江苏省镇江市丹徒高级中学2018-2019学年高一下学期第一次学情调研数学试题(含答案)

镇江市丹徒高级中学高一2018-2019学年第二学期
第一次学情调研数学试卷
2019.3
（考试时间120分钟，试卷满分150分)
一.选择题（每题5分 共30分）
1.在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于----------------------------------【 】 A. 3 B ．3 C. 5 D ．5
2.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝6，c ＝10，则△ABC 的面积为----------------------------【 】 A ．15 6 B ．15 3 C ．15 D ．30
3．函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫1－x
2(0＜x ＜2)的最大值是--------------------------------------------------【 】 A.14 B.1
2 C ．1 D ．2 4.已知
32
2a b
+=(a>0,b>0),则ab 的最小值是---------------------------------------------【 】 A.4 B.5 C.6 D.7
5．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于----------------------------------【 】 A.14 B.34 C.24 D.23
6.下列函数中，最小值是2为-----------------------------------------------------------------【 】
A. 1y x
x =+ B.1sin sin y x x =+，(0,)2
x π∈ C.2y =
D.2y
二.填空题： （每题5分 共50分）
7．命题:“(0,)x ∃∈+∞,2
10x x ++>”的否定是 ．
8. 设,a b 是实数，且3,a b +=则22a b
+的最小值为 .
9. 函数=
y 1
8
2-+x x )1(>x 的最小值为 ． 10. 已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5
y
的最小值 ．
11. 在ABC ∆中，已知6=a ，︒=45A ，︒=75B ，则=c _________.
12. 在△ABC 中，内角A B C ，，的对边依次为,,a b c ，若32a b ＝ ，
则222
2sin sin sin B A A
- ＝ .
13. 已知△ABC 的三边长为3,4,a b c ==则△ABC 的最大内角为 .
14. 在△ABC 中，222
4
a b c S +-=，则角C 的度数是__________.
15.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝13
14
，则最大角的余弦值为_______．
16. 有一长为10 m 的斜坡，坡角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的坡角改为30°，则坡底要延长________m.
三.解答题: （本大题共6小题， 17小题10分，18—22每小题12分，共计70分．）
17. 解不等式 213x x ++->.
18.(1) 已知x ＞2，求y ＝x ＋
1x －2
的最小值； (2) 已知x ＞0，求y ＝2－x －4
x 的最大值；
19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3
cos 4
A =.
（1）若2C A =，求c
a
的值；（2）若a 2bc =，求边b ，c 的长．
20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：
千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时
14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
21. 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
22.已知函数a a x f x x x x ++-+=--)22(44)(， （1）设22x
x
t -=+，求t 的取值范围； （2）求当2-=a 时，)(x f 的最小值； （3）若)(x f 1≥-恒成立,求a 的取值范围.
答案:
一.选择题(本大题共6小题，每小题5分，共计30分．)
二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．)
7． (0,)x ∀∈+∞,210x x ++≤ ； 8．
； 9． 8 ； 10． 2； 11． 3 ； 12.
7
2
； 13． 0120 ； 14． 045 ； 15． 1
7
- ； 16．
三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式 213x x ++->.
答案为：{|1,2}x x x ><-或
18. (1)min 4,y = 当且仅当3x = 时取等号 (2) max 2,y =- 当且仅当2x = 时取等号 19. （1）
32
c a =； （2）边1,2b c ==或2,1b c ==． 20. 解
1
(1)设所用时间为t ＝130
x (h)，
y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130
x
，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130
360
x ，x ∈[50,100]
(或y ＝2 340x ＋13
18x ，x ∈[50,100])．
(2)y ＝130×18x ＋2×130
360
x ≥2610，
当且仅当130×18x ＝2×130
360
x ， 即x ＝1810时等号成立．
故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.
21.
在ABC ∆中，30,30,18045135BC B ACB ==∠=-=， ∴所以15.A =
由正弦定理知：
sin sin BC AC A B =，所以30sin15sin 30AC
=，
所以30sin 30
60cos 152
).sin 15
AC === ∴A 到BC 所在直线的距离为：
sin 451)40.98382
AC ⋅=⋅=≈>（海里），
当且仅当22
x
x =
，即
0x =时等号成立. 即t 的取值范围为[2,)+∞. (2). 当2-=a 时，
2()442(22)2(22)22(22)2x x x x x x x x f x ----=+++-=+-++-,
记函数224y t t =+-，则()()2
15,2y t t =+-≥，
则由函数单调性，当2t =，即0x =时，函数取得最小值为4. (3) 221y t at a =-+-≥-
21(1)t a t ∴-≥- , 10t -≥
1a t ∴≤+ 又2t ≥ 3a ∴≤。