大值为1．
答：该校的寝室建成后最多可供1名师生住宿．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
19、BD＝
【解题分析】
作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．
【题目详解】
作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∵CD＝10，AD＝，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴
1
2 AB
CM
=，
∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，
∴BM＝BC+CM＝10，
∴BD＝＝
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）．
【解题分析】
试题分析：（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
试题解析：（1）连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．3分
又∵CO＝CO, OD＝OB
∴△COD≌△COB（SAS）4分
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵△COD≌△COB．
∴CD=CB ．
∵DE=2BC ，
∴ED=2CD ．
∵AD ∥OC ，
∴△EDA ∽△ECO ． ∴， ∴．
考点：1.切线的判定2.全等三角形的判定与性质3.相似三角形的判定与性质．
21、（1）抽样调查（2）150°（3）180件（4）25 【解题分析】
分析：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷
90360=24（件），C 班作品的件数为：24-4-6-4=10（件）；继而可补全条形统计图；
（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷
90360
=24件， C 班有24﹣（4+6+4）=10件，
补全条形图如图所示，
扇形统计图中C 班作品数量所对应的圆心角度数360°×1024=150°；
故答案为150°；
（3）∵平均每个班24
4
=6件，
∴估计全校共征集作品6×30=180件．
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，
∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为82
= 205
．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时古典概
型求法：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m
n
，求出
P（A）．．
22、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝15
11
或t＝
9
13
时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的面积最大，最
大值是1．
【解题分析】
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝1
FQ AD
2
＝﹣
1
4
（t﹣2）2+1，
依此即可求解．
【题目详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE 上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，
∴CE ＝5，
当∠QPC ＝90°时，
∵cos ∠QPC ＝=PC OC CQ CE
， ∴3325-=t t ，解得t ＝1511
； 当∠PQC ＝90°时，
∵cos ∠QCP ＝
=CQ OC CP CE
， ∴2335=-t t ，解得t ＝913． ∴当t ＝1511
或 t ＝913时，△PCQ 为直角三角形； （3）∵A （1，4），C （3，0），
设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，则有：
k b 43k b 0+=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩
．故直线AC 的解析式为y ＝﹣2x+2． ∵P （1，4﹣t ），将y ＝4﹣t 代入y ＝﹣2x+2中，得x ＝1+2
t ， ∴Q 点的横坐标为1+2t ，将x ＝1+2
t 代入y ＝﹣（x ﹣1）2+4 中，得y ＝4﹣2
4t ． ∴Q 点的纵坐标为4﹣2
4
t ， ∴QF ＝（4﹣24t ）﹣（4﹣t ）＝t ﹣2
4
t ， ∴S △ACQ ＝S △AFQ +S △CFQ ＝12FQ•AG+12
FQ•DG ， ＝12
FQ （AG+DG ）， ＝12
FQ•AD ， ＝12
×2（t ﹣2
4t ），
＝﹣1
4
（t﹣2）2+1，
∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【题目点拨】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．
23、15cm
【解题分析】
试题分析：设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，证出四边形ANMD是矩形，得出AN=DM=14cm，求出OD=x-9，在Rt△AOD中，由三角函数得出方程，解方程即可．
试题解析：设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，如图所示：
∴∠ADM=90°，
∵∠ANM=∠DMN=90°，
∴四边形ANMD是矩形，
∴AN=DM=14cm，
∴DB=14﹣5=9cm，
∴OD=x﹣9，
在Rt△AOD中，cos∠AOD=OD AO
，
∴cos66°=
9
x
x
=0.40，
解得：x=15，
∴OB=15cm．
24、（1）25.6元；（2）收盘最高价为27元/股，收盘最低价为24.7元/股；（3）-51元，亏损51元.
【解题分析】
试题分析: （1）根据有理数的加减法的运算方法，求出星期二收盘时，该股票每股多少元即可．
（2）这一周内该股票星期一的收盘价最高，星期四的收盘价最低．
（3）用本周五以收盘价将全部股票卖出后得到的钱数减去买入股票与卖出股票均需支付的交易费，判断出他的收益情况如何即可．
试题解析:
(1)星期二收盘价为25+2−1.4=25.6(元/股)
答：该股票每股25.6元.
(2)收盘最高价为25+2=27(元/股)
收盘最低价为25+2−1.45+0.9−1.8=24.7(元/股)
答：收盘最高价为27元/股，收盘最低价为24.7元/股. (3)(25.2-25) ×1000-5‰×1000×(25.2+25)=200-251=-51(元) 答：小王的本次收益为-51元.。