2019高考数学大一轮复习 4.8三角函数模型及解三角形应用举例课件 理 苏教版 共110页

4.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知， 理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题 的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关 单位问题、近似计算的要求等.
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
思维点拨
解析
思维升华
在△BCD 中，由正弦定理，得sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD，
∴sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD＝10t1·s0in 31t20°＝12.
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
数学 苏（理）
§4.8
第四章 三角函数、解三角形
三角函数模型及解三角形 应用举例
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
在生活中的应用

在建筑学中的应用 1.三角函数模型的简单应用在航海中的应用
在物理学中的应用
2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、 航海问题、物理问题等.
塔高.
到测试点的距离最短时， 仰角才最大，这是因为 tan∠AEB＝AB ，
BE
例1 (2)某人在塔的正东沿着
思维点拨
解析
思维升华
南偏西60°的方向前进40米后， AB为定值，BE最小时，
望见塔在东北方向，若沿途测 仰角最大.要求塔高AB，
得塔顶的最大仰角为30°，求 必须先求BE，而要求BE，
塔高.
21 14 .
题型一 测量距离、高度问题
例1 (1)(2019·四川)如图，从气球A上测得
正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为
67°，30°，此时气球的高是46 m，则
河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确
到个位.参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，
需先求BD(或BC).
例1 (2)某人在塔的正东沿着
思维点拨
解析
思维升华
解 如图所示，某人在C处，
南偏西60°的方向前进40米后， AB为塔高，
望见塔在东北方向，若沿途测
得塔顶的最大仰角为30°，求
塔高.
他沿CD前进，CD＝40， 此时∠DBF＝45°，
例1 (2)某人在塔的正东沿着 南偏西60°的方向前进40米后， 望见塔在东北方向，若沿途测 得塔顶的最大仰角为30°，求 塔高.
跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度， 在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别 测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点 间的距离为60 m，则树的高度为_3_0_＋__3_0__3_m.
∴树的高度为 PB·sin 45°＝30(
6＋
2)×
2 2
＝(30＋30 3)m.
(2)(2019·江苏)如图，游客从某旅游景区的
景点A处下山至C处有两种路径.一种是从
A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后
从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿
AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A
乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设
缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260
3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°， 北偏西45°等. (3)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点 的方位角为α(如图②). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， 3 ≈1.73)
思维点拨
解析
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思维点拨
解析
利用正弦定理解△ABC.
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解析
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根据已知的图形可得 AB＝sin4667°. 在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°， 由正弦定理，得sinAB30°＝sinBC37°， 所以 BC≈2×04.962×0.60＝60(m). 答案 60
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯 角没有区别.( × ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α， β的关系不能确定.( × ) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.( × )
才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t(海里)，BD＝10t(海里)，
在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2·cos 120°＝6.
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解析
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∴BC＝ 6(海里).
又∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC， ∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝2·sin 6120°＝ 22， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
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解析
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这类实际应用题，实质就是解三角形问题，
一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解
题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题
转化为三角形问题去求解.在测量高度时，要正确理解仰
角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、
平面几何和立体几何等知识.
例1 (2)某人在塔的正东沿着
行的速度应控制在1 42350，61245(单位：m/min)范围内.
题型二 测量角度问题
例2 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，
距A处( 3－1)海里的B处有一艘走私船.在A处
北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉
私船奉命以10 3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正
－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20 7.
由正弦定理，得
sin∠ACB＝BACB·sin∠BAC＝
21 7.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
故 cos∠ACB＝277.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
30°＝
塔高.
在Rt△ABE中， ∠AEB＝30°，
例1 (2)某人在塔的正东沿着 南偏西60°的方向前进40米后， 望见塔在东北方向，若沿途测 得塔顶的最大仰角为30°，求 塔高.
思维点拨
解析
思维升华
∴AB＝BEtan 30°
＝130(3－ 3)(米). 故所求的塔高为130 (3－ 3)米.
例1 (2)某人在塔的正东沿着
思维点拨
解析
思维升华
这类实际应用题，实质就
南偏西60°的方向前进40米后， 是解三角形问题，一般都
望见塔在东北方向，若沿途测 离不开正弦定理和余弦定
得塔顶的最大仰角为30°，求 塔高.
理，在解题中，首先要正 确地画出符合题意的示意 图，然后将问题转化为三
角形问题去求解.
例1 (2)某人在塔的正东沿着
＝ 22× 23－ 22×21＝
6－ 4
2 ，
由正弦定理得sinPB30°＝sinAB15°，
跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度， 在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别 测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点 间的距离为60 m，则树的高度为_________m.
∴PB＝ 126×－602＝30( 6＋ 2)， 4
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°， ∠APB＝15°，AB＝60， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°
跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度， 在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别 测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点 间的距离为60 m，则树的高度为_________m.
思维点拨
解析
南偏西60°的方向前进40米后，
望见塔在东北方向，若沿途测
得塔顶的最大仰角为30°，求
塔பைடு நூலகம்.
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例1 (2)某人在塔的正东沿着
思维点拨
解析
依题意画图，
思维升华
南偏西60°的方向前进40米后，
某人在C处， AB为塔高，
望见塔在东北方向，若沿途测 他沿CD前进，CD＝40米，
此时∠DBF＝45°，从C到 得塔顶的最大仰角为30°，求 D沿途测塔的仰角，只有B
①求索道AB的长；
由正弦定理siAnBC＝sAinCB，得 AB＝sAinCB×sin C＝1 62360×45＝1 040(m).
65 所以索道AB的长为1 040 m.
②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
解 假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行 走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1123 ＝200(37t2－70t＋50)，
m，经测量cos1A2＝ ，cos 3C＝ .
13
5
①求索道AB的长；
解 ①在△ABC 中，因为 cos A＝1123，cos C＝35， 所以 sin A＝153，sin C＝45. 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝153×35＋1123×54＝6635.
以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉
私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
思维点拨
解析
思维升华
思维点拨
解析
思维升华
设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形， 先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.
思维点拨
解析
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，
65 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走
710 m才能到达C.
③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行 的速度应控制在什么范围内？ 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得－3≤5v00－75100≤3，
解得1 42350≤v≤61245， 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步
∴BD＝4s0insi1n3350°°＝20 2(米). ∵∠BDE＝180°－135° －30°＝15°.
∴在Rt△BED中，
例1 (2)某人在塔的正东沿着 南偏西60°的方向前进40米后， 望见塔在东北方向，若沿途测
思维点拨
解析
思维升华
BE＝DBsin 15°
＝20
2×
6－ 4
2
得塔顶的最大仰角为30°，求 ＝10( 3－1)(米).
思维点拨
解析
思维升华
过 点 B 作 BE⊥CD 于 E ， 则∠AEB＝30°， 在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30°， ∠DBC＝135°，由正弦
定理，得
例1 (2)某人在塔的正东沿着 南偏西60°的方向前进40米后，
思维点拨
解析
思维升华
sin∠CDDBC＝sin∠BDBCD，
望见塔在东北方向，若沿途测 得塔顶的最大仰角为30°，求 塔高.
思维点拨
解析
思维升华
南偏西60°的方向前进40米后， 望见塔在东北方向，若沿途测 得塔顶的最大仰角为30°，求 塔高.
在测量高度时，要正确 理解仰角、俯角的概念， 画出准确的示意图，注 意综合应用方程、平面 几何和立体几何等知识.
跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度， 在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别 测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点 间的距离为60 m，则树的高度为_________m.
(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为 3 ，设α为坡角，那么
cos α＝3.( × )
4
4
(5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ
进行计算.( √ )
题号
1 2 3 4
答案
130° π 2
3或 2 3 21 14
解析
在△ABC中，AB＝40，AC＝20，
∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2
②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
由于 0≤t≤1103400，即 0≤t≤8， 故当 t＝3357 min 时，甲、乙两游客距离最短.
③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行
的速度应控制在什么范围内？
解 ③由正弦定理sBinCA＝sAinCB， 得 BC＝sAinCB×sin A＝1 62360×153＝500(m).