解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等强化训练专题练习(六)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．2
2
x +y +2x=0 B ．2
2
x +y +x=0 C ．
22x +y -x=0
D ．2
2
x +y -2x=0(汇编福建理）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
2．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆
O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=o ，则椭圆离心率e 的取值范围是
▲ .
x
M
O
y
A
B l :x =t 3．设椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ． 评卷人
得分
三、解答题
4．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆
O 的两条切线，切点分别为,A B ．
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点
P ，使得90APB ∠=o ，求椭圆离心率e 的取值范围；
（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：222
2
a b ON
OM
+
为定
值．
5．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23
，椭圆的左、右两个顶点分
别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，
M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．
6． 如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴AB 长为4，离心率32e =，O
为坐标原点，过B 的直线l 与
x 轴垂直．P 是椭圆上异于
A 、
B 的任意一点，
PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点
M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的
圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．
7．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线；
(Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（汇编北京，21）
A
B x
y
M N
Q
P
H l
O
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．D 抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为
021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。

第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
2． 2
12
e ≤< 3． 评卷人
得分
三、解答题
4．（本小题共16分）
已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=o
，求椭圆离心 率e 的取值范围；
（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
222
2
a b ON
OM
+
为定值．
18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222
x y b +=， ∴ b c =，∴ 2222b a c c =-=， ∴ 222a c =，∴2
2
e =
． ……… 5分 （ⅱ）由90APB ∠=o 及圆的性质，可得2OP b =， ∴2
222,OP b a =≤∴222a c ≤
∴21
2
e ≥
，212e ≤<． ……… 10分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则
011011
y y x
x x y -=--整理得220011x x y y x y +=+
22211x y b +=Q ∴PA 方程为：211x x y y b +=，
PB 方程为：222x x y y b +=．∴11x x y y +=22x x y y +，
∴
021
210
x y y x x y -=--,
直线AB 方程为 ()0
110
x y y x x y -=-
-，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2
b OM x x ==，
∴
2222
22222002
2
4
42a y b x a b a b a b b b
ON OM ++
===， ∴2
2
22
a b ON OM
+为定值，定值是2
2a b ……… 16分
5．解：（1）由题意：
42,2
3==a a c 可得：1,3,2222=-===c a b c a ， 故所求椭圆方程为：=+22
4
y x 1 ………………………3分 （2）易得A 的坐标(－2，0)，B 的坐标(2,0)，M 的坐标)24,(2
t t -，N 的坐标)2
4,(2
t t --，
线段AM 的中点P )4
4,22(2
t t --， 直线AM 的斜率
t t t t k +-=
+-=
22212242
1 ………………………………………5分
又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率
t t
k -+-=222
2
∴直线1PC 的方程44)22(2222
t t x t t y -+
---+-=，
∴1C 的坐标为)0,863(
-t 同理2C 的坐标为)
0,86
3(+t (8)
分
∴
23
21=
C C ,即无论t 如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.……………
11分
（2）圆1C 的半径为
1AC 8103+=
t ，圆2C 的半径为83102t
BC -=
，
则
)
1009(32
22
2
2
1+=
+=t BC AC S π
ππ （2-＜t ＜2）
显然t 0=时，S 最小，825min π
=
S . ……………
15分 6．
7．（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠
0），可求得重心G （3,31c
b +），外心F （
c b c b 2,2122-+），垂心H （b ，
c
b b 2
-）. 当b =
21时，G 、F 、H 三点的横坐标均为2
1
，故三点共线； 当b ≠
2
1
时，设G 、H 所在直线的斜率为k G H ，F 、G 所在直线的斜率为k F G . 因为)21(333
13222b c b b c b b c b b c k GH
--+=-+--
=，
)21(332
131232222b c b b c b c b c b c k FG
--+=-+-+-
=，
所以，k G H =k F G ，G 、F 、H 三点共线. 综上可得，G 、F 、H 三点共线.
(Ⅱ）解：若FH ∥OB ，由k F H =)
21(3322b c b
b c --+=0，得
3（b 2－b ）+c 2=0（c ≠0，b ≠
2
1
）， 配方得3（b －
21）2+c 2=4
3
，即 1)2
3()21()21
(22
22=+-c b .
即22
22)2
3()21()21(y x +-=1（x ≠21，y ≠0）.
因此，顶点C 的轨迹是中心在（
21，0），长半轴长为23，短半轴长为2
1
，且短
轴在
x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（
21，23），（2
1
，－23）四点.
评述：第（Ⅰ）问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题：三角形的重心、外心、垂心三心共线（欧拉线）且背景深刻，是有研究意义的题目.。