教科版选修3-5 第4章 4-5 实物粒子的波粒二象性 不确定关系

4 实物粒子的波粒二象性
5 不确定关系
[学习目标] 1.了解德布罗意物质波假说的内容，知道德布罗意波的波长和粒子动量的关系.2.知道粒子和光一样具有波粒二象性，了解电子波动性的实验验证.3.初步了解不确定关系的内容，感受数学工具在物理学发展过程中的作用．
一、实物粒子的波动性 1．德布罗意波
(1)定义：任何运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与它相对应，这种波叫物质波，又叫德布罗意波．
(2)德布罗意波的波长、频率的计算公式为λ＝h p ，ν＝E
h
.
(3)我们之所以看不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体的动量太大，德布罗意波的波长太小． 2．电子波动性的实验验证
(1)实验探究思路：干涉、衍射是波特有的现象，如果实物粒子具有波动性，则在一定条件下，也应该发生干涉或衍射现象．
(2)实验验证：1926年戴维孙观察到了电子衍射图样，证实了电子的波动性． (3)汤姆孙做电子束穿过多晶薄膜的衍射实验，也证实了电子的波动性． 二、氢原子中的电子云
1．定义：用点的多少表示的电子出现的概率分布．
2．电子的分布：某一空间范围内电子出现概率大的地方点多，电子出现概率小的地方点少．电子云反映了原子核外的电子位置的不确定性，说明电子对应的波也是一种概率波． 三、不确定关系
1．定义：在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时测定的，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定关系．
2．表达式：Δx·Δp x≥
h
4π
.其中以Δx表示粒子位置的不确定量，以Δp x表示粒子在x方向上的动量的
不确定量，h是普朗克常量．
3．不确定关系在微观世界与宏观世界中的不同作用
在微观世界里，由于粒子的波动性比较显著，粒子的不确定关系表现比较明显，但在宏观世界里，由于其德布罗意波的波长非常小，宏观粒子的波动性根本无法察觉，所以宏观物体的不确定关系不需要考虑． [即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)一切宏观物体都伴随一种波，即德布罗意波．( × ) (2)湖面上的水波就是德布罗意波．( × )
(3)电子的衍射现象证实了实物粒子具有波动性．( √ ) (4)微观粒子的动量和位置不可同时确定．( √ )
(5)微观粒子同时具有确定的位置和动量在将来可以用实验验证．( × ) (6)不确定关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于宏观物体．( √ )
2．质量为1000kg 的小汽车以v ＝40m/s 的速度在高速公路上行驶，则估算小汽车的德布罗意波的波长为______．(h ＝6.63×10－34
J·s)
答案 1.66×10
－38
m
解析 小汽车的动量p ＝mv ＝4×104
kg·m/s 小汽车的德布罗意波的波长λ＝h p
≈1.66×10－38
m.
一、对物质波的理解 [导学探究]
1．如图1是电子束通过铝箔后的衍射图样，结合图样及课本内容回答下列问题：
图1
(1)德布罗意提出“实物粒子也具有波动性”假设的理论基础是什么？
(2)电子束穿过铝箔的衍射图样说明了什么？
答案(1)普朗克能量子假说和爱因斯坦光子理论．
(2)电子束具有波动性．
2．德布罗意认为任何运动着的物体均具有波动性，可是我们观察运动着的汽车，并未感觉到它的波动性，你如何理解该问题？谈谈自己的认识．
答案波粒二象性是微观粒子的特殊规律，一切微观粒子都存在波动性，宏观物体(汽车)也存在波动性，只是因为宏观物体质量大，动量大，波长短，难以观测．
[知识深化]
1．任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的物质波的波长太小．
2．物质波是一种概率波，粒子在空间各处出现的概率受波动规律支配，不能以宏观观点中的波来理解德布罗意波．
3．德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，使之包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．
例1 (多选)关于物质波，下列认识中正确的是( )
A．任何运动的物体(质点)都伴随一种波，这种波叫物质波
B．X射线的衍射实验，证实了物质波假设是正确的
C．电子的衍射实验，证实了物质波假设是正确的
D．宏观物体尽管可以看做物质波，但它们不具有干涉、衍射等现象
答案AC
解析据德布罗意物质波理论知，任何一个运动的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波
与之相对应，这种波就叫物质波，A 选项正确；由于X 射线本身就是一种波，而不是实物粒子，故X 射线的衍射现象并不能证实物质波理论的正确性，即B 选项错误；电子是一种实物粒子，电子的衍射现象表明运动着的实物粒子具有波动性，故C 选项正确；由电子穿过铝箔的衍射实验知，少量电子穿过铝箔后所落位置是散乱的，无规律的，但大量电子穿过铝箔后所落的位置则呈现出衍射图样，即大量电子的行为表现出电子的波动性，干涉、衍射是波的特有现象，只要是波，都会发生干涉、衍射现象，故选项D 错误． 例2 任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与之对应，波长λ＝h
p ，
式中p 是运动物体的动量，h 是普朗克常量，人们把这种波叫做德布罗意波．现有一个德布罗意波的波长为λ1的物体1和一个德布罗意波的波长为λ2的物体2，二者相向碰撞后粘在一起，已知|p 1|<|p 2|，则粘在一起的物体的德布罗意波的波长为多少？ 答案
λ1λ2
λ1－λ2
解析 以物体2碰前速度的方向为正方向，由动量守恒定律p 2－p 1＝(m 1＋m 2)v 及p ＝h λ，得h λ2－h λ1＝h
λ，
所以λ＝λ1λ2
λ1－λ2
.
物体德布罗意波的波长的计算
1．首先计算物体的速度，再计算其动量．如果知道物体动能也可以直接用p ＝2mE k 计算其动量． 2．再根据λ＝h
p
计算德布罗意波的波长．
3．需要注意：德布罗意波的波长一般都很短，比一般的光波波长还要短，可以根据结果的数量级大致判断计算结果是否合理． 二、不确定关系 [导学探究]
1．如果光子是经典的粒子，它在从光源飞出后应该做匀速直线运动，它在屏上的落点应该在缝的投影之内，即屏上亮条纹宽度与缝宽相同．但是实际上，它到达屏上的位置超出了单缝投影的范围，形成了中间宽、两侧窄、明暗相间的衍射条纹，如图2所示．
微观粒子的运动是否遵循牛顿运动定律？能否用经典物理学的方法准确确定粒子到达屏上的位置和动量？
图2
答案按照牛顿运动定律，如果光子是经典的粒子，它在运动过程中不受力，光子应该做匀速直线运动．而由光的衍射可知，光子运动并不遵从牛顿运动定律，即对于微观粒子的运动，不能用经典物理学的方法确定其位置及动量．
2．单缝衍射时，屏上各点的亮度反映了粒子到达这点的概率．图3是粒子到达屏上的概率在坐标系中的表示．
图3
(1)如果狭缝变窄，粒子的衍射图样中，中央亮条纹变宽．这说明当粒子的位置不确定量减小时，动量的不确定量如何变化？
(2)通过狭缝后，单个粒子的运动情况能否预知？粒子出现在屏上的位置遵循什么规律？
(3)粒子位置的不确定量Δx与动量的不确定量Δp x有什么关系？
答案(1)变大(2)不能粒子出现在屏上的位置遵循统计规律
(3)遵循不确定关系：ΔxΔp x≥h
4π
[知识深化]
1．粒子位置的不确定：单缝衍射现象中，入射的粒子有确定的动量，但它们经过狭缝后可以处于任何位置，也就是说，粒子的位置是完全不确定的．
2．粒子动量的不确定
(1)微观粒子具有波动性，会发生衍射．大部分粒子到达狭缝之前沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置以外．这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量．
(2)由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量．
3．位置和动量的不确定关系：Δx·Δp x≥
h
4π
.
由Δx·Δp x≥h
4π
可以知道，在微观领域，要准确地确定粒子的位置，动量的不确定性就更大；反之，要准确地确定粒子的动量，那么位置的不确定性就更大．
4．微观粒子的位置和动量是不能同时被确定的，这也就决定了不能用“轨迹”的观点来描述粒子的运动．
例3 (多选)根据不确定关系Δx·Δp x≥h
4π
，判断下列说法正确的是( )
A．采取办法提高测量Δx精度时，Δp x的精度下降
B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp x的精度上升
C．Δx与Δp x的测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关
D．Δx与Δp x的测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关
答案AD
解析不确定关系表明，无论采用什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定关系所给出的限度．故A、D正确．
例4 已知h
4π
＝5.3×10－35J·s，试求下列情况中速度测定的不确定量，并根据计算结果，讨论在宏观和微观世界中进行测量的不同情况．
(1)一个球的质量m＝1.0kg，测定其位置的不确定量为10－6m.
(2)电子的质量m e＝9.0×10－31kg，测定其位置的不确定量为10－10m.
答案见解析
解析(1)m＝1.0kg，
Δx1＝10－6m，
由ΔxΔp x≥h
4π
，Δp x＝mΔv知
Δv 1＝h 4πΔx 1m ＝5.3×10－35
10－6×1.0
m/s ＝5.3×10－29
m/s
这个速度不确定量在宏观世界中微不足道，可认为球的速度是确定的，其运动遵从经典的物理学理论． (2)m e ＝9.0×10
－31
kg ，Δx 2＝10
－10
m
Δv 2＝h 4πΔx 2m e ＝ 5.3×10－35
10－10×9.0×10
－31m/s≈5.89×105
m/s.
这个速度不确定量不可忽略，不能认为原子中的电子具有确定的速度，其运动不能用经典物理学理论处理．
理解不确定关系时应注意的问题
1．对球这样的宏观物体，不确定量是微不足道的，对测量准确性没有任何限制，但对微观粒子却是不可忽略的．
2．在微观世界中，粒子质量较小，不能同时精确地测出粒子的位置和动量，也就不能准确地把握粒子的运动状态．
1．(对物质波的理解)下列说法中正确的是( )
A ．物质波属于机械波
B ．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性
C ．德布罗意认为任何一个运动的物体，小到电子、质子、中子，大到行星、太阳都有一种波与之相对应，这种波叫物质波
D ．宏观物体运动时，看不到它的衍射和干涉现象，所以宏观物体运动时不具有波动性 答案 C
解析 任何一个运动的物体都具有波动性，但因为宏观物体的德布罗意波的波长很短，所以很难看到它的衍射和干涉现象，所以C 项对，B 、D 项错；物质波不同于宏观意义上的波，故A 项错．
2．(物质波公式的应用)如果一个电子的德布罗意波的波长和一个中子的相等，则下列物理量中相等的是( )
A ．速度
B ．动能
C ．动量
D ．总能量 答案 C
解析 根据德布罗意波的波长公式λ＝h
p ，可得其动量相等，故选C.
3．(对不确定关系的理解)(多选)关于不确定关系Δx·Δp x ≥h
4π
有以下几种理解，正确的是( ) A ．微观粒子的动量不可确定 B ．微观粒子的位置坐标不可确定 C ．微观粒子的动量和位置不可能同时确定
D ．不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子 答案 CD
4．(不确定关系式的计算)质量为10g 的子弹与电子的速率相同，均为500m/s ，测量准确度为0.01%，若位置和速率在同一实验中同时测量，试问它们位置的最小不确定量各为多少？(普朗克常量h ＝6.63×10
－
34
J ·s，电子质量为m ＝9.1×10
－31
kg ，结果保留三位有效数字)
答案 1.06×10－31
m 1.15×10－3
m
解析 由题意知，子弹、电子的速度不确定量为Δv＝0.05m/s ，子弹的动量的不确定量Δp x1＝5×10
－
4
kg·m/s，电子动量的不确定量Δp x2≈4.6×10
－32
kg·m/s，由Δx≥h
4πΔp x
，子弹位置的最小不确定量Δx 1
＝ 6.63×10－34
4×3.14×5×10－4m ≈1.06×10－31m ，电子位置的最小不确定量Δx 2＝ 6.63×10－34
4×3.14×4.6×10
－32m ≈1.15×10－
3
m.
考点一 物质波
1．关于物质波，下列说法正确的是( ) A ．速度相等的电子和质子，电子的波长长 B ．动能相等的电子和质子，电子的波长短 C ．动量相等的电子和中子，中子的波长短
D ．如果甲、乙两电子的速度都远小于光速，甲电子速度是乙电子的3倍，则甲电子的波长也是乙电子的3倍 答案 A
解析 由λ＝h
p 可知，动量大的波长短．电子与质子的速度相等时，电子动量小，波长长．电子与质子动
能相等时，由动量与动能的关系式p ＝2mE k 可知，电子的动量小，波长长．动量相等的电子和中子，其波长应相等．如果甲、乙两电子的速度远都小于光速，甲的速度是乙的三倍，甲的动量也是乙的三倍，则甲的波长应是乙的1
3
.
2．(多选)频率为ν的光子，德布罗意波的波长为λ＝h
p ，能量为E ，则光的速度为( )
A.Eλh B ．pEC.E p D.h 2
Ep
答案 AC
解析 根据c ＝λν，E ＝hν，λ＝h p ，即可解得光的速度为Eλh 或E p .
3．(多选)为了观察晶体的原子排列，可以采用下列方法：
①用分辨率比光学显微镜更高的电子显微镜成像(由于电子的物质波的波长很短，能防止发生明显衍射现象，因此电子显微镜的分辨率高)；
②利用X 射线或中子束得到晶体的衍射图样，进而分析出晶体的原子排列． 则下列分析中正确的是( )
A ．电子显微镜所利用的是电子的物质波的波长比原子尺寸小得多
B ．电子显微镜中电子束运动的速度应很小
C ．要获得晶体的X 射线衍射图样，X 射线波长要远小于原子的尺寸
D ．中子的物质波的波长可以与原子尺寸相当 答案 AD
解析 由题目所给信息“电子的物质波的波长很短，能防止发生明显衍射现象”及发生明显衍射现象的条件可知，电子的物质波的波长比原子尺寸小得多，它的动量应很大，即速度应很大，A 正确，B 错误；由信息“利用X 射线或中子束得到晶体的衍射图样”及发生明显衍射现象的条件可知，中子的物质波或X 射线的波长与原子尺寸相当，C 错误，D 正确．
4．2002年诺贝尔物理学奖中的一项是奖励美国科学家贾科尼和日本科学家小柴昌俊发现了宇宙X 射线源．X 射线是一种高频电磁波，若X 射线在真空中的波长为λ，以h 表示普朗克常量，c 表示真空中的光速，以ε和p 分别表示X 射线每个光子的能量和动量，则( ) A ．ε＝hλ
c ，p ＝0
B ．ε＝hλc ，p ＝hλ
c 2
C ．ε＝hc
λ，p ＝0
D ．ε＝hc λ，p ＝h
λ
答案 D
解析 根据ε＝hν，λ＝h p ，c ＝λν可得X 射线每个光子的能量为ε＝hc λ，每个光子的动量为p ＝h
λ.
5．利用金属晶格(大小约10
－10
m)作为障碍物观察电子的衍射图样，方法是使电子通过电场加速后，让电子
束照射到金属晶格上，从而得到电子的衍射图样．已知电子质量为m ，电荷量的绝对值为e ，初速度为0，加速电压为U ，普朗克常量为h ，则下列说法中不正确的是( ) A ．该实验说明了电子具有波动性
B ．实验中电子束的德布罗意波的波长为λ＝
h 2meU
C ．加速电压U 越大，电子的衍射现象越不明显
D ．若用相同动能的质子替代电子，衍射现象将更加明显 答案 D
解析 实验得到了电子的衍射图样，说明电子这种实物粒子发生了衍射，即电子具有波动性，故A 正确；由动能定理可得，eU ＝12
mv 2
－0，电子加速后的速度v ＝
2eU m ，电子德布罗意波的波长λ＝h p ＝h
mv
＝h m
2eU m
＝
h
2meU ，故B 正确；由电子的德布罗意波的波长公式λ＝h
2meU
可知，加速电压U 越大，电子德布罗意波的波长越短，衍射现象越不明显，故C 正确；物体动能与动量的关系是p ＝2mE k ，由于质子的质量远大于电子的质量，所以动能相同的质子的动量远大于电子的动量，由λ＝h
p 可知，相同动能的质子的德布罗
意波的波长远小于电子德布罗意波的波长，波长越小，衍射现象越不明显，因此用相同动能的质子代替电子，衍射现象将更不明显，故D 错误． 考点二 氢原子中的电子云
6．(多选)电子的运动受波动性的支配，对于氢原子的核外电子，下列说法正确的是( ) A ．氢原子的核外电子可以用确定的坐标描述它们在原子中的位置 B ．电子绕核运动时，可以运用牛顿运动定律确定它的轨道 C ．电子绕核运动的“轨道”其实是没有意义的 D ．电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置 答案 CD
解析 微观粒子的波动性是一种概率波，对于微观粒子的运动，牛顿运动定律已经不适用了，所以氢原子的核外电子不能用确定的坐标描述它们在原子中的位置，电子的“轨道”其实是没有意义的，电子轨道只不过是电子出现的概率比较大的位置，综上所述，C 、D 正确． 7．关于电子的运动规律，以下说法正确的是( )
A ．电子如果不表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循牛顿运动定律
B ．电子如果不表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循波动规律
C ．电子如果表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，空间分布的概率遵循波动规律
D ．电子如果表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循牛顿运动定律 答案 C
解析 电子的波动性属于概率波，少量电子表现出粒子性，不遵循牛顿运动定律，无法用轨迹描述其运动，A 、B 错．大量电子表现出波动性，无法用轨迹描述其运动，可确定电子在某点附近出现的概率，且其遵循波动规律，C 对，D 错．
考点三不确定关系的理解
8．(多选)下列各种说法中正确的有( )
A．普朗克在研究黑体的热辐射问题中提出了能量子假说
B．一束光照射到某种金属上不能发生光电效应，是因为该束光的照射时间太短
C．在光的单缝衍射实验中，狭缝越窄，光子动量的不确定量越大
D．任何一个运动物体，大到太阳、地球，小到电子、质子，都与一种波相对应，这就是物质波．物质波是概率波
答案ACD
解析普朗克在研究黑体的热辐射问题中提出了能量子假说，故A正确；一束光照射到某种金属上不能发生光电效应，是因为该束光的频率小于截止频率，故B错误；光的单缝衍射实验中，狭缝越窄，光子动量的不确定量越大，故C正确；任何一个运动物体，大到太阳、地球，小到电子、质子，都与一种波相对应，这就是物质波，物质波是概率波，故D正确．
9．(多选)以下说法正确的是( )
A．微观粒子不能用“轨道”观点来描述粒子的运动
B．微观粒子能用“轨道”观点来描述粒子的运动
C．微观粒子位置不能精确确定
D．微观粒子位置能精确确定
答案AC
解析微观粒子的动量和位置是不能同时精确确定的，这也就决定不能用“轨道”的观点来描述粒子的运动(轨道上运动的粒子在某时刻具有确定的位置和动量)，故A正确，B错误．由微观粒子的波粒二象性可知微观粒子位置不能精确确定，故C正确，D错误．
10．从衍射的规律可以知道，狭缝越窄，屏上中央亮条纹就越宽，由不确定关系ΔxΔp x≥h
4π
，判断下列说法正确的是( )
A．入射的粒子有确定的动量，射到屏上粒子就有准确的位置
B．狭缝的宽度变小了，因此粒子的动量的不确定量也变小了
C．更窄的狭缝可以更准确地测得粒子的位置，但粒子动量的不确定量却更大了
D．可以同时确定粒子的位置和动量
答案 C
解析由ΔxΔp x≥h
4π
知，狭缝变窄了，即Δx减小了，Δp x变大，即动量的不确定量变大，故C正确，A、B、D错误．。