2020-2021学年某校高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年某校高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）
1. 已知集合A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|x 2≤1}，则A ∩B =( ) A.{−1, 0, 1}
B.{0, 1}
C.{−1, 1}
D.{0, 1, 2}
【答案】 A
【考点】 交集及其运算 【解析】
解求出B 中的不等式，找出A 与B 的交集即可． 【解答】
解：因为A ={−1, 0, 1, 2}， B ={x|x 2≤1}={x|−1≤x ≤1}， 所以A ∩B ={−1, 0, 1}. 故选A .
2. 化简AB →
+BC →
−AD →
等于（ ） A.CD →
B.DC →
C.AD →
D.CB →
【答案】 B
【考点】
向量的加法及其几何意义 向量的减法及其几何意义 【解析】
直接利用向量的加减法求法即可． 【解答】
解：AB →
+BC →
−AD →
=AC →
−AD →
=DC →
． 故选：B ．
3. 已知角α的终边经过点P(3, −4)，那么sin α=( ) A.3
5
B.−4
5
C.3
4
D.−3
4
【答案】 B
【考点】 三角函数 【解析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值． 【解答】
解：由于角α的终边经过点P(3, −4)，∴ x =3，y =−4，r =|OP|=5，∴ sin α=
y r
=−4
5
，
故选：B ．
4. |a →
|＝6√3，|b →
|＝1，a →
⋅b →
=−9，则a →
与b →
的夹角（ ） A.120∘
B.150∘
C.60∘
D.30∘
【答案】 B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a →
与b →
的夹角的余弦值，可得a →
与b →
的夹角． 【解答】
∵ |a →
|＝6√3，|b →
|＝1，a →
⋅b →
=−9，则设a →
与b →的夹角为θ，θ∈[0∘, 180∘]， 由 √3⋅1⋅cos θ＝−9，求得cos θ=−√3
2
，∴ θ＝150∘，
5. 以下函数既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的是（ ） A.f(x)＝x 4
B.
C. D.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断 【解析】
根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可． 【解答】
对于A ，函数在(0，不合题意； 对于B ，函数不是偶函数； 对于C ，函数不是偶函数；
对于D ，函数既是偶函数又在(0，符合题意；
6. A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若A ，B 两人的平均成绩分别是x A ，x B ，观察茎叶图，下列结论正确的是( )
A.x A<x B，B比A成绩稳定
B.x A>x B，B比A成绩稳定
C.x A<x B，A比B成绩稳定
D.x A>x B，A比B成绩稳定
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
根据茎叶图中数据，色彩A、B的成绩，分别计算二人的平均分，再根据两人的成绩分布判断方差大小．
【解答】
解：由茎叶图知，A的成绩为81、82、85、94、118，平均成绩为92；
B的成绩为88、98、97、104、103，平均成绩为98；
从茎叶图上可以看出B的数据比A的数据集中，B比A成绩稳定.
故选A.
7. 函数y＝|lg(x−1)|的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
函数的图象与图象的变换
对数函数的图象与性质
【解析】
求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．
【解答】
由x −1>0得x >3，即函数的定义域为(1，排除A ，B ，D ，
8. 设x 0是函数f(x)＝ln x +x −4的零点，则x 0所在的区间为（ ） A.(0, 1)
B.(1, 2)
C.(2, 3)
D.(3, 4)
【答案】 C
【考点】
函数零点的判定定理 【解析】
由函数的解析式可得 f(2)<0，f(3)>0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点x 0所在的区间． 【解答】
∵ x 0是函数f(x)＝1nx +x −4的零点，f(2)＝ln 2−2<0，f(3)＝ln 3−1>0， ∴ 函数的零点x 0所在的区间为(2, 3)，
9. 已知函数f(x)的定义域是(0, +∞)，满足f(2)＝1且对于定义域内任意x ，y 都有f(xy)＝f(x)+f(y)成立，那么f(2)+f(4)的值为（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】 C
【考点】 求函数的值
抽象函数及其应用 函数的求值
【解析】
由f(4)＝f(2×2)＝f(2)+f(2)＝2f(2)，可得 f(4)＝2，从而得到所求． 【解答】
∵ f(4)＝f(2×2)＝f(2)+f(2)＝3f(2)， ∴ f(4)＝2．
∴ f(2)+f(4)＝1+8＝3，
10. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，
ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的
取值范围是( ) A.[−1, 0)
B.[0, +∞)
C.[−1, +∞)
D.[1, +∞)
【答案】 C
【考点】 函数的零点 【解析】
由g(x)=0得f(x)=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，
作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：
当直线y=−x−a的截距−a≤1，
即a≥−1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g(x)存在2个零点，
故实数a的取值范围是[−1, +∞).
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的横线上）
已知幂函数f(x)＝xα（α为常数）过点，则f(x)＝________．
【答案】
x−2
【考点】
指数函数的图象与性质
【解析】
使用待定系数法求出f(x)的解析式．
【解答】
∵幂函数f(x)＝xα（α为常数）过点，∴2α＝，解得α＝−2．
∴f(x)＝x−2．
设m∈R，向量＝(1, −2)，＝(m, m−2)，若，则m等于________．
【答案】
【考点】
平行向量（共线）
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得(m −2)＝−2m ，解可得m 的值，即可得答案． 【解答】
根据题意，向量，−2)，，m −2)，
若，则有4×(m −2)＝−2m ，
某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
派出的医生至少2人的概率________． 【答案】 0.74
【考点】
互斥事件的概率加法公式 【解析】
利用对立事件的概率计算公式即可得出． 【解答】
解：设派出的医生至少2人事件A ，则P(A)=1−P(A ¯
)=1−0.1−0.16=0.74． 故答案为：0.74
已知点A 、B 分别在函数f(x)=e x 和g(x)=3e x 的图象上，连接A ，B 两点，当AB 平行于x 轴时，A 、B 两点间的距离为________． 【答案】 ln 3
【考点】
指数函数的性质 【解析】
根据题意，由y =e x 求出x =ln y ；由y =3⋅e x (k >0)求出x =ln y
3，作差等于ln 3 【解答】
解：根据题意， ∵ y =f(x)=e x ， ∴ x =ln y ；
又∵ y =g(x)=3e x ， ∴ x =ln y
3；
∴ A 、B 两点之间的距离为ln y −ln y
3=ln (y ÷y
3)=ln 3， 故答案为：ln 3
如图，向量BP →
=14BA →
，若OP →=xOA →+yOB →
，则x −y =________．
【答案】
−12
【考点】
平面向量的基本定理及其意义 【解析】
先将BP →
=14
BA →
中的所有向量用OP →，OA →，OB →
表示，从而求出x ，y 的值，即可求出所求．
【解答】
解：∵ BP →
=14BA →
，
∴ OP →
−OB →
=1
4(OA →
−OB →
)，即OP →
=14OA →
+34OB →
， ∵ OP →
=xOA →
+yOB →
，
∴ x =1
4
，y =3
4
，即x −y =−1
2
．
故答案为：−1
2
．
已知数集X ={x 1, x 2, ..., x n }（其中x i >0，i =1，2，…，n ，n ≥3），若对任意的
x k ∈X(k =1, 2,…n)，都存在x i ，x j ∈X(x i ≠x j )，使得下列三组向量中恰有一组共线： ①向量(x i , x k )与向量(x k , x j )； ②向量(x i , x j )与向量(x j , x k )；
③向量(x k , x i )与向量(x i , x j )，则称X 具有性质P ，例如{1, 2, 4}具有性质P ． （1）若{1, 3, x}具有性质P ，则x 的取值为________
（2）若数集{1, 3, x 1, x 2}具有性质P ，则x 1+x 2的最大值与最小值之积为________． 【答案】 （1）1
3，√3，9； （2）
1003．
【考点】
平行向量的性质 【解析】
（1）由题意可得：(1, 3)与(3, x)；(1, x)与(x, 3)；(3, 1)与(1, x)中恰有一组共线，分别求出相应的x 的值即可；
（2）由（1）知，可得x 1=1
3，√3，9，再利用新定义验证，得到{1, 3, 1
3, x 2}具有性质P 时的x 2=
127
，1
9
，√33
，√3，9，27，
同理分别得到{1, 3, √3, x 2}以及{1, 3, 9, x 2}具有性质P 时的x 2的值，即可得到x 1+x 2的最大值与最小值之积．
【解答】 解：（1）由题意可得：(1, 3)与(3, x)；(1, x)与(x, 3)；(3, 1)与(1, x)中恰有一组共线， 当(1, 3)与(3, x)共线时，可得x =9，此时另外两组不共线，符合题意， 当(1, x)与(x, 3)共线时，可得x =√3，此时另外两组不共线，符合题意， 当(3, 1)与(1, x)共线时，可得x =1
3，此时另外两组不共线，符合题意，
故x 的取值为：1
3，√3，9；
（2）由（1）的求解方法可得x 1=1
3，√3，9， 当x 1=1
3
时，由数集{1, 3, 1
3
, x 2}具有性质P ，
①若(1, 3)与(3, x 2)；(1, x 2)与(x 2, 3)；(3, 1)与(1, x 2)中恰有一组共线，可得x 2=9，√3；
②若(1, 1
3
)与(1
3
, x 2)；(1, x 2)与(x 2, 1
3
)；(1
3
, 1)与(1, x 2)中恰有一组共线，可得x 2=
√33
，19
；
③若(3, 1
3)与(1
3, x 2)；(3, x 2)与(x 2, 1
3)；(1
3, 3)与(3, x 2)中恰有一组共线，可得x 2=1
27，27；
故{1, 3, 13, x 2}具有性质P 可得x 2=127，19，√3
3，√3，9，27；
同理当x 1=√3时，{1, 3, √3, x 2}具有性质P 可得x 2=1
3，√3
3，√34
，√274
，3√3，9； 同理当x 1=9时，可得x 2=1
9，1
3，√3
3，√3，3√3，27，81；
则x 1+x 2的最大值为90，最小值为1
3+
127
=
1027
， 故x 1+x 2的最大值与最小值之积为90×1027=1003
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是1
2，乙能解决它的概率是1
3，如果两人都试图独立地在半小时内解决它，计算： （1）两人都未解决的概率；
（2）问题得到解决的概率． 【答案】
有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是1
2，乙能解决它的概率是1
3， 两人都试图独立地在半小时内解决它， 则两人都未解决的概率P 1＝(1−1
2
)(1−1
3
)=1
3
．
问题得到解决的对立事件是两人都未解决，
∴ 问题得到解决的概率P ＝1−P 1＝1−(1−1
2
)(1−1
3
)＝1−1
3
=2
3
．
【考点】 相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
（1）两人都试图独立地在半小时内解决它，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出两人都未解决的概率．
（2）问题得到解决的对立事件是两人都未解决，由此利用对立事件概率计算公式能求出问题得到解决的概率． 【解答】
有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是1
2，乙能解决它的概率是1
3， 两人都试图独立地在半小时内解决它， 则两人都未解决的概率P 1＝(1−1
2)(1−1
3)=1
3． 问题得到解决的对立事件是两人都未解决，
∴ 问题得到解决的概率P ＝1−P 1＝1−(1−1
2
)(1−1
3
)＝1−1
3
=2
3
．
某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0, 10),[10, 20),[20, 30),[30, 40),[40, 50),[50, 60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：
(Ⅱ)从对B餐厅评分在[0, 20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率；
(Ⅲ)如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
【答案】
（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为(0.003+ 0.005+0.012)×10＝0.2，
所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；
（2）对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有2人，设为M1、M2；
对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有3人，设为N1、N2、N3；
从这5人中随机选出2人的选法为：
(M1, M2)，(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)，
(N1, N2)，(N1, N3)，(N2, N3)共10种．
其中，恰有1人评分在[0, 10)范围内的选法为：
(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)共6种；
故2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率为P=6
10=3
5
；
(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：
由(Ⅰ)得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，
所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；
B餐厅评分低于30的人数为2+3+5＝10，
所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；
所以会选择B餐厅用餐．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
(Ⅰ)由A餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；
(Ⅱ)用列举法求基本事件数，计算对应的概率值；
(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．
【解答】
（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为(0.003+ 0.005+0.012)×10＝0.2，
所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；
（2）对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有2人，设为M1、M2；
对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有3人，设为N1、N2、N3；从这5人中随机选出2人的选法为：
(M1, M2)，(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)，
(N1, N2)，(N1, N3)，(N2, N3)共10种．
其中，恰有1人评分在[0, 10)范围内的选法为：
(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，
(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)共6种；
故2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率为P=6
10=3
5
；
(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：
由(Ⅰ)得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，
所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；
B餐厅评分低于30的人数为2+3+5＝10，
所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；
所以会选择B餐厅用餐．
平面内给定三个向量＝(4, 1)．(Ⅰ)求|3|；
(Ⅱ)求满足的实数m和n；
(Ⅲ)若，求实数k．
【答案】
（1）根据题意，向量，1)．
则3+−2，6)+−4；
（2）若，即(3, 2)+n(2，
则有，解可得，
故m＝，n＝；
(Ⅲ)根据题意，+k，2+k)，2-，4)，
若，则（）⋅(2-，
解可得k＝-，
故k＝-．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
向量的概念与向量的模
【解析】
(Ⅰ)根据题意，求出3+−2的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；
(Ⅱ)根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，必有，求出m、n的值，即可得答案；
(Ⅲ)根据题意，求出+k与2-的坐标，由向量数量积的计算公式可得（+k）
⋅(2-）＝0，求出k的值，即可得答案．
【解答】
（1）根据题意，向量，1)．
则3+−2，6)+−4；
（2）若，即(3, 2)+n(2，
则有，解可得，
故m＝，n＝；
(Ⅲ)根据题意，+k，2+k)，2-，4)，
若，则（）⋅(2-，
解可得k＝-，
故k＝-．
已知函数f(x)＝为奇函数．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若f(x)<0.5，求x的范围；
（3）求函数f(x)的值域．
【答案】
f(x)的定义域为R；
∴f(x)在原点有定义，且f(x)是奇函数；
∴；
∴a＝1；
∴；
由得：2x<3；
∴x<log
7；
2
；
∵6x>0；
∴2x+2>1，；
∴；
∴f(x)的值域为(−1, 1)．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数的值域及其求法
【解析】
（1）可看出f(x)的定义域为R，即f(x)在原点有定义，并且f(x)是奇函数，从而得出
f(0)＝，从而得出a＝1；
（2）由f(x)<0.5即可得出2x<3，从而求出x的范围；
（3）分离常数得出，根据2x>0即可求出的范围，即得出f(x)的值域．
【解答】
f(x)的定义域为R；
∴f(x)在原点有定义，且f(x)是奇函数；
∴；
∴a＝1；
∴；
由得：2x<3；
∴x<log
7；
2
；
∵6x>0；
∴2x+2>1，；
∴；
∴f(x)的值域为(−1, 1)．
已知集合A是满足下列条件的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数x0．使得f(x0+ 1)+f(x0)＝f(1)成立．
(Ⅰ)判断幂函数f(x)＝x−1是否属于集合A，并说明理由；
(Ⅱ)设g(x)＝lg(2x+a)，x∈(−∞, 2)，若g(x)∈A，求a的取值范围．
【答案】
（1）f(x)∈A，理由如下：
令f(x+1)+f(x)＝f(1)，
则+＝12−x−1＝0，
解得x7＝，x2＝，均满足定义域{x|x≠0}，
所以当f(x)＝x−6时，f(x)∈A．
（2）因为g(x)∈A，
所以，解得x<0，
由题知，g(x+1)+g(x)＝g(1)在(−∞，
所以lg(4x+1+a)+lg(2x+a)＝lg(5+a)，
所以(2⋅2x+a)(7x+a)＝2+a(a>−2)，
令t＝8x，则t∈(0, 1)，
所以4t2+3at+a3−a−2＝0，
即(4t+a−2)(t+a+1)＝8，
所以t1＝1−，t2＝−a−1，
从而，原问题等价于5<1−，
所以6<a<2或−2<a<−8，
又2x+a>0在(−∞, 5)上恒成立，
所以a≥0，
所以0<a<7．
所以a的取值范围为(0, 2)．
【考点】
幂函数的性质
【解析】
(Ⅰ)令f(x+1)+f(x)＝f(1)，解得x，判断是否属于集合A，即可得出结论．
(Ⅱ)根据题意可得，解得x<1，则g(x+1)+g(x)＝g(1)在(−∞, 1)上有解，即(2⋅2x+a)(2x+a)＝2+a(a>−2)，令t＝2x，则t∈(0, 1)，问题转化为
2t2+3at+a2−a−2＝0，在(0, 1)上有解，进而可得a的取值范围．
【解答】
（1）f(x)∈A，理由如下：
令f(x+1)+f(x)＝f(1)，
则+＝12−x−1＝0，
解得x7＝，x2＝，均满足定义域{x|x≠0}，
所以当f(x)＝x−6时，f(x)∈A．
（2）因为g(x)∈A，
所以，解得x<0，
由题知，g(x+1)+g(x)＝g(1)在(−∞，
所以lg(4x+1+a)+lg(2x+a)＝lg(5+a)，
所以(2⋅2x+a)(7x+a)＝2+a(a>−2)，
令t＝8x，则t∈(0, 1)，
所以4t2+3at+a3−a−2＝0，
即(4t+a−2)(t+a+1)＝8，
所以t1＝1−，t2＝−a−1，
从而，原问题等价于5<1−，
所以6<a<2或−2<a<−8，
又2x+a>0在(−∞, 5)上恒成立，
所以a≥0，
所以0<a<7．
所以a的取值范围为(0, 2)．
已知M是满足下列性质的所有函数f(x)组成的集合：对任何x1，x2∈D f（其中D f为函数f(x)的定义域），均有|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|成立．
(Ⅰ)已知函数，判断f(x)与集合M的关系，并说明理由；
(Ⅱ)是否存在实数a，使得p(x)＝，x∈[−1, +∞)属于集合M？若存在，求a的取
值范围，若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)对于实数a，b(a<b)，用M[a,b]表示集合M中定义域为区间[a, b]的函数的集合，定义：已知ℎ(x)是定义在[p, q]上的函数，如果存在常数T>0，对区间[p, q]的任意划
分：p＝x0<x1<...<x n−1<x n＝q，和式≤T恒成立，则称ℎ(x)为[p, q]上的“绝对差有界函数”，其中常数T称为ℎ(x)的“绝对差上界”，T
的最小值称为ℎ(x)的“绝对差上确界”，符号．求证：集合M[−1010,1010]中的函数ℎ(x)是“绝对差有界函数”，并求ℎ(x)的“绝对差上确界”．【答案】
（1）设x1，x2∈[−，]，
则|f(x1)−f(x2)|＝|x62−x22|＝|x1−x2||x2+x2|，
因为-≤x1≤，-≤x2≤，
所以−6≤x1+x2≤5，
所以|f(x1)−f(x2)|＝|x42−x24|＝|x1+x2||x5−x2|≤|x1−x6|，
所以函数f(x)属于集合M．
（2）若函数P(x)＝，x∈[−1，
则当x5，x2∈[−1, +∞)时2)−P(x2)|≤|x1−x3|恒成立，
即|-|≤|x1−x4|，对x1，x2∈[−2, +∞)恒成立，
所以|a|≤|(x1+2)(x6+2)|，对x1，x3∈[−1, +∞)恒成立，
因为x1，x6∈[−1, +∞)，
所以|(x1+3)(x2+2)|≥2，
所以|a|≤1，即−1≤a≤4，
所以a的取值范围为[−1, 1]．
(Ⅲ)取p＝−1010，q＝1010，
则对区间[−1010, 1010]的任意划分，
和式|ℎ(x i)−ℎ(x i−1)|＝|ℎ(x1)−ℎ(x5)|+|ℎ(x2)−ℎ(x1)|+...+|ℎ(x n)−ℎ(x n−6)|
≤|x1−x0|+|x6−x1|+...+|x n−x n−1|＝(x6−x0)+(x2−x6)+...+(x n−x n−1)＝
x n−x0＝1010−(−1010)＝2020，
所以集合M[−1010,1010]中的函数ℎ(x)是“绝对差有界函数”，且ℎ(x)的“绝对差上确界”T＝2020．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
(Ⅰ)利用已知条件，通过任取x1，x2∈[−，]，证明|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|成立，说明f(x)属于集合M．
(Ⅱ)若p(x)∈M，则有|-|≤|x1−x2|，然后可求出当a∈[−1, 1]时，p(x)∈M．
(Ⅲ)直接利用新定义加以证明，并求出ℎ(x)的“绝对差上确界T”的值．
【解答】
（1）设x1，x2∈[−，]，
则|f(x1)−f(x2)|＝|x62−x22|＝|x1−x2||x2+x2|，
因为-≤x1≤，-≤x2≤，
所以−6≤x1+x2≤5，
所以|f(x1)−f(x2)|＝|x42−x24|＝|x1+x2||x5−x2|≤|x1−x6|，
所以函数f(x)属于集合M．
（2）若函数P(x)＝，x∈[−1，
则当x5，x2∈[−1, +∞)时2)−P(x2)|≤|x1−x3|恒成立，
即|-|≤|x1−x4|，对x1，x2∈[−2, +∞)恒成立，
所以|a|≤|(x1+2)(x6+2)|，对x1，x3∈[−1, +∞)恒成立，
因为x1，x6∈[−1, +∞)，
所以|(x1+3)(x2+2)|≥2，
所以|a|≤1，即−1≤a≤4，
所以a的取值范围为[−1, 1]．
(Ⅲ)取p＝−1010，q＝1010，
则对区间[−1010, 1010]的任意划分，
和式|ℎ(x i)−ℎ(x i−1)|＝|ℎ(x1)−ℎ(x5)|+|ℎ(x2)−ℎ(x1)|+...+|ℎ(x n)−ℎ(x n−6)|
≤|x1−x0|+|x6−x1|+...+|x n−x n−1|＝(x6−x0)+(x2−x6)+...+(x n−x n−1)＝
x n−x0＝1010−(−1010)＝2020，
所以集合M[−1010,1010]中的函数ℎ(x)是“绝对差有界函数”，且ℎ(x)的“绝对差上确界”T＝2020．。