2017-2018年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（下）期末数学
试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4B．5C．6D．9
2．（3分）若2x＞﹣2y，则下列不等式中一定成立的是（）
A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0
3．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
4．（3分）“莲城读书月”活动结束后，对八年级（三）班45人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示：
根据统计结果，阅读2本书籍的人数最多，这个数据2是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．（3分）关于x的不等式组的解集是（）
A．x＞3B．x＜C．﹣3＜x＜D．3＜x＜
6．（3分）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）
A．参加本次植树活动共有30人
B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵
D．每人植树量的平均数是5棵
7．（3分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO，则图中一共有（）对全等三角形．
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（）
A．3，2B．3，4C．5，2D．5，4
9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3
10．（3分）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE＝52°，则∠ACD的大小为（）
A．25°B．26°C．27°D．28°
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2＝16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）
12．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．
13．（3分）如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是．14．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．
15．（3分）国产大飞机用数学建模的方法预测的价格是（单位：美元）：5098，5099，5001，5002，4990，4920，5080，5010，4901，4902，这组数据的平均数是美元．16．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2和3，则该三角形的周长是．17．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，此多边形是边形．18．（3分）已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是．
19．（3分）如图的三角形纸片中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF＝，则线段CE的长是．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．（7分）用代入法解二元一次方程组：
22．（7分）解一元一次不等式：≤，并把它的解集表示在如图所示的数轴上．
23．（8分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在组内（填“A”或“B”或“C”
或“D”）；
（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼）
24．（8分）已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）如图1，求证∠BAC＝∠B+2∠E；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE＝2∠CAF，∠B＝2∠E，求∠BAC 的度数．
25．（10分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，
用＜a＞表示大于a的最小整数．例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣2.6]＝，＜6.2＞＝．
（2）已知x，y满足方程组，则[x]＝，＜y＞＝，x的取
值范围是，y的取值范围是．
26．（10分）光明电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共40台，这40台电风扇全部售出后，若利润不低于2660元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？
27．（10分）已知：在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝DC，BC＝EC，AB与DE相交于点F．
（1）如图1，求证AB＝DE；
（2）如图2，连接CF，求证∠AFC＝∠EFC；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AF＝EF时，连接BD，AE，延长CF交BD于点G，AE交CF于点H，若AE＝8，BG＝2，求线段GH的长．
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（下）期
末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4B．5C．6D．9
【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
2．（3分）若2x＞﹣2y，则下列不等式中一定成立的是（）
A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0
【解答】解：∵2x＞﹣2y
∴2x+2y＞0
∴x+y＞0
故A正确，B，C，D错误
故选：A．
3．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，
则x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
4．（3分）“莲城读书月”活动结束后，对八年级（三）班45人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示：
根据统计结果，阅读2本书籍的人数最多，这个数据2是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【解答】解：由题意2出现的次数最多，故2是众数．
故选：C．
5．（3分）关于x的不等式组的解集是（）
A．x＞3B．x＜C．﹣3＜x＜D．3＜x＜
【解答】解：，
由①得到：x＞3，
由②得到：x＜，
∴不等式组的解集为3＜x＜，
故选：D．
6．（3分）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）
A．参加本次植树活动共有30人
B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵
D．每人植树量的平均数是5棵
【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选：D．
7．（3分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO，则图中一共有（）对全等三角形．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DOB＝∠EOC，
∵BO＝CO，
∴△DOB≌△EOC；
∴OD＝OE，BD＝CE；
∵OA＝OA，OD＝OE，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴△ADO≌△AEO；
∴AD＝AE，∠DAO＝∠EAO；
∵AB＝AC，∠DAO＝∠EAO，OA＝OA，
∴△ABO≌△ACO；
∵AD＝AE，AC＝AB，∠BAE＝∠CAD，
∴△ADC≌△ABE（SSS）．
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
8．（3分）已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（）
A．3，2B．3，4C．5，2D．5，4
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数为5，
∴（a+b+c）＝5，
∴（a﹣2+b﹣2+c﹣2）＝（a+b+c）﹣2＝5﹣2＝3，
∴数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为4，
∴[（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]＝4，
∴a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差＝[（a﹣2﹣3）2+（b﹣2﹣3）2+（c﹣﹣2﹣3）2]＝[（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]＝4．
故选：B．
9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
所以a﹣2b＝﹣2×（﹣）＝2，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，点E在线段AB上，若∠AED+∠BCE＝52°，则∠ACD的大小为（）
A．25°B．26°C．27°D．28°
【解答】解∵△ABC≌△DEC
∴∠B＝∠DEC，∠DCE＝∠ACB
∵∠AEC＝∠B+∠BCE＝∠AED+∠DEC
∴∠AED＝∠BCE．且∠AED+∠BCE＝52°
∴∠BCE＝∠AED＝26°
∵∠DCE＝∠ACB
∴∠DCA＝∠BCE＝26°
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2＝16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2＝28.3，那么成绩比较稳定的是甲（填“甲”或“乙”）
【解答】解：
∵S甲2＝16.7，S乙2＝28.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
12．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价
为y元，依题意，可列方程组为．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故答案为：．
13．（3分）如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是x+2y
＝180．
【解答】解：∵三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，
∴x+y+y＝180，即x+2y＝180，
故答案为：x+2y＝180．
14．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A＝∠D使得△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加∠A＝∠D．理由如下：
∵FB＝CE，
∴BC＝EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案是：∠A＝∠D．
15．（3分）国产大飞机用数学建模的方法预测的价格是（单位：美元）：5098，5099，5001，5002，4990，4920，5080，5010，4901，4902，这组数据的平均数是5000.3美元．【解答】解：这组数据的平均数是
×[5000×10+（98+99+1+2﹣10﹣80+80+10﹣99﹣98）]
＝5000+×3
＝5000.3（美元）．
故这组数据的平均数是5000.3美元．
故答案为：5000.3．
16．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为2和3，则该三角形的周长是7或8．【解答】解：（1）若2为腰长，3为底边长，
由于2+2＞3，符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为2+2+3＝7；
（2）若3为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为3+3+2＝8．
故答案为：7或8．
17．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，此多边形是六边形．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得：n＝6，
故答案为：六．
18．（3分）已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是5．
【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，∴（2+5+x+y+2x+11）＝（x+y）＝7，
解得y＝9，x＝5，
∴这组数据的众数是5．
故答案为5．
19．（3分）如图的三角形纸片中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为7．
【解答】解：∵折叠，
∴BC＝BE，DE＝CD；
∵AB＝5，BC＝4，
∴AE＝1；
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+1＝AC+1＝7．
故答案为：7．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF＝，则线段CE的长是4．
【解答】解：∵AD是角平分线，
∴＝＝＝2，
∵CE是高，DF⊥AB，
∴DF⊥CE，
∴＝＝，
∴CE＝DF＝×＝4．
故答案为4．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．（7分）用代入法解二元一次方程组：
【解答】解：①×2+②得到：11x＝33，x＝3，
把x＝3代入②得到：y＝3，
∴
22．（7分）解一元一次不等式：≤，并把它的解集表示在如图所示的数轴上．
【解答】解：方程两边同时乘以6，得：2（2x﹣1）≤3x﹣4，
去括号，得：4x﹣2≤3x﹣4，
移项，得：4x﹣3x≤﹣4+2，
解得：x≤﹣2，
即不等式的解集为：x≤﹣2，
不等式的解集在数轴上表示如下：
23．（8分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在C组内（填“A”或“B”或“C”
或“D”）；
（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼）
【解答】解：（1）40÷20%＝200（人），
200﹣20﹣40﹣60＝80（人），
∴C组有80人，
频数分布直方图如图所示：
（2）由题意中位数是第100和101两人的平均数，在C组，
故答案为C．
（3）1200×＝840（人），
∴估计这个年级学生中约有840人一天早锻炼的时间不少于20分钟．
24．（8分）已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）如图1，求证∠BAC＝∠B+2∠E；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE＝2∠CAF，∠B＝2∠E，求∠BAC 的度数．
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
（2）设∠CAF＝α，则∠ACE＝∠DCE＝2α，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣α，
∵∠ACF+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴90°﹣α+2α+2α＝180°，
解得：α＝30°，
∴∠ACE＝60°＝∠B+∠E，
又∵∠B＝2∠E，
∴∠B＝40°、∠E＝20°，
∴∠BAC＝∠B+2∠E＝80°．
25．（10分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，用＜a＞表示大于a的最小整数．例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣2.6]＝﹣3，＜6.2＞＝7．
（2）已知x，y满足方程组，则[x]＝﹣1，＜y＞＝3，x的取值
范围是﹣1≤x＜0，y的取值范围是2≤y＜3．
【解答】解：（1）由题意得：[﹣2.6]＝﹣3，＜6.2＞＝7；
故答案为：﹣3，7；
（2）解方程组得：，
故x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
故答案为：﹣1，3，﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
26．（10分）光明电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共40台，这40台电风扇全部售出后，若利润不低于2660元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？
【解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的电风扇的销售单价为260元/台，B种型号的电风扇的销售单价为220元/台．（2）设采购A种型号的电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（40﹣m）台，
根据题意得：（260﹣190）m+（220﹣160）（40﹣m）≥2660，
解得：m≥26．
答：A种型号的电风扇至少要采购26台．
27．（10分）已知：在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝DC，BC＝EC，AB与DE相交于点F．
（1）如图1，求证AB＝DE；
（2）如图2，连接CF，求证∠AFC＝∠EFC；
（3）如图3，在（2）的条件下，当AF＝EF时，连接BD，AE，延长CF交BD于点G，AE交CF于点H，若AE＝8，BG＝2，求线段GH的长．
【解答】证明：（1）如图1，在△ABC和△DEC中，
∵，
∴△ABC≌△DEC（SAS），（1分）
∴AB＝DE；（2分）
（2）如图2，过点C作CM⊥AB，CN⊥DE，垂足分别为M，N，∵△ABC≌△DEC，
∴∠A＝∠D，（3分）
在△ACM和△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（AAS），（4分）
∴CM＝CN，
∴∠AFC＝∠EFC；（5分）
（3）如图3，∵AB＝DE，AF＝EF，
∴AB﹣AF＝DE﹣EF，即BF＝DF，
∵∠AFC＝∠EFC，∠AFC＝∠BFG，∠EFC＝∠DFG，
∴∠BFG＝∠DFG，
∴FG⊥BD
∴∠BGF＝∠DGF＝90°，（6分）
同理∠AHF＝∠EHF＝90°，AH＝EH＝AE＝4，（7分）
在△AFC和△EFC中
∵
∴△AFC≌△EFC，
∴AC＝EC，
∴AC＝BC，（8分）
∵∠CBG+∠BCG＝90°，∠ACH+∠BCG＝90°，
∴∠CBG＝∠ACH，
在△ACH和△CBG中，
∵，
∴△ACH≌△CBG（AAS），
∴CH＝BG＝2，CG＝AH＝4，
∴GH＝CG﹣CH＝4﹣2＝2．（10分）。