高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2.1 对数函数的图象及性质课件 新人教A版必修1

答案:
{x|x2,且x1} 3
3
【方法总结】求函数定义域的三个步骤 (1)列不等式(组):根据函数f(x)有意义列出x满足的不 等式(组). (2)解不等式(组):根据不等式(组)的解法步骤求出x满 足的范围. (3)结论:写出函数的定义域.
提醒:(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为 各不等关系解集的交集. (2)当对数型函数的底数含字母时,在求定义域时要注 意分类讨论.
【预习自测】
1.给出下列函数:(1)y= l o g 2 x 2 ;(2)y=log3(x-1);
3
(3)y=logπx.其中是对数函数的有 ( )
A.0个
B.1个 C.2个
D.3个
【解析】选B.由对数函数的定义知y=logπx是对数函数.
2.已知函数f(x)=loga(x-1)(a>0且a≠1),则函数f(x) 的图象必过定点 ( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2) 【解析】选B.因为函数f(x)=loga(x-1)(a>0且a≠1)的 图象是由对数函数y=logax的图象向右平移一个单位得 到的,且对数函数y=logax的图象恒过点(1,0),故f(x)的 图象恒过点(2,0).
所以f(2)= log2log( 2)22.
2
2
类型二 对数函数图象问题 【典例2】(1)如图所示的曲线是对数函数y=logax, y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小 关系为________.
(2)已知f(x)=loga|x|,满足f(-5)=1,试画出函数f(x) 的图象.
5.函数f(x)=log2(x-1)的定义域是__________. 【解析】由题意知x-1>0,即x>1,故定义域为(1,+∞). 答案:(1,+∞)
类型一 对数函数的定义 【典例1】(2017·宁波高一检测)下列各函数是对数函数 的序号是__________. ①y=log3(2x);②y=log3(x+1);③y=log3 x ; ④y=-log3x.
【解析】(1)由图可知函数y=logax,y=logbx的底数 a>1,b>1,函数y=logcx,y=logdx的底数 0<c<1,0<d<1. 过点(0,1)作平行于x轴的直线,则直线与四条曲线交点 的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a>1>d>c. 答案:b>a>1>d>c
(2)因为f(-5)=1,所以loga5=1,即a=5,
故f(x)=log5|x|=
log5x，x＞0, log5(x)，x＜0.
所以函数y=log5|x|的图象如图所示.
【延伸探究】 1.本例2(2)条件不变,试写出函数f(x)=loga|x|的值域 及单调区间. 【解析】由典例2(2)的图象知f(x)的值域为R,递增区 间为(0,+∞),递减区间为(-∞,0).
3
答案:③④
【方法总结】判断一个函数是否是对数函数的方法 (1)看形式:判断一个函数是否是对数函数,关键是看解 析式是否符合y=logax(a>0且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征: ①系数为1; ②底数为大于0且不等于1的常数; ③对数的真数仅有自变量x. 只要有一个特征不具备,则不是对数函数.
【微思考】 请你根据所学过的知识,思考对数函数解析式中的底数 能否等于0或小于0? 提示:因为y=logax⇔x=ay,而在指数函数中底数a需满 足a>0且a≠1,故在对数函数解析式中a的取值范围不能 等于0或小于0.
主题2 对数函数的图象与性质 1.在同一坐标系内画出函数y=log2x和y=log3x的图象. 并说出函数图象从左到右的变化趋势.
2.对数型函数图象恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1,都有 loga1=0.例如,解答函数y=m+logaf(x)(a>0且a≠1)的图 象恒过定点问题时,只需令f(x)=1求出x,即得定点 (x,m).
【拓展】函数图象对称性的特例及推广 (1)y=ax与y= ( 1 ) x(a>0且a≠1)
类型三 与对数函数有关的定义域问题 【典例3】(1)(2017·烟台高一检测)函数f(x)= 的定义域为 ( )
1 log 2x 1
A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
(2)(2017·温州高一检测)函数f(x)=log2x-1 义域是__________.
3x 的2 定
【巩固训练】函数y= lg 2x 3 的定义域为 ( )
A.(3,) 2
B.[3，) 2
C.(2，)
D.(2，) 3
【解析】选A.要使函数y= lg 2x 3 有意义需2x-3>0,即
x＞ 3 . 2
【补偿训练】求下列函数的定义域.
(1) y 1 .
lg(x 1) 3
(2)y= loga(34x)(a>0,且a≠1).
应关系f: t log P，都有唯一的值与之相对应,故t是 5 730 1 2
P的函数.
2.问题1中函数
t
log
5
730
1
P
的解析式与函数y=log2x的解
2
析式有什么共同特征?
提示:两函数的共同特征是自变量均在真数位置上,底
数是大于零且不等于1的常数.
结论:对数函数的定义 函数_y_=_l_o_g_ax_(_a_>_0_且__a_≠__1_)_,叫做对数函数,其中x是_自__ _变__量__,函数的定义域是_(_0_,_+_∞__)_.
【解题指南】(1)过点(0,1)作平行于x轴的直线,则直线 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,通过 观察图象即可确定a,b,c,d与1的大小关系. (2)先利用条件f(-5)=1求出a的值,然后画出x>0时,f(x) 的图象,再把x>0时的图象关于y轴对称,即可画出函数 f(x)的图象.
反函数,其图象经过点 ( 3 2，2 )， 求f(2).
3
【解题指南】同底的指数函数与对数函数互为反函数,
因此可设f(x)=logax,然后结合条件求出a,进而确定f(2) 的值.
【解析】设f(x)=logax,由题意知
f
(
3
2)
2， 3
故
loga
3
2
所 2以，
3
因a 23 此 2
1 3
，
a 2，
2.若把本例2(2)中的函数改为y=log5|x+1|,请画出它 的图象.
【解析】利用图象变换来解题,画出函数y=log5|x|的图 象,将函数y=log5|x|的图象向左平移1个单位,即可得函 数y=log5|x+1|的图象,如图所示.
【方法总结】 1.根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底 数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数 的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3
(3)这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域为R,都过定
点(1,0).
结论:归纳对数函数的图象和性质
y=logax(a>1)
y=logax(0<a<1)
图象
定义域
y=logax(a>1)
y=logax(0<a<1)
__(_0_，__+_∞__)
值域
__R
性 质 过定点
__(_1_，__0_)
a
特例 函数y=ax与函数y= ( 1 ) x 的图象关于y轴对称
a
推广
函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对 称
(2)y=logax与y= l o g 1 x (a>0且a≠1)
a
特例
函数y=logax与函数y= l o g 1 x 的图象关于x轴对
称
a
函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对 推广 称
【补偿训练】作出函数y=|log2(x+1)|的图象. 【解析】第一步:作出函数y=log2x的图象(如图①); 第二步:将y=log2x的图象向左平移1个单位长度,得函 数y=log2(x+1)的图象(如图②); 第三步:将函数y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分 以x轴为对称轴翻折到x轴上方,得y=|log2(x+1)|的图 象(如图③).
单调性
_在__(_0_，__+_∞__)_上__是__增__ _函__数__
__在__(_0_，__+_∞__)_上__是__减_ __函__数_
【微思考】 1.结合对数函数的图象说明对数函数的单调性与什么 量有关? 提示:对数函数的单调性与解析式中的底数a有关,若 a>1,则对数函数是增函数,若0<a<1,则对数函数是减函 数.
【巩固训练】(2017·枣庄高一检测)函数y= (a2-4a+4)logax是对数函数,则a=__________. 【解析】因为y=(a2-4a+4)logax是对数函数, 所以a2-4a+4=1且a>0,a≠1,故a=3. 答案:3
【补偿训练】若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的
【解题指南】观察函数解析式的形式,看是否满足对数 函数的定义,然后再下结论.
【解析】①中,真数不是自变量x,故不是对数函数;②
同①,不是对数函数;③中, log 3
x
=
1 2
log3x=log9x,满足
对数函数的三个条件特征,故是对数函数;④中,-log3x
= l o g 1 x ,是对数函数.
2
y log 1 x 的图象,并说出新画出的两个函数图象的变化
3
趋势及这四个函数图象的特征.
提示:
(1)函数 y lo和g 1 x y的 l图og象1 x 从左到右是下降的.
2
3
(2)函数y=log2x和y log的1 x 图象关于x轴对称,同样,函数
2
y=log3x和 y 的 lo图,被开方数大于0,列不 等式组求解.(2)根据被开方数大于等于0、真数大于0、 底数大于0且不等于1,列不等式组求解.
【解析】(1)选C.要使函数有意义,则有
x 0, log 2x 1 0,
解得x>2,即函数的定义域为(2,+∞).
(所所2以以)要函使xx 数函的1232 数,且定有x 义意1 域, 义为,必{x须|x满2足,且x32xx1}.1200且 , 2x11,
3.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图 象是 ( )
【解析】选A.因为y=a-x= ( 1 ) x 且a>1,所以y=a-x是减函
a
数,y=logax是增函数,故选A.
4.已知对数函数f(x)过点(2,4),则f(x)的解析式为 ________. 【解析】设f(x)=logax,则由f(2)=loga2=4得 a4=2,所以a=4 2 ,所以f(x)= lo g 4 2 x . 答案:f(x)= lo g 4 2 x
提示:(1)列表
x
1
1
1
12
3
4
4
3
2
y=log2 x
-2
-log23
-1
0
1
log23
2
y=log3 x
-log34
-1
-log32 0 log32
1
log34
描点画图
(2)图象的变化趋势:这两个函数的图象从左到右均是不 断上升的.
2.在问题1所画图象的基础上,再画出函数 y log 1 x 和
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质
主题1 对数函数的概念
1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上
死亡物体的残留物,利用 t log P (P为碳14含量)估算 5 730 1 2
出土文物或古遗址的年代t.那么t是P的函数吗?为什么?
提示:t是P的函数,因为对于P每取一个确定的值按照对
2.将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐 标系中,若沿直线y=a(a<0)自左向右观察能得到什么结 论? 提示:将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直 角坐标系中,沿直线y=a(a<0)自左向右看对数函数的底 数逐渐减小.
3.指数函数y=2x与对数函数y=log2x有什么关系? 提示:由指数式y=2x可得到对数式x=log2y,习惯上写成 y=log2x,称y=log2x为y=2x的反函数,反之y=2x也是 y=log2x的反函数.
【解析】(1)由
lg(x 1) 3 x 1 0,
0，得
x x
1 103 1,
,
所以x>-1且
x≠999,所以函数的定义域为{x|x>-1且x≠999}.
(2)loga(3-4x)≥0. (*)
当a>1时,(*)可化为loga(3-4x)≥loga1,所以3-4x≥1,
x≤
1 2