高二数学 第2章综合测试 北师大版必修5

第二章综合测试
(时间：120分钟 满分150分) 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确
的，把正确的选项填在答题卡中）
1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2,b =6,B =120°，则a 等于 ( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 ［答案］ D
［解析］ 在△ABC 中，由正弦定理，得sin C =b
B
c sin =216
23
2=⨯
,
又∵B =120°， ∴C 为锐角， ∴C =30°， ∴A ＝30°， ∴a=c =2.
2.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，且A>B ，则一定有（ ） A.cos A >cos B B.sin A >sin B C.tan A >tan B D.sin A <sin B
［答案］ B
［解析］ ∵A>B ,∴a>b ,
由正弦定理，得sin A >sin B ,故选B.
3.（2011·辽宁理，4）△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，a sin A sin B +b cos 2
A =2a ,则
a
b
( ) A.23 B.22 C. 3 D. 2 ［答案］ D
［解析］ 本小题考查内容为正弦定理的应用. ∵a sin A sin B +b cos 2
A =2a ,
∴sin 2
A sin
B +sin B cos 2
A =2sin A ,
sin B =2sin A ,∴b =2a , ∴
a
b
=2. 4.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =4.满足条件的△ABC （ ） A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定 ［答案］ A
［解析］ 4×sin60°=23=12,
∵6<12,
即a <b sin A ,∴△ABC 不存在.
5.a 、b 、c 是△ABC 的三边，∠B =60°，那么a 2
-ac +c 2
-b 2
的值 ( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不确定
［答案］ C
［解析］ 由余弦定理可知原式＝（a 2
+c 2
-b 2
）-ac =2ac cos B -ac =2ac ×
2
1
－ac =0. 6.（2012·沈阳高二检测）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
［答案］ A
［解析］ 结合正、余弦定理，由 2cos B sin A =sin C 得
2ac
b c a 2222-+·a=c ,即有a=b ,
∴△ABC 是等腰三角形.
7.（2012·洛阳高二检测）△ABC 中，sin A =
55,sin B =10
10
,则a b =（ ）
A.2
B. 22
C.
2
2
D.1 ［答案］ C
［解析］ 由正弦定理知a b =5
5
1010
sin sin =A B =22
,故选C ．
8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ,若a 2
-b 2
=3bc ,sin C =23sin B ,则A = ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
［答案］ A
［解析］ 由sin C =23sin B 及正弦定理，得c =23b , ∴a 2
-b 2
=3bc =6b 2
,即a 2
=7b 2
.
由余弦定理，cos A =bc a c b 2222-+=b
b b b b 32·27122
22-+
=233462
2=b
b , 又∵0°<A <180°,∴A =30°.
9.在△ABC 中，A =45°，b =4,c =2，那么cos B =（ ） A.
10103 B.- 10103 C.
55
D.- 5
5 ［答案］ D
［解析］ ∵BC 2
=AC 2
+AB 2
-2AC ·AB cos A =16+2-82cos45°=10.
∴BC =10,cos B =5
5·2222-
=-+BC AB AC BC AB . 10.在△ABC 中，若|AB |=2，|AC |=5，AB ·AC =-5，则S △ABC =（
A.
2
3
5 B. 3 C.
2
5
D.5 ［答案］ A ［解析］ ·=||·||cos A =10cos A =-5,
∴cos A =-
21,∴sin A =2
3, ∴S △ABC =
21
|AB |·||sin A =
2
3
5.
11. 在锐角三角形ABC 中，b =1,c =2,则a 的取值范围是 ( ) A.1<a <3 B.1<a <5 C.3 <a<5 D.不确定
［答案］ C
［解析］ ∵b<c ,△ABC 为锐角三角形， ∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0， 即b 2
+a 2
-c 2
>0且b 2
+c 2
-a ２
>0,
∴1+a 2-4>0
1+4-a 2>0. ∴3<a 2<5, ∴3<a <5.
12.如图所示，在△ABC 中，已知∠A ：∠B =1：2,角C 的平分线CD 把三角形面积分为3：2两部分，则cos A
等于 ( )
A.
31
B. 2
1 C.
4
3
D.0
［答案］
C
［解析］ 在△ABC 中，设∠ACD =∠BCD =β,∠CAB =α,由∠A ：∠B =1：2,得∠ABC =2α. ∵∠A <∠B , ∴AC >BC
, ∴S △ACD >S △BCD , ∴S △ACD ：S △BCD =3：
2,
∴ββsin ··2
1sin ··21⋅⋅DC BC DC AC =23
, ∴
2
3
=BC AC
. 由正弦定理得
ααsin 2sin sin sin BC AC ，A BC B AC ==⇒α
ααsin cos sin 2BC
AC =
, ∴cos α=
43
23212=⨯=BC AC
, 即cosA=4
3. 故选
C.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上） 13.(2011·新课标文，15)△ABC 中 ,B =120°,AC =7,AB =5,则△ABC 的面积为 . ［答案］
4
3
15 ［解析］ 本题考查三角形面积公式、余弦定理等，先利用余弦定理求BC 边，再利用公式S ＝2
1
|AB ||BC |sin B 求面积.
由余弦定理知72=52+BC 2
+5BC , 即BC 2
+5BC -24=0. 解之得BC =3. 所以S =
21×5×3×sin120°=4
315.
14.（2012·宣城高二检测）在△ABC 中，若a 2
+b 2
<c 2
,且sin C =2
3
,则∠C = . 【答案】
3
2π
【解析】 ∵a 2
+b 2
<c 2
, ∴a 2
+b 2
-c 2
<0,即cos C <0. 又sin C =
2
3
,∴∠C =32π.
15.（2012·合肥高二检测）在△ABC 中，已知b cos A =a cos B ,则△ABC 的形状是 . ［答案］ 等腰三角形 ［解析］ 由正弦定理，得 sin B cos A =cos B sin A .
即sin(A-B )=0.又A 、B 为三角形内角， ∴∠A -∠B =0,即∠A =∠B , ∴a =b ,即△ABC 为等腰三角形.
16.某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为 . 【答案】 10米
【解析】 画出示意图，如图所示，
CO =10，∠OCD =40°，
∠BCD =80°，∠ACB =45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ， 令AB=x ,则BC=x ,BO=3x ， 在△BCO 中，由余弦定理，得
（3x ）2
=x 2
+100-2x ×10×cos(80°+40°)，
整理得x 2
-5x -50=0, 解得x =10,x =-5（舍去）， 故塔高为10米.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）（2011·江苏，15）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c.（1）若sin(A +
6
π
)=2cos A ,求A 的值；
（2）若cos A =
3
1
，b =3c ,求sin C 的值. ［解析］ （1）由题设知sin A cos
6π+cos A sin 6
π
=2cos A .从而sin A =3cos A ,所以cos A ≠0,tan A =3.
因为0<A <π,所以A=
6
π
. （2）由cos A =
3
1,b =3c 及a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a 2=b 2-c 2
, 故△ABC 是直角三角形，且B =
2
π.所以sin C =cos A =31.
18.(本小题满分12分)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a,b,c ,cos A =13
12
. (1)求·； (2)若c-b =1，求a 的值.
［解析］ 由cos A =
1312,得sin A =13
5
. 又
2
1
bc sin A =30. ∴bc =156.
(1) AC AB ·=bc cos A =156×13
12
=144. (2)a 2
=b 2
+c 2
-2bc cos A =(c-b ) 2+2bc (1-cos A ) =1+2×156×（１－13
12
）=25. 又a >0,∴a =5.
19.（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，A =60°,B<C,b 、c 是方程x 2
-23x +m =0
的两个实根，△ABC 的面积为2
3
.
(1)求m 的值; (2)求△ABC 的三边长.
［解析］ （1）由题意知，S △ABC =21 bc ·sin60°=2
3 ∴bc =2.
b+c =23 ∵b 、c 是方程的根，∴ bc=m ,∴m =2.
将m =2代入方程，得Δ>0,故m =2适合题意.
b+c =23 (2)由 bc =2 b<c , 得b =3+1,c =3-1.
由余弦定理，得a 2
=(3+1) 2
+(3-1) 2
-2(3+1)( 3-1)×
2
1= 4+23+4-23-2×2×2
1
=6, ∴a =6.
20.(本小题满分12分)
在△ABC 中，∠A ＞∠B ＞∠C ，且A =2C ，b =4,a+c =8，求a ，c 的长.
［解析］ ∵A =2C ,∴sin A =2sin C cos C , ∴
C C A cos 2sin sin =,即c
a
=2cos C .
∴ab
c b a 2222-+ =c a 2.
∴a 2
c +b 2
c -c 3
=a 2
b , ∴a 2
(c-b )=c (c 2
-b 2
), ∴(c-b )(a 2
-c 2
-bc )=0, ∴c-b =0或a 2
-c 2
-bc =０. ∵∠A ＞∠B ＞∠C , ∴c-b =0舍掉，
∴a 2
-c 2
-bc =0即a 2
+4c -c 2
=0. 结合a+c =8列方程组得
a 2
+4c-c 2=0
a+c =8,
解得
a =
5
24
c =
5
16. 21.（本小题满分12分）（2011·山东理，17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知
b
a
c B C A -=-2cos cos 2cos .
（1）求
A
C
sin sin 的值； （2）若cos B =
4
1
，b =2,求△ABC 的面积S . ［分析］ 本题主要考查正弦、余弦定理，三角形面积公式以及三角的恒等变形，在（1）问中，首先利用正弦定理把条件等式右边的边的关系，转化为角的关系，再利用恒等性变形即可求得
A
C
sin sin 的值.（注意A+B+C =π的应用）.在（2）问中，首先由（1）问中的
A
C
sin sin ＝2，转化边的关系，即c =2a ，再利用余弦定理及题设条件求a ，然后求的三角形面积. ［解析］ （1）由正弦定理，设
A a sin ＝
B b sin ＝C
c
sin ＝k 则
B A
C B k A k C k b a c sin sin sin 2sin sin sin 22-=-=-,
所以
B
A
C B C A sin sin sin 2cos cos 2cos -=-,
即(cos A -2cos C )sin B =(2sin C -sin A )cos B , 化简可得sin(A+B )=2sin(B+C ).
又A+B+C =π, 所以sin C =2sin A .
因此
2sin sin =A
C
. (2)由
2sin sin =A
C
得c =2a . 由余弦定理b 2
=a 2
+c 2
-2ac cos B 及cos B =
4
1
,b =2.
得4＝a 2
+4a 2
-4a 2
×4
1
. 解得a =1. 从而c =2, 又因为cos B =
4
1
,且0<B <π.
所以sin B =
4
15. 因此S =
21ac sin B =21×1×2×415＝4
15. 22.（本小题满分14分）如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP =θ,求 △POC 面积的最大值及此时θ的值.
［解析］ ∵CP ∥OB ,
∴∠CPO =∠POB =60°-θ,∠OCP =120°. 在△OCP 中，由正弦定理，得
θsin sin CP OCP OP =∠,即θ
sin 120sin 2CP
=︒,
∴CP =
3
4
sin θ. 又
()︒
=-︒120sin 2
60sin θCO ,
∴OC =
3
4
sin(60°-θ).
故△POC 的面积是S (θ)=
2
1
CP ·CO ·sin120° =
21·34sin θ·34sin(60°-θ)·23＝3
4·sin θsin(60°-θ) ＝
34·sin θ（23
cos θ-21sin θ）=3
2［cos(2θ-60°)- 21，θ∈(0°,60°)，
∴当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为3
3
.。