上海2019高中数学竞赛试题

上海2019高中数学竞赛试题
【一】填空题〔此题总分值60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分〕 1.如图,正六边形11
1
1
11
A B C D E F 的边长为1,它的
6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,
如此继续下去,那么所有这些六边形的面积和是.
2.正整数12
10,,
,a a a 满足:3
,1102
>≤<≤j
i a i j a ,
那么10
a 的最小可能值是.
3.假设
17tan tan tan 6
αβγ++=
，
4cot cot cot 5
αβγ++=-
,cot cot αβ
17cot cot cot cot 5
βγγα++=-
，那么()tan αβγ++=.
4、关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，那
么实数k 的取值范围是.
5、如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，那么=x .
6、方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解()
,=m n .
7、一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是.〔用数字作答〕 8、数列{}
n a 定义如下：
()122
1211,2,,1,2,22
+++===-=+
+n n n n n a a a a a n n n .假设
201122012
>+
m a ，那么正整数m 的最小值为.
【二】解答题
9、〔此题总分值14分〕如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，
E1
C D 1
A
对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x 、
求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围、 10、〔此题总分值14分〕给定实数1a >，求函数
(sin )(4sin )()1sin a x x f x x
++=
+的最小值、 11、〔此题总分值16分〕正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： 〔1〕
43
xy yz zx ++≥
；
〔2〕2x y z ++≥、
12、〔此题总分值16分〕给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合
{}
1,2,,21n -的满
足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：
〔a 〕1,21n A A ∈-∈；
〔b 〕A 中的元素〔除1外〕均为A 中的另两个〔可以相同〕元素的和、 〔1〕求(3)f 的值； 〔2〕求证：(100)108f ≤、 参考答案： 1
2、92
3、11
4、(){},0
4-∞
5
、
26、()()
3,0,2,2
7、25
8、4025
9、解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
2
2
22
211()(1)
22
OB OC AB BC x +=+=+、① …………………〔2分〕
在△OBC 中，由余弦定理
O
D
C
B
A
2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，
所以221OB OC OC +⋅=，②
由①，②得
2OB OC ⋅=
、③
…………………〔5分〕
所以
1
44sin 2
ABCD OBC
S S OB OC BOC
∆==⋅⋅∠
OC
=⋅212
x -=
， 故()
AB h x ⋅212
x -=
， 所以
21()2x h x x
-=
、…………………〔10分〕 由③可得，210x ->，故1x >、
因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得
221(1)22x +≥， 解得〔结合1x >
〕11x <≤、 综上所述，
21()2x h x x
-=
，11x <≤、…………………〔14分〕
10、解
(sin )(4sin )3(1)
()1sin 2
1sin 1sin a x x a f x x a x x
++-==++++++、 当
713
a <≤
时，02<，此时
3(1)
()1sin 22
1sin a f x x a a x
-=++++≥++，
且当
(]()
sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，
故min
()2f x a =+、
…………………〔6分〕
当
73a >
2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t
-=+
在(
0,内是递减，故此时
min 3(1)5(1)()(1)2222
a a f x f a -+==+++=
、
综上所述，
min 72,1;3
()5(1)7,.
2
3a a f x a a ⎧
+<≤⎪⎪=⎨
+⎪>⎪⎩…………………〔14分〕
11、证〔1
〕记
t =
3
32
2
3xy yz zx xyz ++⎛⎫=
≤ ⎪
⎝⎭
、
…………………〔4分〕
于是324993xyz xy yz zx t t =+++≤+， 所以
()()2323320
t t t -++≥，
而23320t t ++>，所以320t -≥，即
23
t ≥，从而 43
xy yz zx ++≥
、…………………〔10分〕
〔2〕又因为
2()3()x y z xy yz zx ++≥++，
所以2()4x y z ++≥，
故2x y z ++≥、…………………〔16分〕
12、解〔1〕设集合
{}
31,2,,21A ⊆-，且A 满足〔a 〕，〔b 〕、那么1,7A A ∈∈、
由于{}()1,,72,3,
,6m m =不满足〔b 〕
，故3A >、 又{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足〔b 〕
，故4A >、
而集合{}1,2,4,6,7满足〔a 〕，〔b 〕，所以(3)5f =、
…………………〔6分〕
〔2〕首先证明
(1)()2,3,4,
f n f n n +≤+=、①
事实上，假设{}
1,2,,21n A ⊆-，满足〔a 〕，〔b 〕，且A 的元素个数为()f n 、
令
{}
1122,21n n B A
++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+、
又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合
{}
11,2,,21n B +⊆-，
且B 满足〔a 〕，〔b 〕、从而
(1)()2
f n B f n +≤=+、…………………〔10分〕
其次证明：
(2)()1,3,4,
f n f n n n ≤++=、②
事实上，设
{}
1,2,,21n A ⊆-满足〔a 〕，〔b 〕，且A 的元素个数为()f n 、令
{}
222(2
1),2(21),
,2(21),21n
n n n n B A
=----，
由于222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，
所以
{}
21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++、而
12(21)2(21)2(21),0,1,
,1k n k n k n k n +-=-+-=-，
2212(21)(21)n n n n -=-+-，
从而B 满足〔a 〕，〔b 〕，于是
(2)()1f n B f n n ≤=++、…………………〔14分〕
由①，②得(21)()3f n f n n +≤++、③ 反复利用②，③可得
(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++ (12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++
(3)3199108f ≤+++=、…………………〔16分〕。