【K12教育学习资料】[学习]云南省昆明市黄冈实验学校2019届高三数学上学期期中试题 理

小初高K12教育学习资料
昆明黄冈实验学校2018-2019学年度上学期期中考试试卷
高三理科数学
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A.{|1}A
B x x => B.A B =R C.{|0}A B x x =< D.A B =∅
2.已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
A.是奇函数，且在R 上是增函数
B.是偶函数，且在R 上是增函数
C.是奇函数，且在R 上是减函数
D.是偶函数，且在R 上是减函数
3.设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π
B ．y =f (x )的图像关于直线x =
83
π
对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =
6
π D ．f (x )在(
2
π
,π)单调递减 4.设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5.为了得到函数sin()3
y x π
=+
的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )
A.向右平行移动
3π个单位长度 B.向左平行移动3π
个单位长度 C. 向上平行移动
3π个单位长度 D.向下平行移动3
π
个单位长度 6.已知421
3
3
3
2,3,25a b c ===，则（ ） 学校： 班级 考场： 姓名： 考号： 座号：
密 封 线 内 禁 止 答 题
A. b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
7.若tan 1
3
θ=
，则cos2θ=（ ） A.45-
B.15-
C.15
D.4
5 8.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满
)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）
A.)2
1,(-∞
B.),23()21,(+∞-∞
C.)23,21(
D.)
,2
3(+∞
9.若函数1()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）
A.[]
1,1- B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦C.11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,3⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
10. 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）
A.2sin(2)3y x π=-
B.2sin(2)6y x π
=-
C.2sin(2+)6y x π=
D.2sin(2+)3
y x π
=
11.函数y =sin x 2
的图象是（ ）
12.设
，
，则
A. B. C.
D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.0750sin = .
14.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
i
2i
a -+为实数，则a 的值为 . 15.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若
1
sin 3α=
，cos()αβ-=___________.
16.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任
意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，
=6S ．
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，
以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=．
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
18．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若
1
cos A
3
=，求sinC的值.
19. 已知向量(cos,sin),(3,[0,π].
x x x
==∈
a b
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记()
f x=⋅a b,求()
f x的最大值和最小值以及对应的x的值.
20.设函数=[]．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
21.已知为锐角，，．（1）求的值；
（2）求的值．
22.已知函数．
（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．
昆明黄冈实验学校2018-2019学年度上学期期中考试
高三理科数学试题参考答案与试题解析
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
二．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x
<}，则
A ． {|1}A
B x x => B ．A B =R
C ． {|0}A
B x x =<
D ．A
B =∅
【答案】C
【解析】
试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以
{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，
故选C.
【考点】集合的运算，指数运算性质.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数
（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A
【考点】函数的性质
【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性. 3.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =
83
π
对称
C ．f (x +π)的一个零点为x =
6
π D ．f (x )在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D 【解析】
【考点】 函数()cos y A x ωϕ=+ 的性质
【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω
x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T π
ω
=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或
y ＝Acos ωx ＋b 的形式.
(2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2
x k k Z π
ωϕπ+=+
∈，求x ；求
f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可.
4.【2016高考四川文科】设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充分必要条件.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论． 5.【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3
y x π
=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上
所有的点( )
(A)向右平行移动
3π个单位长度 (B)向左平行移动3π
个单位长度 (C) 向上平行移动
3π个单位长度 (D)向下平行移动3
π
个单位长度 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，为得到函数sin()3
y x π
=+，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左
移
3
π
个单位，故选B. 考点：三角函数图像的平移.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数()y f x =的图象向右平移a 个单位得
()y f x a =-的图象，而函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得()y f x a =+的图象．左
右平移涉及的是x 的变化，上下平移涉及的是函数值()f x 加减平移的单位．
6.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则（ ）
(A) b a c << (B)a b c <<
(C) b c a <<
(D) c a b <<
【答案】
A
考点：幂函数的单调性．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
7. [2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 1
3
θ=
，则cos2θ=（ ） （A ）45-
（B ）15-
（C ）15 （D ）4
5
【答案】D 【解析】
试题分析：2222222211()
cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 5
1()3
θθθθθθθ---===
=+++． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
8.【2016高考天津文数】已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，
若实数a 满)2()2
(|
1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）
（A ）)2
1,(-∞ （B ）),2
3()2
1,(+∞-∞ （C ）)2
3,21( （D ）)
,2
3(+∞
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得1|1|
|1|
|1|
2
113
(2)(222|1|222
a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<
⇒<<，故选C
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
9.【2016高考新课标1文数】若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）
（A ）[]
1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦（C ）11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
【答案】C 【解析】
考点：三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.
10. 【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）
（A ）2sin(2)3y x π=- （B ）2sin(2)6y x π
=-
（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3
y x π
=
【答案】B 【解析】
试题分析：由图知，2A =，周期2[
()]36T π
ππ=--=，所以22π
ωπ
==，所以2sin(2)y x ϕ=+，
因为图象过点(
,2)3
π
，所以22sin(2)3
π
ϕ=⨯
+，所以2sin(
)13
π
ϕ+=，所以22(Z)32
k k ππ
ϕπ+=+∈， 令0k =得，6
π
ϕ=-
，所以2sin(2)6
y x π
=-
，故选B.
考点： 三角函数图像的性质
【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A ，
h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．
11.【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2
的图象是（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：因为2
sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22
x π
=
，
即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D. 考点：三角函数图象.
【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项. 12.【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则 A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。

详解：.
，，，
,即
，又
，
即
，故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.【2016高考四川文科】0750sin = . 【答案】
12
【解析】
试题分析：由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302
︒=︒+︒=︒=. 考点：三角函数诱导公式
【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．
14.【2017天津，理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
i
2i
a -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-
【解析】
()(2)(21)(2)212
2(2)(2)555
a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则
2
0,25
a a +==-. 【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈， 当0b ≠时，z 为虚数， 当0b =时，z 为实数，
当0,0a b =≠时，z 为纯虚数.
15.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终
边关于y 轴对称.若
1
sin 3α=
，cos()αβ-=___________.
【答案】79
- 【解析】
【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.
【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α
与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+
，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈.
16.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能
把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S ．
【答案】
2
【考点】数学文化
【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．
15
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.[2016高考新课标Ⅲ文数]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
()sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲
线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=．
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31
(,)22
．
【解析】
考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．
【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．
18.【2016高考天津文数】（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.
(Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1
cos A 3
=
，求sinC 的值.
【答案】（Ⅰ）6
π
=
B 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos A B B A ,再根据三角
形内角范围化简得23cos =
B ，6
π
=B （Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角
形内角和为π，将所求角化为两已知角的和)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，再根据两角和的正弦公式求解
考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
19.【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π
6
x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π
6
x =
时，取得最小值，
为-
【考点】向量共线，数量积
【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<> 20.【2018年理北京卷】设函数=[
]．
（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ；
（Ⅱ）若
在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．
【答案】(1) a 的值为1 (2) a 的取值范围是（，+∞）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］e x=（ax–1）(x–2)e x．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f ′(x)>0．所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
【考点】导数及应用
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
21.【2018年江苏卷】已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．
（2）因为为锐角，所以．又因为，所以
，因此．因为，所以
，因此，．【考点】三角恒等变换
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
22.【2018年理数全国卷II】已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【答案】（1）见解析（2）
详解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
【考点】1、利用导数证明不等式；2、利用导数求待定系数的值.
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。