潼南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

潼南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.
3
4
B.
38
C.
14
D.
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.
2． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关 3． 过抛物线y=x 2
上的点的切线的倾斜角（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
4． 图
1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5． 给出下列命题：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x ﹣1，
y=，y=（x ﹣1）2，y=x 3
中有三个是增函数；
②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；
③若函数f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点A （1，0）对称；
④若函数f （x ）=3x ﹣2x ﹣3，则方程f （x ）=0有2个实数根．
其中假命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=（）x
C ．y=x+
D ．y=ln （x+1）
8． 执行如图所示的一个程序框图，若f （x ）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1]
B ．[1，]
C ．[1，2]
D ．[，2]
9． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
10．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
11．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）
A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？
12．复数z为纯虚数，若（3﹣i）•z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）
A．﹣B．3 C．﹣3 D．
二、填空题
13．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于。

14．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
15．已知函数f （x ）=
，若f （f （0））=4a ，则实数a= ．
16．一质点从正四面体A ﹣BCD 的顶点A 出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB 由A 到B ，第2次运动经过棱BC 由B 到C ，第3次运动经过棱CA 由C 到A ，第4次经过棱AD 由A 到D ，…对于N ∈n *，第3n 次运动回到点A ，第3n+1次运动经过的棱与3n ﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n 次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．
17．已知圆22
240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
18．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
三、解答题
19．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *
），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
20．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=4，点E 为AB 中点． （1）求证：BD 1∥平面A 1DE ；
（2）求证：A 1D ⊥平面ABD 1．
21．设
，证明：
（Ⅰ）当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；
（Ⅱ）当1＜x ＜3时，．
22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
1111]
23．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
24．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．
潼南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
3．【答案】B
【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，
在点的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tanα=1，
解得α=45°．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念.
5．【答案】A
【解析】解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，是减函数．函数y=为增函数．函数y=（x﹣1）2在（0，
1）上减，在（1，+∞）上增．函数y=x3是增函数．
∴有两个是增函数，命题①是假命题；
②若log m3＜log n3＜0，则，即lgn＜lgm＜0，则0＜n＜m＜1，命题②为真命题；
③若函数f（x）是奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，
∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，命题③是真命题；
④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0即为3x﹣2x﹣3=0，
也就是3x=2x+3，两函数y=3x与y=2x+3有两个交点，即方程f（x）=0有2个实数根命题④为真命题．
∴假命题的个数是1个．
故选：A．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的性质，训练了函数零点的判定方法，是中档题．
6．【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
7．【答案】D
【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确，
故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
8． 【答案】B
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=
的值，
当a ＜0时，y=log 2（1﹣x ）+1在[﹣1，a]上为减函数，f （﹣1）=2，f （a ）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；
当a ≥0时，f ′（x ）=3x 2
﹣3＞⇒x ＞1或x ＜﹣1，
∴函数在[0，1]上单调递减，又f （1）=0，∴a ≥1；
又函数在[1，a]上单调递增，∴f （a ）=a 3
﹣3a+2≤2⇒a ≤
．
故实数a 的取值范围是[1，]．
故选：B ．
【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．
9． 【答案】B
10．【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2
114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN
的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 11．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2 n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4 n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n ≤9， 故选B ．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：∵（3﹣i ）•z=a+i ，
∴
，
又z 为纯虚数，
∴，解得：a=．
故选：D ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

14．【答案】 ①③⑤
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P 1（0，1），P 2（0，0），P 3（1，0），P 4（1，1）．
∵集合M={x|x=
且i ，j ∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=
且i ，j ∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，
﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
15．【答案】2．
【解析】解：∵f（0）=2，
∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，
所以a=2
故答案为：2．
16．【答案】D．
【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为：
A→B→C→A→D→B→A→C→D→A
接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A…
周期为9．
∵质点经过2015次运动，
2015=223×9+8， ∴质点到达点D ． 故答案为：D ．
【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．
17．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，22(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞. 18．【答案】 4 ．
【解析】解：∵双曲线
的渐近线方程为 y=x ， 又已知一条渐近线方程为y=x ，∴ =2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y=x ，是解题
的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），a 1=2，
∴，，
，
∴b 1=1，
=2q ＞0，
=2q 2，
又b 3=3+b 2．∴23=2q 2
，解得q=2． ∴a n =2n
．
∴=a 1•a 2•a 3…a n =2×22×…×2n =
，
∴．
（2）c n =
==
﹣
=
，
∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣
+…+
=﹣2
=﹣2+
=﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，
∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）（证法一）：
记g （x ）=lnx+
﹣1﹣（x ﹣1），则当x ＞1时，g ′（x ）=+
﹣＜0，
又g （1）=0，有g （x ）＜0，即f （x ）＜（ x ﹣1）；…4′
（证法二）由均值不等式，当x ＞1时，2
＜x+1，故
＜+．①
令k （x ）=lnx ﹣x+1，则k （1）=0，k ′（x ）=﹣1＜0，故k （x ）＜0，即lnx ＜x ﹣1②
由①②得当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；
（Ⅱ）记h （x ）=f （x ）﹣，由（Ⅰ）得，
h ′（x ）=+﹣
=﹣
＜﹣
=
， 令g （x ）=（x+5）3﹣216x ，则当1＜x ＜3时，g ′（x ）=3（x+5）2
﹣216＜0，
∴g （x ）在（1，3）内是递减函数，又由g （1）=0，得g （x ）＜0， ∴h ′（x ）＜0，…10′
因此，h （x ）在（1，3）内是递减函数，又由h （1）=0，得h （x ）＜0，
于是，当1＜x ＜3时，f （x ）＜
…12′
22．【答案】（１）0.0075x =；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】
试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1
试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=， ∴0.0075x =．
考点：频率分布直方图；中位数；众数．
23．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}
则P∩Q={1}
（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1}
∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q
∴，即实数a的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．24．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立，
得，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y2=4x．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．。