四川省宜宾市高中协同提升责任区联考高二数学上学期期中试卷 理(含解析)

四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高二上学期期
中数学试卷（理科）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A．（﹣1，0，﹣1）B．（1，0，﹣1）C．（0，﹣1，1）D．（1，0，﹣1）
2．（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）
A．86，84 B．84，84 C．84，86 D．85，86
3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）
A．B．C．D．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出i的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）
A．5.6 B．4.8 C．4.4 D．3.2
7．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α
8．（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED异面；②CN∥BE；
③CN与BF成60°角；④DM⊥BN．
以上四个命题中，正确的命题序号是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
9．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，则该球的表面积为（）
A．16πB．12πC．8πD．4π
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当
时，函数y=f（x）的值域为（）
A．B．C．D．
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）某班有男生25名，女生15名，采用分层抽样的方法从这40名学生中抽取一个容量为8的样本，则应抽取的女生人数为名．
12．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是．
13．（5分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，则三棱锥A1﹣ABC1的体积是．
14．（5分）如图，已知二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB∈α．B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有．（填写你认为正确的序号）
①AC⊥面BEF；
②AF与BE相交；
③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P﹣BEF的体积为定值；
④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．
三、解答题（共6个题，共75分，要求写出解答过程）
16．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥BD1；
（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．
17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点
（ I）求证：BD⊥平面EFC；
（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积V C﹣ABD．
18．（12分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2014-2015学年高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和频率分布直方图：
（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；
分组运动时间
（小时）频数频率
1 5 0.05
19．（12分）已知一几何体的三视图如图所示，请在答题卷上作出该几何体的直观图，并回答下列问题
（Ⅰ）求直线CE与平面ADE所成角的大小；
（Ⅱ）设点F，G分别为AC，DE的中点，求证：FG∥平面ABE．
20．（13分）如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，将△PAD 沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P﹣ABCD，点M在棱PB上．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）如果AM⊥PB，求二面角C﹣AM﹣B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，求三棱锥P﹣ABC与三棱锥M﹣ABC的体积之比．
21．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AA1=2，AB=2，M为AA1的中点．
（1）若点N是线段AC上异于A、C的一动点，求异面直线BC与A1N所成角的大小；
（2）若二面角C﹣BM﹣A的大小为60°，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求AB1与面BCM所成角的正弦值．
四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A．（﹣1，0，﹣1）B．（1，0，﹣1）C．（0，﹣1，1）D．（1，0，﹣1）
考点：空间中的点的坐标．
专题：空间位置关系与距离．
分析：坐标A（x，y，z）关于原点对称，的坐标为（﹣x，﹣y，﹣z），写出结果即可．
解答：解：在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣1，0，﹣1）．
故选：A．
点评：本题考查空间点与点的位置关系，对称知识的应用，考查计算能力．
2．（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）
A．86，84 B．84，84 C．84，86 D．85，86
考点：茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出中位数与众数即可．
解答：解：根据茎叶图，得；
七位评委为某考生打出的分数从小到大依次是
77，84，84，84，86，87，93；
∴该组数据的中位数是84，众数是84．
故选：B．
点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数的应用问题，是基础题．
3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）
A．B．C．D．
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角．
解答：解：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B（0，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（1，1，1），
所以=（0，1，1），=（1，0，1），
并且BC1=，CD1=，
所以=，
所以异面直线BC1和CD1所成角；
故选B．
点评：本题借助于向量的数量积求异面直线所成的角，正确建立空间直角坐标系，明确对应向量的坐标是关键．
另外：本题可以连接AD1，AC，得到△ACD1是等边三角形，而角AD1C是异面直线BC1和CD1所成角，从而得到答案．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出i的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：列出循环过程中i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
解答：解：第1次判断后i=2，
第2次判断后i=3，
第3次判断后i=4，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：4．
故选C．
点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
5．（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．解答：解：AB是圆O的直径，则AC⊥BC，
由于PA⊥平面ABC，
则PA⊥BC，
即有BC⊥平面PAC，
则有BC⊥PC，则△PBC是直角三角形；
由于PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，则△PAB和△PAC都是直角三角形；
再由AC⊥BC，得∠ACB=90°，则△ACB是直角三角形．
综上可知：此三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形．
故选D．
点评：熟练掌握直径所对的圆周角的性质、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键．
6．（5分）一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）
A．5.6 B．4.8 C．4.4 D．3.2
考点：极差、方差与标准差．
专题：计算题．
分析：根据方差的公式求解，本题新数据由原数据减去80所得，故必须考虑它们的平均数和方差的关系求解．
解答：解：设样本x1，x2，…，x n的平均数是，其方差是4.4，
有S2=
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：将展开图复原为正方体，如图，根据正方体的几何牲，分别判断四个命题的真假，容易判断选项的正误，从而求出结果．
解答：解：展开图复原的正方体ABCD﹣EFMN如图，
由正方体ABCD﹣EFMN的结构特征，得：
①BM与ED是异面直线，故①正确；
②CN与BE是平行线，故②正确；
③CN∥BE，∴∠EBF=45°是CN与BF所成角，故③错误；
④设正方体ABCD﹣EFMN的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），M（0，1，1），B（1，1，0），N（0，0，1），
=（0，1，1），=（﹣1，﹣1，1），
∵=0﹣1+1=0，∴DM⊥BN，故④正确．
故选：B．
点评：本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是中档题．
9．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，则该球的表面积为（）
A．16πB．12πC．8πD．4π
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：结合题意，画出图形，根据图形求出该球的直径，即可求出球的表面积．
解答：解：AB=CD=，BC=2AC=2BD=2，如图所示；
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=；
同理∠BDC=，
又∵点A、B、C、D在同一个球的球面上，
∴该球的直径为2R=BC=2，
∴该球的表面积为S=4πR2=4π．
故选：D．
点评：本题考查了空间中的求与内接四面体的应用问题，解题的关键是求出球的直径来，是基础题．
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当
时，函数y=f（x）的值域为（）
A．B．C．D．
考点：棱柱的结构特征．
专题：函数的性质及应用；空间位置关系与距离．
分析：验证x=BP=，1，时，y=f（x）的值是什么，分析函数y=f（x）的变化情况，从而
得出正确的判断．
解答：解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，
∴BD1=AB=3，
当BP=时，如图所示；
三棱锥B﹣EFG的底面是正三角形，设边长EF=a，则BE=，
∴•a2•=••••；
解得a=，
y=f（x）=；
当EF=AB=时，y=f（x）=3，如图所示；
••••BP=••••，
此时BP=1；
当BP=时，截面为六边形EFGHIJ，
且EF=FG=GH=HI=IJ=JE=AC=，如图所示；
此时y=f（x）=；
∴时，函数y=f（x）的值域应为．
故选：B．
点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了作图和读图的能力，解题时应根据几何体的特征和条件进行分析变化情况，是难题．
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）某班有男生25名，女生15名，采用分层抽样的方法从这40名学生中抽取一个容量为8的样本，则应抽取的女生人数为3名．
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：设应抽取的女生人数为x名，由分层抽样的性质，能求出结果．
解答：解：设应抽取的女生人数为x名，
由分层抽样的性质，得：
，
解得x=3．
∴应抽取的女生人数为3名．
故答案为：3．
点评：本题考查样本应抽取的女生人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．
12．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，计算出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案．
解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，
底面面积S=×4×3=6，
棱柱的高h=5，
故几何体的体积V=Sh=6×5=30，
故答案为：30
点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
13．（5分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，则三棱锥A1﹣ABC1的体积是V．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1被分割成三个等体积的三棱锥，即可得出结论．
解答：解：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1被分割成三个等体积的三棱锥，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，
∴三棱锥A1﹣ABC1的体积是V．
故答案为：V．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础．
14．（5分）如图，已知二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB∈α．B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是．
考点：直线与平面所成的角．
专题：计算题；空间角．
分析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．
解答：解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D
连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°
又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2，则AC=，CD=1，AB==4
∴sin∠ABC==．
故答案为．
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有①③④．（填写你认为正确的序号）
①AC⊥面BEF；
②AF与BE相交；
③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P﹣BEF的体积为定值；
④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：连接BD，交AC于O，由线面垂直的性质定理和判定定理，即可判断①；
由两异面直线的判定方法，即可得到AF与BE为异面直线，进而判断②；
运用棱锥的体积公式，由于EF=1，矩形BDD1B1内B到EF的距离为1，则三角形BEF的面积为，
再由P在棱AA1上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD1B1的距离，即可得到体积，从而判断③；
由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，即可判断④．
解答：解：对于①，连接BD，交AC于O，则AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，则AC⊥BB1，
则有AC⊥平面BDD1B1，即AC⊥面BEF，故①对；
对于②，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，
点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故②错；
对于③，三棱锥P﹣BEF的体积为S△BEF•h，由于EF=1，矩形BDD1B1内B到EF的距离为1，则
三角形BEF的面积为，由于P在棱AA1上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD1B1的距
离，由于AC⊥平面BDD1B1，则h=AO=，则三棱锥P﹣BEF的体积为，故③对；
对于④，由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，
则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，
连接OB1，延长与D1D延长交于Q，即为所求直线，故④对．
故答案为：①③④
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，两直线的位置关系，考查三棱锥体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题和易错题．
三、解答题（共6个题，共75分，要求写出解答过程）
16．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥BD1；
（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．
考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（I）证明AC⊥BD，且AC⊥DD1，即可证明AC⊥平面BDD1，从而证明AC⊥BD1；
（ II）如图所示，证明OE∥BD1，即可证明BD1∥平面ACE．
解答：解：（I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，
∴AC⊥BD，
又∵DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD1，
又BD∩DD1=D，
∴AC⊥平面BDD1；
又∵BD1⊂平面BDD1，
∴AC⊥BD1；如图所示；
（ II）证明：设BD∩AC=O，连结OE，
在△BD D1中，O、E分别为BD、DD1的中点，
∴OE∥BD1；
又∵OE⊂平面ACE，且BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE．
点评：本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目．
17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点
（ I）求证：BD⊥平面EFC；
（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积V C﹣ABD．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）△ABD中，根据中位线定理，得EF∥AD，结合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD 中，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC；
（Ⅱ）确定CF⊥平面ABD，S△ABD=，利用体积公式，即可得出结论．
解答：（Ⅰ）证明：∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．
∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC；
（Ⅱ）解：∵CB=CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD，
∵EF⊥CF，EF∩BD=F，
∴CF⊥平面ABD，
∵CB=CD=BD=1，
∴CF=，
∵AD=BD=1，AD⊥BD，
∴S△ABD=，
∴V C﹣ABD==．
点评：本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥C﹣ABD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（12分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2014-2015学年高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和频率分布直方图：
（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；
分组运动时间
（小时）频数频率
1 5 0.05
考点：散点图．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据频数总和是样本容量求出a，然后利用频数与样本容量的比是频率求p；（Ⅱ）利用各矩形底边中点的横坐标乘以矩形的面积之和解得平均数．
解答：解：（Ⅰ）因为随机抽取了100名学生作为样本，
所以a=100﹣20﹣20﹣15﹣10﹣5=30；
b==0.3；
频率分布直方图如下：
（Ⅱ）根据表格数据和直方图得到运动时间在小时的学生体育运动的平均时间为
27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+ 4.75+2.625=36.5（小时）；
点评：本题考查了频率分布直方图以及频率分布表，根据是正确视图．
19．（12分）已知一几何体的三视图如图所示，请在答题卷上作出该几何体的直观图，并回答下列问题
（Ⅰ）求直线CE与平面ADE所成角的大小；
（Ⅱ）设点F，G分别为AC，DE的中点，求证：FG∥平面ABE．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）要求直线CE与平面ADE所成角的大小需要CE在平面ADE内的射影，取AD的中点H，则HE就是CE在平面ADE内的射影，∠CEH即为所求．
（2）要证FG∥平面ABE，据线面平行的判定定理，需要在平面ABE找一条直线与FG平行，取AB中点M，则ME∥FG．
以上两问都可以通过建立空间直角坐标系来求．
解答：解：该几何体是四棱锥A﹣BCDE，底面BCDE为正方形，侧棱AC⊥面BCDE，AC=CD，直观图如下：
（1）取AD中点H且连接CH，∵AC=CD，∴CH⊥AD．
∵AC⊥面BCDE，∴AC⊥ED，又∵BCDE是正方形，∴CD⊥ED，∴ED⊥面ACD
又CH⊂面ACD，∴ED⊥CH，又ED∩AD=D，∴CH⊥面ADE于点H，连接EH，则EH是
直线CE在平面ADE内的射影，所以∠CEH就是直线CE与ADE所成的角．
设AC=1，在Rt三角形CHE中，CE=，CH=，∠CHE=90°，sin∠CEH==
∴∠CEH=30°，所以直线CE与平面ADE所成角为30°
（2）取AB中点M，连接MF，∵F是AC中点，∴MF∥BC，且MF=BC，
又G是ED中点，∴EG=BC，∴MF=EG，MF∥EG，∴MFGE是平行四边形
∴FG∥ME，又FG⊄面ABE，ME⊂面ABE，∴FG∥ABE．
点评：本题考查了线面角的求法，以及线面平行的判定，属于基础题．
20．（13分）如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，将△PAD 沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P﹣ABCD，点M在棱PB上．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）如果AM⊥PB，求二面角C﹣AM﹣B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，求三棱锥P﹣ABC与三棱锥M﹣ABC的体积之比．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）由图1中DA⊥PB，可得折叠后DA⊥AB，DA⊥PA，进而DC⊥PA，DC⊥DA，由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出平面ACM和平面ABM的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角C﹣AM﹣B的余弦值，进而根据同角三角函数关系，可得二面角C﹣AM﹣B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，可得=，即三棱锥P﹣ABC与三棱锥M﹣ABC的高之比为，即三棱锥P﹣ABC与三棱锥M﹣ABC的体积之比为．
解答：证明：（Ⅰ）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱锥P﹣ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，
而DA⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．
因为DC⊂平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（II）以A为坐标原点，建立空间坐标系，如下图所示：
∵PB=3DC=3，PD=，故AD=1，AB=2，AP=1，
故PB==，
当AM⊥PB时，由射影定理可得PM=PB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
∴=（1，1，0），=（0，2，0），=（0，0，1），
∴=+=（0，，），
设平面ACM的一个法向量为=（x，y，z），
由得：，
即，
令x=2，则=（2，﹣2，1），
由=（1，0，0）为平面MAB的法向量，
故二面角C﹣AM﹣B的平面角θ满足：
cosθ==，
故sinθ==，
故tanθ==；
（III）在梯形ABCD中，连接AC、BD交于点O，连接OM．
∵PD∥平面AMC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=MO，
∴PD∥MO
∴=，
∵△AOB∽△DOC，
∴==，
即=，
即三棱锥P﹣ABC与三棱锥M﹣ABC的高之比为，
即三棱锥P﹣ABC与三棱锥M﹣ABC的体积之比为．
点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定定理，难度中档．
21．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AA1=2，AB=2，M为AA1的中点．
（1）若点N是线段AC上异于A、C的一动点，求异面直线BC与A1N所成角的大小；
（2）若二面角C﹣BM﹣A的大小为60°，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求AB1与面BCM所成角的正弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．
专题：空间角；空间向量及应用．
分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角与二面角的关系即可得出；
（3）由（2）可得=，平面BCM的法向量为=（0，﹣1，）．设AB1与面BCM所成角为θ．利用sinθ==即可得出．
解答：解：（1）如图所示，
∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．
又∵BC⊥AC，AC∩AA1=A．
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥A1N．
∴异面直线BC与A1N所成角为90°．
（2）设B（a，0，0），则A，M．
∴=，=（a，0，0），=（0，0，1）．
设平面BCM的法向量为=（x，y，z），
则，令z=，解得x=0，y=﹣1．
∴．
同理可得平面ABM的法向量=．
∵二面角C﹣BM﹣A的大小为60°，
∴cos60°===，解得a=．
∴|BC|=．
（3）由（2）可得=，
平面BCM的法向量为=（0，﹣1，）．
设AB1与面BCM所成角为θ．
∴sinθ====．
∴AB1与面BCM所成角的正弦值为．
点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角求二面角、线面垂直的判定与性质定理、线面角的求法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。