江苏省南通市通州区十总中学2019-2020学年中考数学模拟试卷

江苏省南通市通州区十总中学2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）
A.8
B.9
C.10
D.11
2．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定
3．不等式组
2
14(1)
x x
x x
-
⎧
⎨
--
⎩
的解集为（）
A．x＞0 B．x＞1 C．无解D．0＜x＜1
4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）
A. B.13 C. D.18
6．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有
（）个“O”
A.28
B.30
C.31
D.34
7．在平面直角坐标系中，点P(m﹣2，m+1)一定不在第( )象限．
A．四B．三C．二D．一
8．顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（）
A．菱形B．矩形
C．正方形D．邻边不等的平行四边形
9．电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是
（）
A．10.9×104B．1.09×104C．10.9×105D．1.09×105
10．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）
A．B．
C．D．
11．如图, 甲乙两城市相距600千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市,已知货车出发1小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之间的距离为s (千米),客车出发的时间为t (小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论：
①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米.正确的有（）
A．1B．2C．3D．4
12．下列式子值最小的是（）
A．﹣1+2019 B．﹣1﹣2019 C．﹣1×2019D．2019﹣1
二、填空题
13．如果分式
1
2
x
有意义，那么实数x的取值范围是______．
14．已知反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象在第二、四象限，则k的值可以是：____（写出一个满足条件
的k 的值）．
15．二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣5的最小值是______．
16．“清明时节雨纷纷”是_______事件．(填“必然”“不可能”或“随机”)
17．一元二次方程23210x x -+=的根的判别式∆_______0.（填“>”，“=”或“<”） 18．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为______．
三、解答题
19．设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动，点A 、O 间距离为d ．
(1)如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：
与正方形的公共点的个数可能有 个；(2)如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：
与正方形的公共点个数可能有 个；(3)如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝
5
4
a ． 20．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使
CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超
≈1.4）
21．如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
22．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．
23．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明。

已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等。

因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。

现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明。

图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
24．小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的60天内整理出了销售数据如下
(2)请问在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值？最大值为多少？
25．九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
（1）九年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率．
【参考答案】***
一、选择题
13．x≠2
14．-2(答案不唯一)
15．-6
16．随机
17．＜
18．1001
31003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
三、解答题 19．略 【解析】 （1）
所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； （2）
所以，当r ＝a ，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； （3）如图所示，连结OC ．
则OE ＝OC ＝r ，OF ＝EF －OE ＝2a －r ． ……10分
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF2＋FC2＝OC2
即（2a－r）2＋a2＝r. 2 ……14分 4a2－4ar＋r2＋a2＝r2
5a2＝4ar
5a＝4r
∴r ＝5
4
a．………………13分
20．(1)此校车在AB路段超速，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD和BD的长度，计算结果，即可。

（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可。

【详解】
解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°＝＝，
解得AD＝24．
在 Rt△BDC 中，tan60°＝＝，
解得BD＝8
所以AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（米）．
（2）汽车从A到B用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），
因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时，
所以此校车在AB路段超速．
【点睛】
考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等。

21．这个游戏规则对双方公平，见解析.
【解析】
【分析】
利用树状图列举出所有情况，分别求得两人获胜的概率，比较大小即可得知这个游戏规对双方是否公平．
【详解】
这个游戏规则对双方公平，理由如下：
如图所示：
共9种情况，其中均为偶数的有2种结果，均为奇数的情况数有2种，
所以小明获胜的概率为2
9
、小颖获胜的概率为
2
9
，
∵2
9
＝
2
9
，
∴这个游戏规则对双方公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22．（1）见解析；（2）BE＝28
5
.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得AD=BD，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC，由“ASA”可证△BDF≌△ADC；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC，由三角形的面积公式可求BE的长度.
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45°
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵DA⊥BC，BE⊥AC
∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°
∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°
∴△BDF≌△ADC（ASA）
（2）∵△BDF≌△ADC
∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC
∴BF＝5
∴AC＝5，
∵S△ABC＝1
2
×BC×AD＝
1
2
×AC×BE
∴7×4＝5×BE
∴BE＝28
5
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE的长度. 23．选择（1）（3）证明，证明见解析
【解析】
【分析】
如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论, 【详解】
如图(1)延长DE到F使得EF=DE
在△DCE 和△FBE 中, EF DE DEC FEB BE EC =∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△DCE ≌△ FBE （SAS) ∴.∠CDE=∠F,BF=DC ∵∠BAB=∠CDE ∴BF=AB ∴AB= CD
如图3,过C 点作CF ∥AB 交DE 的延长线于
F
在△ABE 和△FCE 中 B ECF BE EC
BAE F ∠=∠=∠=∠⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△ABE ≌△ FCE(ASA), ∴AB=FC ∵∠BAE=∠CDE ∴∠F=∠CDE ∴CD=CF ∴AB=CD 【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明 24．(1)见解析；(2)在试销阶段的第20天时W 最大，最大值为1800元． 【解析】 【分析】
（1）利用总利润＝单件利润×销量写出函数关系式即可； （2）配方后确定两个最值，取最大的即可． 【详解】
解：(1)①当1≤x＜35时，W 1＝(x+30﹣20)(100﹣2x) 即W 1＝﹣2(x ﹣20)2+1800；
②当35≤2x≤26时，W 2＝(70﹣20)(100﹣2x)
即W2＝﹣100x+5000；
故W与x之间的函数关系式为：
W＝
2
2(20)1800(135) 1005000(3560)
x x
x x
⎧-+≤
⎨
+≤≤
⎩
﹣＜
﹣
；
(2)∵W1＝﹣2(x﹣20)2+1800(1≤x＜35)，
∴在试销的第一阶段，在第20天时，利润最大为1800元，
∵W2＝﹣100x+5000(35≤x≤60)，
∴在试销的第二阶段，在第35天时，销售利润最大为1500元，
答：在试销阶段的第20天时W最大，最大值为1800元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够根据题意确定二次函数的解析式，难度不大．
25．（1）40人；（2）15%；（3）1 6
【解析】
【分析】
（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率. 【详解】
解：（1）∵喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25，
∴总人数=10÷0.25=40（人）；
（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比6
40
×100%=15%，
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种，
∴P（丙和乙）=
21 126
．
【点睛】
本题考查了用列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.。