高中数学 2.3平面向量基本定理及坐标表示课件2 新人教
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= 2i 3 j∴
r a
=(2,3)
c
-2
-3
d
-4
-5
r
r
ur
同理， b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
2.3.3平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
说明
uv uuv
1.我们把不共线向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底，记为｛euv1，euuv2｝。a1euv1
+
a2
uuv e2 叫做向量关于基底的分解式。
uv uuv
2.v定理中，e1 ，e2 是两不共线向量。 3.a 是平面内的任一向量，且实数对 a1、a2 是惟一的。
4.平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底。
向量加法与减法
实数与向量的积
向量坐标与表示向量的有向 线段的起点、终点的坐标之 间的关系
向量的夹角:
使两个向量的起点重合. [0, ] (1)当 0时, a与b _同__向_; (2)当 时, a与b _反_向__; (3)当 时, a与b _垂_直__ . 记作 a⊥b
2
新课
引例 如图,光滑斜面上一个木块受到重力 G的作用.
O
F1 F2
G
一.向量正交分解的概念:
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y)
那么i =(1 , 0) j = (0, 1) 0 = (0,0)
概念理解
1．以原点O为起点作 OA = a，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ A(x, y)a
两者相同
ja
向量a 一 一 对 应坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？
a b x1 x2且y1 y2
形成练习
1.如图，用基底
r i
r 、j
分r别表r 示r向ur量
a 、b 、c、d
并求出
a
3
2
A
A1
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3 4 x
-1
解r：由图可知
a=AAr 1+ArA2
解：设顶点D的坐标为（x，y）
AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
小结:
1.向量坐标的定义;
2.两个向量相等的条件;
3.平面向量的坐 标运算
解： AB = OB - OA
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
思考: 你能在图中标出坐标为( x2 x1, y2 y1 )的P点吗?
平面向量基本定理及坐标表示
观察归纳，引发猜测
C N
uuv e2
uv F A e1 M
E B
D
引导发现，探究新知
探究1
分层探究
给定一个向量是否一定可以 用两个已知向量表示?
B
uuv
e2
A
uv e1
探究2
将给定向量a 分解为与e1、e2 平行的两个向量
v
uv e1
a
uuv e2
M
Ca
e1 A
O
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2、 已知a = (x, y)和实数λ,求λa的坐标
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的 向量的相应坐标．
2．已知A(x1, y1 )，B(x2 , y2 )．求 AB
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点
思 考
都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对 直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?
二.平面向量的坐标表示 y
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单
a
位向量i 、j 作为基底,则任一向量 j
a ，用这组基底可表示为
Oi
x
有且只有一对实数x、y，使得
a =xi + yj．
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），
求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
探究3
uuv
3e2
uuv
uuv
e2 uv
uv 2e1
3e2
uv
4e1
uuv 3e2
uv
uuv e1
e1
4e2
uv 3e1
平面向量基本定理
uv uuv
如果 e1 和e2 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内
v 任一向量 a
v ，存在惟一的一对实数 a1 、a2 ,使a
uv = a1e1
uuv +a2 e2
B e2 N
点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一
由平行向量基本定理,有且只有一个实数a1,使得OuuMuur
uv = a1e1 成立,
同理 a2 也惟一,即一组数 a1 a2 唯一确定。
uv uuv
如果 e1 和e2 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内
v
v uv uuv
给定的向量 a 存在惟一的一对实数 a1 、a2 ,使a = a1 e1+ a2 e2
r a
=(2,3)
c
-2
-3
d
-4
-5
r
r
ur
同理， b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
2.3.3平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
说明
uv uuv
1.我们把不共线向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底，记为｛euv1，euuv2｝。a1euv1
+
a2
uuv e2 叫做向量关于基底的分解式。
uv uuv
2.v定理中，e1 ，e2 是两不共线向量。 3.a 是平面内的任一向量，且实数对 a1、a2 是惟一的。
4.平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底。
向量加法与减法
实数与向量的积
向量坐标与表示向量的有向 线段的起点、终点的坐标之 间的关系
向量的夹角:
使两个向量的起点重合. [0, ] (1)当 0时, a与b _同__向_; (2)当 时, a与b _反_向__; (3)当 时, a与b _垂_直__ . 记作 a⊥b
2
新课
引例 如图,光滑斜面上一个木块受到重力 G的作用.
O
F1 F2
G
一.向量正交分解的概念:
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y)
那么i =(1 , 0) j = (0, 1) 0 = (0,0)
概念理解
1．以原点O为起点作 OA = a，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ A(x, y)a
两者相同
ja
向量a 一 一 对 应坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？
a b x1 x2且y1 y2
形成练习
1.如图，用基底
r i
r 、j
分r别表r 示r向ur量
a 、b 、c、d
并求出
a
3
2
A
A1
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3 4 x
-1
解r：由图可知
a=AAr 1+ArA2
解：设顶点D的坐标为（x，y）
AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
小结:
1.向量坐标的定义;
2.两个向量相等的条件;
3.平面向量的坐 标运算
解： AB = OB - OA
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
思考: 你能在图中标出坐标为( x2 x1, y2 y1 )的P点吗?
平面向量基本定理及坐标表示
观察归纳，引发猜测
C N
uuv e2
uv F A e1 M
E B
D
引导发现，探究新知
探究1
分层探究
给定一个向量是否一定可以 用两个已知向量表示?
B
uuv
e2
A
uv e1
探究2
将给定向量a 分解为与e1、e2 平行的两个向量
v
uv e1
a
uuv e2
M
Ca
e1 A
O
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2、 已知a = (x, y)和实数λ,求λa的坐标
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的 向量的相应坐标．
2．已知A(x1, y1 )，B(x2 , y2 )．求 AB
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点
思 考
都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对 直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?
二.平面向量的坐标表示 y
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单
a
位向量i 、j 作为基底,则任一向量 j
a ，用这组基底可表示为
Oi
x
有且只有一对实数x、y，使得
a =xi + yj．
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），
求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
探究3
uuv
3e2
uuv
uuv
e2 uv
uv 2e1
3e2
uv
4e1
uuv 3e2
uv
uuv e1
e1
4e2
uv 3e1
平面向量基本定理
uv uuv
如果 e1 和e2 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内
v 任一向量 a
v ，存在惟一的一对实数 a1 、a2 ,使a
uv = a1e1
uuv +a2 e2
B e2 N
点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一
由平行向量基本定理,有且只有一个实数a1,使得OuuMuur
uv = a1e1 成立,
同理 a2 也惟一,即一组数 a1 a2 唯一确定。
uv uuv
如果 e1 和e2 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内
v
v uv uuv
给定的向量 a 存在惟一的一对实数 a1 、a2 ,使a = a1 e1+ a2 e2