北师大版数学八年级上册 分式解答题检测题(Word版 含答案)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．已知下面一列等式：
111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545
⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)
x x x x ++++++. 【答案】（1）一般性等式为
111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x
+. 【解析】
【分析】
（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.
【详解】
解：（1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545
⨯=-；…， 知它的一般性等式为111=(+11
n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1
n n n n ==⋅++， ∴原式成立； （3）
11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =
-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114
x x =-+ 244x x
=
+. 【点睛】 解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
2．已知分式 A =2344(1)11
a a a a a -++-÷--
（1）化简这个分式；
（2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【答案】（1）
22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】
【分析】
（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；
（2）根据题意列出算式2622
a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；
（3）由24122
a A a a +=
=+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11
a a a a a -++-÷-- =22
1311(2)a a a a ---⨯-- =
2(2)(2)11(2)a a a a a +--⨯-- =22
a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22a A a +=
-， ∴62
a B a +=+， ∴261622(2)(2)
a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >，
∴20a ->，24a +>，
∴0A B ->，
∴分式的值变小了；
（3）∵A 是整数，a 是整数， 则24122
a A a a +=
=+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠，
∴a的值可能为：3、0、4、6、-2；
∴3046(2)11
++++-=；
∴符合条件的所有a值的和为11．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2
3；
若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元
【解析】
试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．
试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要
2
3
x天．
根据题意，得2011
60()1
22
33
x x x
++=
，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，∴2
3
x
=
2
3
×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分
别需120天和180天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11
()1
120180
y+=，解得y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
4．符号a b
c d
称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
a b
ad bc
c d
=-，请根据这一法
则解答下列问题：
（1）计算：21111
1x
x x +-；
（2）若2
121122x x
x -=--，求x 的值.
【答案】（1）
()()1
11x x +- （2）5 【解析】
【分析】 （1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；
（2）根据定义列式后得到关于x 的分式方程，正确求解即可.
【详解】
（1）原式2111
x x x =--+ ()()()()11111x x x x x x -=-+-+-
()()1
11x x =+-； （2）根据题意得：
21222x x x
--=-- 解之得：5x =
经检验：5x =是原分式方程的解
所以x 的值为5.
【点睛】
此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.
5．在计算23224
x x x x +-++-的过程中，三位同学给出了不同的方法： 甲同学的解法：原式=222222(3)(2)26284444
x x x x x x x x x x x +--+-----==----； 乙同学的解法：原式=3231312(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++--=-=++-+++=1； 丙同学的解法：原式=（x+3）（x ﹣2）+2﹣x=x 2+x ﹣6+2﹣x=x 2﹣4．
（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x 取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是
否合理，并简要说明理由．
【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案；
（2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x 值无关，但是要注意所选取的x 不能使分式无意义.
试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的； 故答案为：丙，乙；
（2）不合理，
理由：∵当x≠±2时，
22232(3)(2)22444x x x x x x x x x +-+--+=-+---=222262444
x x x x x x +--+-=--=1， ∴乙同学的话不合理，
6．探索：（1）如果
32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522
x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果
ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式
431
x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2
【解析】
试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=- ()535(2)1313255.2222
x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=- 总结：
().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c +++--==+=+++++ .m b ac ∴=-
()434(1)1134.111
x x x x x --+==+--- 又∵代数式431
x x --的值为整数，
11x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-
2x ∴=或 0.
7．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1
3
后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的
13
时，已修建道路多少米？ （2）求原计划每小时修建道路多少米？ 【答案】（1）已修建道路600米；（2）原计划每小时抢修道路140米．
【解析】
【分析】
（1）全长1800，原计划已经完成13，单位“1”已知用乘法，已修道路=118003⨯=600米
（2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x 米，加快后每小时变为1.5x 米，等量关系为：原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出．
【详解】
解：（1）已修建道路600米；
（2）设原计划每小时抢修道路x 米，
根据题意得：()6001800600x 150x -++%＝10
解得：x ＝140，
经检验：x ＝140是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路140米．
【点睛】
方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解．
8．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由.
【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元
【解析】
【分析】
（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；
（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．
【详解】
解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，
则乙队单独完成这项工程需要2x天，
根据题意，得611
161 x x2x
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
，
解得x＝30
经检验，x＝30是原方程的根，
则2x＝2×30＝60
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有
11
y1
3060
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
解得y＝20
需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）
∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
9．杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价每件比第一批多了5元.
（1）第一批杨梅每件进价多少元？
（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折（利润-售价-进价）？
【答案】（1）120元（2）至少打7折．
【解析】
【分析】
（1）设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；
（2）设剩余的杨梅每件售价y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于320
元，可列不等式求解．
【详解】
解：(1)设第一批杨梅每件进价是x 元， 则120025002,5
x x ⨯=+ 解得120.x =
经检验，x=120是原方程的解且符合题意．
答：第一批杨梅每件进价为120元．
(2)设剩余的杨梅每件售价打y 折． 则
2500250015080%150(180%)0.12?500320.125125
y ⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥ 解得y≥7. 答：剩余的杨梅每件售价至少打7折．
【点睛】
考查分式方程的应用, 一元一次不等式的应用，读懂题目，从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.
10．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式23411
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2
341(1)(3)x x x x a b +-=+++.
因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，
所以223413(3)x x x a x a b +-=++++. 所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩
. 所以2341(1)(31)211
x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111
x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411
x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361
x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）请将分式4225932
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122
x x x x x +-=--++. 【解析】
【分析】
（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案； （2）将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++，得到10923
m m n +=⎧⎨
+=-⎩，求出m 、n ，整理后即可得到答案.
【详解】
（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，
∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，
∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩
， ∴22361
x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-； （2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，
∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，
∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11
m n =-⎧⎨=-⎩， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12
x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】
此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.。