证券均值方差模型,资本资产定价模型,套利定价模型

证券组合分析
第一节均值方差模型
一、单个证券的收益和风险
（一）收益及其度量
任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率的计算公式为：
投资期限一般用年来表示；如果期限不是整数，则转换为年。

在股票投资中，投资收益等于期内股票红利收益和价差收益之和，其收益率（r）的计算公式为：
通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。

我们可假定收益率服从某种概率分布，即已知每一收益率出现的概率，可用表11-1表示如下：
数学中求期望收益率或收益率平均数[E（r）]的公式如下：
例11-1：假定证券A的收益率分布如下：
那么，该证券的期望收益率为：
E（r）=[（-0.4）×0.03+（-0.1）×0.07+0×0.30+0.15×0.10
+0.3×0.05+0.4×0.20+0.5×0.25]×100％
=21.60％
在实际中，我们经常使用历史数据来估计期望收益率。

假设证券的月或年实际收益率为r t（t=1，2，…，n），那么估计期望收益率（r）的计算公式为：
（二）风险及其度量
如果投资者以期望收益率为依据进行决策，那么他必须意识到他正冒着得不到期望收益率的风险。

实际收益率与期望收益率会有偏差，期望收益率是使可能的实际值与预测值的平均偏差达到最小（最优）的点估计值。

可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风险也就越大。

因而，风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。

在数学上，这种偏离程度由收益率的方差来度量。

如果偏离程度用［r i-E（r）]2来度量，则平均偏离程度被称为方差，记为σ2。

式中：P i——可能收益率发生的概率；
σ——标准差。

例11-2：假定证券A的收益率（r i）的概率分布如下：
那么，该证券的期望收益率E（r）为：
E（r）=[（-0.02）×0.20+（-0.01）×0.30+0.01×0.10+0.03×
0.40]×100％
=0.60％
该证券的方差为：
σ2（r）=（-0.02-0.006）2×0.20+（-0.01-0.006）2×0.30+（0.01 -0.006）2×0.10+（0.03-0.006）2×0.40
=0.000444.
同样，在实际中，我们也可使用历史数据来估计方差：假设证券的月或年实际收益率为r t（t=l，2，…，n），那么估计方差（S2）的公式为：
当n较大时，也可使用下述公式估计方差：
二、证券组合的收益和风险
我们用期望收益率和方差来度量单一证券的收益率和风险。

一个证券组合由一定数量的单一证券构成，每一只证券占有一定的比例，
我们也可将证券组合视为一只证券，那么，证券组合的收益率和风险也可用期望收益率和方差来度量。

不过，证券组合的期望收益率和方差可以通过由其构成的单一证券的期望收益率和方差来表达。

以下讨论两种证券的组合。

（一）两种证券组合的收益和风险
设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以x A的比例投资于证券A，以x B的比例投资于证券B，且x A+x B=1，称该投资者拥有一个证券组合P。

如果到期时，证券A的收益率为r A，证券B的收益率为r B，则证券组合P的收益率r P为：
r P=x A r A+x B r B
证券组合中的权数可以为负，比如x A<0，则表示该组合卖空了证券A，并将所得的资金连同自有资金买入证券B，因为x A+x B=1，故有x A=1-x A>1。

投资者在进行投资决策时并不知道r A和r B的确切值，因而r A、r B应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期望值和方差。

投资组合P的期望收益率E（r p）和收益率的方差σ2p为：
例11-3：已知证券组合P是由证券A和B构成，证券A和B的期望收益、标准差以及相关系数如下：
那么，组合P的期望收益为：
E（r P）=（0.10×0.30+0.05×0.70）×100％=6.5％
组合P的方差为：
σ2p=0.302×0.062+0.702×0.022+2×0.30×0.70 ×0.06×0.02 ×0.12
=0.0327
选择不同的组合权数，可以得到包含证券A和证券B的不同的证券组合，从而得到不同的期望收益率和方差。

投资者可以根据自己对收益率和方差（风险）的偏好，选择自己最满意的组合。

（二）多种证券组合的收益和风险
这里将把两个证券的组合讨论拓展到任意多个证券的情形。

设有N种证券，记作A1，A2，A3，…，A N，证券组合P=（x1,x2,x3，…，x N）表示将资金分别以权数x1，x2，
x3，…，x N，投资于证券A1，A2，A3，…，A N。

如果允许卖空，则权数可以为负，负的权数表示卖空证券占总资金的比例。

正如两种证券的投资组合情形一样，证券组合的收益率等于各单个证券的收益率的加权平均。

即：设A i的收益率为r i（i=l，2，…，N），则证券组合P=（x1，x2，x3，…，x N）的收益率为：
推导可得证券组合P的期望收益率和方差为：
由公式（11.3）和公式（11.4）可知，要估计E（r P）和σ2p，当N非常大时，计算量十分巨大。

在计算机技术尚不发达的20世纪50年代，证券组合理论不可能运用于大规模市场，只有在不同种类的资产间，如股票、债券、银行存单之间分配资金时，才可能运用这一理论。

60年代后，马柯威茨的学生威廉·夏普提出了指数模型以简化计算。

随着计算机技术的发展，已开发出计算E（r P）和σ2p的计算机运用软件，如Matlab、SPSS和Eviews等，大大方便了投资者。

三、证券组合的可行域和有效边界
（一）证券组合的可行域
1.两种证券组合的可行域。

如果用前述两个数字特征——期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点。

这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹是经过A 和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。

可见，组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A 和证券B所有可能的组合。

根据公式（11.1）和公式（11.2）及x A+x B=1，A、B的证券组合P的组合线由下述方程所确定：
给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。

（1）完全正相关下的组合线。

在完全正相关下，ρAB=1，方程（11.5）和（11.6）变为：
因为，E（r P）与x A是线性关系，而σp与x A是线性关系，所以，σp与E（r p）之间也是线性关系。

因此，证券A、B构成的组合线是连接这两点的直线（见图11-1）。

（2）完全负相关下的组合线。

在完全负相关情况下，ρAB=-l，方程（11.5）和（11.6）变为：
这时，σp，与E（r p）是分段线性关系，其组合线如图11-2。

从图11-2可以看出，在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。

这个适当比例通过令公式（11.8）中σp=0可得：
因为x A和x B均大于0，所以必须同时买入证券A和B。

这一点很容易理解，因为证券A和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。

所能得到的无风险收益率为：
（3）不相关情形下的组合线。

当证券A与B的收益率不相关时，p AB=0，方程（11.5）和（11.6）变为：
该方程确定的σp与E（r p）的曲线是一条经过A和B的双曲线，如图11-3所示。

为了得到方差最小的证券组合，对方程（11.9）求极小值：
显然有x A≥0、x B≤l。

分别以x A和x B的比例买入证券A和B，可获得最小方差即可以通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一种风险都小的证券组合。

图11-3中，C点为最小方差组合。

组合线上介于A与B之间的点代表的组合由同时买入证券A和B构成，越靠近A，买入A越多，买入B越少。

而A点的东北部曲线上的点代表的组合由卖空B、买入A形成，越向东北部移动，组合中卖空B越多；反之，B的东南部曲线上的点代表的组合由卖空A、买入B形成，越向东南部移动，组合中卖空A越多。

（4）组合线的一般情形。

现在讨论一般的情况。

在不完全相关的情形下，由于0<ρAB<1，方程（11.5）、（11.6）不会有任何简化，方程（11.5）、（11.6）在一般情形下所确定的曲线是一条双曲线。

相关系数决定结合线在A与B之间的弯曲程度。

随着ρAB的增大，弯
曲程度将降低。

当ρAB=1时，弯曲程度最小，呈直线；当ρAB=-l时，弯曲程度最大，呈折线；不相关是一种中间状态，比正完全相关弯曲
程度大，比负完全相关弯曲程度小。

从组合线的形状来看，相关系数越小，在不卖空的情况下，证券组合的风险越小，特别是负完全相关的情况下，可获得无风险组合。

在不相关的情况下，虽然得不到一个无风险组合，但可得到一个组合，其风险小于A、B中任何一个单个证券的风险。

当A与B的收益率不完全负相关时，结合线在A、B之间比不相关时更弯曲，因而能找到一些组合（不卖空）使得风险小于A和B的风险，比如图11-4中ρ
=-0.5的情形。

但图中ρAB=0.5时，得不到一个不卖空的组合使得其AB
风险小于单个证券的风险。

可见，在不卖空的情况下，组合降低风险的程度由证券间的关联程度决定。

2.多种证券组合的可行域。

在允许卖空的情况下，如果只考虑投资于两种证券A和B，投资者可以在组合线上找到自己满意的任意位置，即组合线上的组合均是可行的（合法的）。

如果不允许卖空，则投资者只能在组合线上介于A、B之间（包括A和B）获得一个组合，
因而投资组合的可行域就是组合线上的AB曲线段。

现在假设可供选择的证券有三种：A、B和C。

这时，可能的投资组合便不再局限于一条曲线上，而是坐标系中的一个区域，如图11-5所示。

在不允许卖空的情况下，A、B、C三种证券所能得到的所有合法组合将落入并填满坐标系中组合线AB、BC、AC围成的区域，该区域称为不允许卖空时证券A、B和C的证券组合可行域。

每一个合法的组合称为一个可行组合。

为什么说图11-5中的区域都是可行组合呢?区域内的每一点可以通过三种证券组合得到，比如区域内的F点可以通过证券C 与某个A与B的组合D的再组合得到。

如果允许卖空，三种证券组合的可行域不再是如图11-5所示的有限区域，而是包含该有限区域的一个无限区域（图11-6）。

一般而言，当由多种证券（不少于三种证券）构造证券组合时，
组合可行域是所有合法证券组合构成的E-σ坐标系中的一个区域，其形状如图11-7和图11-8所示。

由于求解可行域的公式具有如下形式：
因此，可行域的形状依赖于可供选择的单个证券的特征E（r i）和σi以及证券收益率之间的相互关系ρv，还依赖于投资组合中权数的约束。

可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。

图11-9左边界自W到V之间出现凹陷，由于W、V是
可行组合，W与V的组合也是可行的，而W、V的组合线或是连接W、V的直线段，或者是向外弯曲的曲线，W、V的组合作为一个可行组合却落在图中区域的右边，因而该区域不可能是一个可行域。

（二）证券组合的有效边界
证券组合的可行域表示了所有可能的证券组合，它为投资者提供了一切可行的组合投资机会，投资者需要做的是在其中选择自己最满意的证券组合进行投资。

不同的投资者对期望收益率和风险的偏好有所区别，因而他们所选择的最佳组合将有所不同。

但投资者的偏好具有某种共性，在这个共性下，某些证券组合将被所有投资者视为差的，因为按照偏好的共性，总存在比它更好的证券组合，就需要把公认为差的证券组合剔除掉。

大量事实表明，投资者普遍喜好期望收益率而厌恶风险，因而人们在投资决策时希望期望收益率越大越好，风险越小越好。

这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规则来描述：
（1）如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同的期望收益率，即σ2A=σ2B，而E（r A）≠E（r B），且E（r A）>E（r B），那么投资者选择期望收益率高的组合，即A。

（2）如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率方差，即E（r A）=E（r B），而σ2A≠σ2B，且σ2A<σ2B，那么他选择方差较小的组合，即A。

这种选择原则，我们称为投资者的共同偏好规则。

人们在所有可行的投资组合中进行选择，如果证券组合的特征由期望收益率和收益率标准差来表示，则投资者需要在E-σ坐标系的可行域中寻找最好的点，但不可能在可行域中找到一点被所有投资者都认为是最好的。

按照投资者的共同偏好规则，可以排除那些被所有投资者都认为差的组合，我们把排除后余下的这些组合称为有效证券组合。

根据有效组合的定义，有效组合不止1个，描绘在可行域的图形中，如图11-10粗实线部分，它是可行域的上边界部分，我们称它为有效边界。

对于可行域内部及下边界上的任意可行组合，均可以在有效边界上找到一个有效组合比它好。

但有效边界上的不同组合，比如B和c，按共同偏好规则不能区分优劣。

因而有效组合相当于有可能被某位投资者选作最佳组合的候选组合，不同投资者可以在有效边界上获得任一位置。

一个厌恶风险理性投资者，不会选择有效边界以外的点。

此外，A点是一个特殊的位置，它是上边界和下边界的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小，因而被称作最小方差组合。

四、最优证券组合
（一）投资者的个人偏好与无差异曲线
按照投资者的共同偏好规则，有些证券组合不能区分优劣，其根源在于投资者个人除遵循共同的偏好规则外，还有其特殊的偏好。

那些不能被共同偏好规则区分的组合，不同投资者可能得出完全不同的比较结果。

共同规则不能区分的是这样的两种证券组合A和B：σ2B<σ2A且E（r B）<E（r A）。

如图11-11，证券组合A虽然比B承担更大的风险，但它同时带来更高的期望收益率，这种期望收益率的增量可认为是对增加的风险的补偿。

由于不同投资者对期望收益率和风险的偏好不同，当风险从σ2B增加到σ2A时，期望收益率将得到补偿[E（r A）—E（r B）]。

这是否满足投资者个人的风险补偿要求因人而异，从而投资者将按照各自不同的偏好对两种组合作出不同的比较结果。

投资者甲（中庸）认为，增加的期望收益率恰好能补偿增加的风险，所以A与B两种证券组合的满意程度相同，证券组合A与证券组合B无差异。

投资者乙（保守）认为，增加的期望收益率不足以补偿增加的风险，所以A不如B更令他满意。

投资者丙（进取）认为，增加的期望收益率超过对增加风险的补偿，所以A更令人满意。

在同样风险状态下，要求得到期望收益率补偿越高，说明该投资者对风险越厌恶。

上述3位投资者中乙最厌恶风险，因而他最保守；甲次之；丙对风险厌恶程度最低，最具冒险精神。

一个特定的投资者，任意给定一个证券组合，根据他对风险的态度，可以得到一系列满意程度相同（无差异）的证券组合，这些组合恰好在E-σ坐标系上形成一条曲线，我们称这条曲线为该投资者的一条无差异曲线。

比如某个投资者认为，尽管图11-12中的证券组合A、B、C、D、E、F的收益风险各异，但是给他带来的满足程度相同，因此这6个证券组合是无差异的，选择哪一个投资都可以。

于是，用一条平滑曲线将证券组合A、B、C、D、E、F连接起来，就可近似看作为一条无差异曲线。

当这样的组合很多时，它们在平面上便形成严格意义上的无差异曲线。

不言而喻，偏好不同的投资者，他们的无差异曲线的形状也不同。

尽管如此，对于追求收益又厌恶风险的投资者而言，他们的无差异曲线都具有如下六个特点：
（1）无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线。

（2）每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面又互不相交的曲线簇。

（3）同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。

（4）不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。

（5）无差异曲线的位置越高，其上的投资组合给投资者带来的满意程度就越高。

（6）无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。

在图1l-13中，某投资者认为经过A的那一条曲线上的所有证券组合给他的满意程度均相同，因而组合B与A无差异；组合C比A、B、D所在无差异曲线上的任何组合都好，因为C所在的无差异曲线的位置高于A、B、D所在的无差异曲线。

图11-14是几个不同偏好的投资者的无差异曲线。

图（a）的投资者对风险毫不在意，只关心期望收益率；图（b）的投资者只关心风险，风险越小越好，对期望收益率毫不在意；图（c）和图（d）表明一般的风险态度，图（c）的投资者比图（d）的投资者相对保守一些，相同的风险状态下，前者对风险的增加要求更多的风险补偿，反映在无差异曲线上，前者的无差异曲线更陡峭一些。

（二）最优证券组合的选择
投资者共同偏好规则可以确定哪些组合是有效的（即投资价值相对较高），哪些是无效的（即投资价值相对较低）。

特定投资者可以在有效组合中选择他自己最满意的组合，这种选择依赖于他的偏好，
投资者的偏好通过他的无差异曲线来反映。

无差异曲线位置越靠上，其满意程度越高，因而投资者需要在有效边界上找到一个具有下述特征的有效组合：相对于其他有效组合，该组合所在的无差异曲线的位置最高。

这样的有效组合便是使他最满意的有效组合，它恰恰是无差异曲线簇与有效边界的切点所表示的组合。

如图11-15所示，投资者按照他的无差异曲线簇将选择有效边界上B点所代表的证券组合作为他的最佳组合，因为B点使其在所有有效组合中获得的满意程度最大，其他有效边界上的点都落在B下方的无差异曲线上。

不同投资者的无差异曲线簇可获得各自的最佳证券组合，一个只关心风险的投资者将选取最小方差组合作为最佳组合。

（无差异曲线与有效组合的切点）
第二节资本资产定价模型
在前一节中，研究问题的出发点是投资者应该怎样选择适合自己偏好的最优证券组合。

在本节中，研究问题的出发点则是，如果投资者都按照上一节介绍的方法去选择投资组合的话，这种集体行为会对证券价格产生什么
样的影响，从而建立了揭示均衡状态下证券收益风险关系经济本质的资本资产定价模型。

一、资本资产定价模型的原理
（一）假设条件
资本资产定价模型是建立在若干假设条件基础上的。

这些假设条件可概括为如下三项假设：
假设一：1投资者都依据期望收益率评价证券组合的收益水平，依据方差（或标准差）评价证券组合的风险水平，并采用上一节介绍的方法选择最优证券组合。

假设二：2投资者对证券的收益、风险及证券间的关联性具有完全相同的预期。

？短期投资行为
假设三：1资本市场没有摩擦。

所谓“摩擦”，是指市场对资本和信息自由流动的阻碍。

因此，该假设意味着：在分析问题的过程中，不考虑交易成本和对红利、股息及资本利得的征税，信息在市场中自由流动，2任何证券的交易单位都是无限可分的，3市场只有一个无风险借贷利率，在借贷和卖空上没有限制。

在上述假设中，第一项和第二项假设是对投资者的规范，第三项假设是对现实市场的简化。

（二）资本市场线
1.无风险证券对有效边界的影响。

在上述假设条件下，投资者面对的市场是一个存在无风险证券的市场，并依照马柯威茨理论构建最
优证券组合。

因此，投资者在均值标准差平面上面对的证券组合可行域及有效边界不再是纯粹由风险证券构成的，而是包含了无风险证券在内的具有如图11-16和图11-17所示几何形状的可行域及有效边界。

在图11-16中，由无风险证券F出发并与原有风险证券组合可行域的上下边界相切的两条射线所夹角形成的无限区域（阴影部分），便是在现有假设条件下所有证券组合形成的可行域。

在图11-17中，由无风险证券F出发并与原有风险证券组合可行域的有效边界相切的射线FT，便是在现有假设条件下所有证券组合形成的
可行域的有效边界。

在现有假设条件下，证券组合可行域及有效边界之所以具有如图11-16和图11-17所示的几何特征，即现有证券组合可行域较之原有
风险证券组合可行域之所以扩大并具有直线边界，主要基于如下两方面的原因：
一方面，因为投资者通过将无风险证券F与每个可行的风险证券组合再组合的方式增加了证券组合的种类，从而使得原有的风险证券组合的可行域得以扩大。

新的可行域既含有无风险证券，又含有原有风险证券组合，同时也含因无风险证券F与原有风险证券组合再组合而产生的新型证券组合。

另一方面，因为无风险证券F与任意风险证券或组合P进行组合时，其组合线恰好是一条由无风险证券F出发并经过风险证券或组合P的射线FP（图11-18），从而无风险证券F与切点证券组合T进行组合的组合线便是射线FT，并成为新可行域的上部边界——有效边界。

2.切点证券组合T的经济意义。

有效边界FT上的切点证券组合T具有三个重要的特征（图11-18）：其一，T是有效组合中唯一一个不含无风险证券而仅由风险证券构成的组合；其二，有效边界FT上的任意证券组合，即有效组合，均可视为无风险证券F与T的再组合；其三，切点证券组合T完全由市场确定，与投资者的偏好无关。

（假设二、分离定理）正是这三个重要特征决定了切点证券组合T在资本资产定价模型中占有核心地位。

为此，下面内容将重点分析切点证券组合T的经济意义。

首先，所有投资者拥有完全相同的有效边界。

由于一种证券或组合在均值标准差平面上的位置完全由该证券或组合的期望收益率和标准差所确定，并假定所有投资者对证券的收益、风险及证券间的关联性具有完全相同的预期，因此，同一种证券或组合在均值标准差平面上的位置对不同的投资者来说是完全相同的（均衡市场）。

由此可见，所有投资者在均值标准差平面上面对完全相同的证券组合可行域，进而面对完全相同的有效边界。

也就是说，所有投资者拥有同一个证券组合可行域和有效边界（图11-19）。

其次，投资者对依据自己风险偏好所选择的最优证券组合P进行投资，其风险投资部分均可视为对T的投资（如图11-19所示），即每个投资者按照各自的偏好购买各种证券，其最终结果是每个投资者手中持有的全部风险证券所形成的风险证券组合在结构上恰好与切
点证券组合T相同（相当于消极投资）。

这是因为，最优证券组合P 恰好位于F与T的组合线上，可视为无风险证券F与切点证券组合T 的再组合。

如果所选择的最优组合位于F与T之间，表明他同时买入无风险证券F和切点证券组合T；如果所选择的最优组合位于T的右侧，表明他将卖空无风险证券F，并将获得的资金与原有资金一起全部投资于风险证券组合T上。

无论如何，每一个投资者的最优证券组合中所包含的对风险证券的投资部分，都可在形式上归结为对同一个风险证券组合——切点证券组合T的投资。

这就意味着，如果把投资者对自己所选择的最优证券组合的投资分为无风险投资和风险投资两部分的话，那么风险投资部分所形成的证券组合的结构与切点证券组合T的结构完全相同，所不同的仅是不同偏好投资者的风险投资金额（即对切点证券组合的投资资金规模）占全部投资金额的比例不同。

正因为如此，T被称为最优风险证券组合或最优风险组合。

最后，当市场处于均衡状态时，最优风险证券组合T就等于市场组合。

所谓市场组合，是指由风险证券构成，并且其成员证券的投资比例与整个市场上风险证券的相对市值比例一致的证券组合。

一般用M表示市场组合。

根据定义，如果市场上共有n种风险证券正在流通，分别记为证券1、证券2、……证券n，那么市场组合M中包含了这n种风险证券，则风险证券i在市场组合M中的投资比例x i为：
式中：P i——证券i的市场价格；
Q i——证券i的流通股数。