06_数学(1)习作A_2-2 多项式的运算与应用[7页]

2-2多項式的運算與應用
一、多項式
形如f（x）＝a n x n＋a n－1x n－1＋……＋a1x＋a0的式子，稱為x的多項式。

其中a n，a n－1，……，a0是給定的常數。

(1) 若a n＝a n－1＝……＝a1＝0，a0＝﹨0，即f（x）＝a0稱為常數多項式。

(2) 若a n＝a n－1＝……＝a1＝a0＝0 稱為零多項式，零多項式沒有次數。

二、除法原理
設f（x）、g（x）是兩個多項式，且g（x）不是零多項式，則恰有兩多項式q（x）及r （x）滿足：f（x）＝g（x）‧q（x）＋r（x），其中r（x）＝0 或
deg r（x）＜deg g（x）。

三、餘式定理
設f（x）為一多項式，則f（x）除以ax－b的餘式為
b
f
a
⎛⎫ ⎪⎝⎭。

四、因式定理
設f（x）為一多項式，若ax－b整除f（x），則
b
f
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝0。

反之，若
b
f
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝0，則f（x）有一次因式ax－b。

五、插值多項式
以通過（1﹐a），（2﹐b），（3﹐c）三點的多項式為例，
1.牛頓插值法：
假設f（x）＝A＋B（x－1）＋C（x－1）（x－2），
（當然令f（x）＝A＋B（x－2）＋C（x－2）（x－3）…等都可以）
代入f（1）＝a，f（2）＝b，f（3）＝c，求解係數A，B，C。

2.拉格朗日插值法：
假設f（x）＝A（x－1）（x－2）＋B（x－2）（x－3）＋C（x－3）（x－1），接著代入f（1）＝a，f（2）＝b，f（3）＝c，求解係數A，B，C，
得
f（x）＝a‧()()
()()
1
2
23
1
3
x x
－－
－－
＋b‧
()()
()()
2
1
13
2
3
x x
－－
－－
＋c‧
()()
()()
3
1
12
3
2
x x
－－
－－。

基礎題
1.設f（x）＝3x2＋（b－3）x＋4，g（x）＝（a－2）x2－7x＋（c－1），若f（x）＝g（x），試求a，b，c之值。

（6 分）
解
32
37
41
a
b
c
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝－
－＝－
＝－
5
4
5
a
b
c
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝－
＝
2.設f（x）＝ax6－bx4＋3x
a，b為非零實數，試求f（5）－f（－5）之值。

（8 分）
解f（5）－f（－5）＝（a‧56－b‧54＋3‧5
）－（a（－5）6－b（－5）4＋3（－5）
＝a（56－（－5）6）－b（54－（－5）4）＋3（5－（－5））
＝3‧10
＝30
3.若多項式x3＋4x2＋5x－3 除以f（x）的商式為x＋2，餘式為2x－1，試求f（x）。

（8 分）
解依題意
x3＋4x2＋5x－3＝f（x）‧（x＋2）＋（2x－1）
所以x3＋4x2＋3x－2＝f（x）‧（x＋2）
因此f（x）為x3＋4x2＋3x－2 除以x＋2 的商式
－2
故f（x）＝x＋2x－1
4.若多項式 x 2＋x ＋2 能整除 x 5＋x 4＋x 3＋px 2＋2x ＋q ，試求數對（p ﹐q ）。

（8 分）〔94.學測〕 解 由分離係數法
()()()
14
12112
14
44
8101121112112
308p p q p p
q q +++++++++++
+++++++++－－－－－－－ 故3080p q ⎧⎨⎩
－＝－＝ 得 p ＝3，q ＝8，即數對（p ﹐q ）＝（3﹐8）
5.設 f （x ）＝8x 4＋6x
2＋6x －2，試求：
(1) 以 x ＋1 除 f （x ）之商式及餘式。

（4 分）
(2) 以 2x ＋1 除 f （x ）之商式及餘式。

（4 分）
解 利用綜合除法
－1
故商式為 8x －8x ＋14x －8，餘式為 6
(2)
－12
2 4
故商式為 4x 3－2x 2＋4x ＋1，餘式為－3
6.(1) 試求 f （x ）＝（x 2＋3x －9）3＋8 除以 x －2 的餘式。

（5 分）
(2) 設多項式 f （x ）＝11x 3－68x 2－57x ＋51，試求 f （7）之值。

（5 分）
解 (1)由餘式定理知 f （x ）除以 x －2 的餘式為
f （2）＝（4＋6－9）3＋8＝1＋8＝9
(2)由餘式定理知 f （7）即為 f （x ）除以 x －7 的餘式
7
所以 f （7）＝93
7.設 f （x ）＝2x 3－4x 2－x ＋1，
(1) f （x ）＝a ＋b （x －1）＋c （x －1）（x －2）＋d （x －1）（x －2）（x －3），試求 a ＋b ＋c
＋d 。

（2 分）
(2) 若 f （x ）＝a （x －2）3＋b （x －2）2＋c （x －2）＋d ，試求 a ＋b ＋c ＋d 。

（2 分）
(3) 試求 f （1.99）至小數點以下第三位。

（2 分）
(4) 試求 f （2。

（2 分）
解 (1) f （1）＝2－4－1＋1＝－2＝a ＋b ‧0＋c ‧0＋d ‧0，得 a ＝－2
f （2）＝2‧8－4‧4－2＋1＝－1＝a ＋b （2－1）＋c ‧0＋d ‧0，得 b ＝1
f （3）＝2．27－4．9－3＋1＝16＝a ＋b （3－1）＋c （3－1）（3－2）＋d ‧0，得 c ＝8 比較 x 3 項係數即可知 d ＝2
故 a ＋b ＋c ＋d ＝－2＋1＋8＋2＝9
(2) 2
＋4
f x －2）3＋8（x －2）2＋7（x －2）－1
故 a ＋b ＋c ＋d ＝2＋8＋7－1＝16
(3) f （1.99）＝2（1.99－2）3＋8（1.99－2）2＋7（1.99－2）－1 ＝2（－0.01）3＋8（－0.01）2＋7（－0.01）－1
≈－1.07＋0.0008＝－1.0692≈－1.069
(4) f （22（22）3＋8（22）2＋7（2－2）－1
＝2×（）3＋82＋7 1
＝10＋40＋－1＝39＋
8.若 x 4－3ax 2＋bx ＋4 有因式（x ＋1）及（x －2），試求數對（a ﹐b ）＝ 。

（8 分） 解 由因式定理
（－1）4－3a （－1）2＋b （－1）＋4＝0
⇨ 3a ＋b ＝5 ……………○
1 24－3a ‧22＋b ‧2＋4＝0
⇨ 6a －b ＝10……………○
2 ○1＋○2得 9a ＝15 ⇨ a ＝53
代入○
1得 b ＝0 即數對（a ﹐b ）＝053⎛⎫ ⎪⎝⎭
﹐
9.若三次多項式 f （x ）滿足 f （1）＝f （2）＝0，f （－1）＝30，f （－2）＝36，試求 f （3）之值。

（8 分）
解 f （1）＝f （2）＝0
由因式定理知 f （x ）有因式（x －1）（x －2）
令 f （x ）＝（x －1）（x －2）（ax ＋b ）
()()()()()()()()111122*********f f a b a b ⎧==⎨==⎩++－－－－－－－－－
－－－ 523a b a b ⎧⎨⎩
L L L L －＋＝－＋
＝ 由○
1、○2解得 a ＝2，b ＝7 故 f （x ）＝（x －1）（x －2）（2x ＋7）
因此，f （3）＝2×1×13＝26
進階題
10.試求多項式 x 9－3x ＋5 除以（x －1）（x ＋1）的餘式。

（10 分）
解 利用除法原理可設
x 9－3x ＋5＝（x －1）（x ＋1）Q （x ）＋ax ＋b
x ＝1 代入得 3＝a ＋b ……………○
1 x ＝－1 代入得 7＝－a ＋b ………○
2 由○
1、○2解得 a ＝－2，b ＝5 故所求餘式為－2x ＋5
11.設 f （x ）為一多項式，若（x ＋1）f （x ）除以 x 2＋x ＋1 的餘式為 5x ＋3，試求
f （x ）除以 x 2＋x ＋1 的餘式。

（9 分）
解 設 f （x ）＝（x 2＋x ＋1）q （x ）＋ax ＋b ，q （x ）是一多項式
則（x ＋1）f （x ）＝（x ＋1）（x 2＋x ＋1）q （x ）＋（ax ＋b ）（x ＋1）
＝（x ＋1）（x 2＋x ＋1）q （x ）＋ax 2＋（a ＋b ）x ＋b
（x ＋1）f （x ）除以 x 2＋x ＋1 的餘式等於 ax 2＋（a ＋b ）x ＋b 除以 x 2＋x ＋1 的餘式 ()()
111a
a a
b b a a
b a a b +++++
+++－ 故 bx ＋（b －a ）＝5x ＋3，即 b ＝5，a ＝2
即 f （x ）除以 x 2＋x ＋1 的餘式為 2x ＋5
12.若二次多項式 g （x ）滿足 g （2011）＝2，g （2012）＝1，g （2013）＝3，試求 g （2015）。

（9 分）
解 〔解法一〕利用拉格朗日插值法
g （x ）＝2×()()()()201120122013220012201311x x －－－－＋1×()()()()
201220112013220011201312x x －－－－ ＋3×()()()()
201320112012220011201213x x －－－－ g （2015）＝（2015－2012）（2015－2013）－（2015－2011）（2015－2013） ＋
32
（2015－2011）（2015－2012） ＝6－8＋18 ＝16
〔解法二〕利用牛頓插值法
設 g （x ）＝A （x －2011）（x －2012）＋B （x －2011）＋C
∵g （2011）＝2 ⇨ C ＝2
g （2012）＝1 ⇨ B ＋C ＝1 ⇨ B ＝－1
g （2013）＝3 ⇨ 2A ＋2B ＋C ＝3 ⇨ A ＝
32 ∴g （x ）＝32
（x －2011）（x －2012）－（x －2011）＋2 故 g （2015）＝32×4×3－4＋2＝16。