2013届高三数学月考(5)(理)

2012～2013年度天津市南开中学高三第五次月考
数学
一、选择题：
1. 若i 为虚数单位，则复数12i 1i
-+-等于( )
A ．
11i 22+B ．31i 22-
+C ．
13i 2
2
+
D ．33i 22-
+
2. 命题“()2
121x ,x x ∀∈>+，
”的否定为( ) A ．()2000121x ,x x ∃∈≤+，B ．()2
000121x ,x x ∃∈<+，
C ．()2121x ,x x ∀∉>+，
D ．()2
121x ,x x ∀∉≤+， 3.
已知,x y 满足0
0x y x y y a -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，
若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 已知集合{||2|}P x x a =-<
，函数y =
定义城为Q ，若Q P ⊆，则a 的取值范围是
A ．{|01}a a <≤
B ．{|1}a a ≥
C ．{|1}a a >
D ．{|0}a a >
5. 一个算法的程序框图如右图所示，其中m od 2x 表示
x 除以2的余数,()in t x 表示不超过x 的最大整数
（例如()int 2.52=）.若输入的x 为43，则输出 的结果为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6
6. 已知直线0A x B y C ++=与圆2
2
4x y +=交于,M N 两点.若222
A B C +=，则
O M O N ⋅
的值为（）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
7. 在ABC △
中，sin 17
A =
，3tan 5
B =
．若ABC △
，则最
小边的长为（） A
B
C
2
D
2
8.
已知函数()2210102
lo g x ,x f x |x x |,x +>⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，若函数()()F x f
x a =-有三个不同的零点，
则实数a 的取值范围是（） A ．[0，116
]B ．1(0]16
,-
C ．{0}
D ．{0,
116
}
二、填空题
9. 150辆汽车正在经过某一雷达区，这些汽车行进的时速频率分布直方图如图所示，则
时速超过60/km h 的汽车数量约为辆
10. 一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为
11. 如图，P T 是O 的切线，切点为T ，
直线P A 与O 交于A 、B 两点， TPA
∠的平分线分别交直线T A 、T B
于D 、E 两点，已知2PT =，
P B =
，则PA =__________;
T E A D
=
．
P
正视图
俯视图
侧视图
12. 已知直线l 的参数方程为413x t y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为2co s sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩
(θ为参数) 则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为. 13. 如图，设Ω为图中的矩形区域，E 是Ω内函数sin y x
=图像下方的点构成的区域，向Ω中随机投一点，则该点落入区域E （阴影部分）中的概率为____.
14. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式2
1
2
2
2
ma n
S a n n
≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为. 三、解答题：
15. 设函数(
)()2
2cos cos R f x x x x x =+∈
（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并求函数()f x 的单调递减．．区间 （Ⅱ）若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∈2,
0πx ，求()x f 的取值范围.
16. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每次不放回的取出2个球，直到取
出的球中有红球．
（Ⅰ）求第一次取球恰取到一个红球和一个白球的概率； （Ⅱ）记取球的次数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
17. 如图，已知四棱锥P A B C D -的底面为等腰梯形，//A B C D ，A C B D ⊥垂足为H ，
P H 是四棱锥的高，E 为A D 的中点
（Ⅰ）证明：P E B C ⊥
（Ⅱ）若60A P B A D B ∠=∠=︒， 求直线P A 与平面P E H 所成角的正弦值.
18. 已知数列{}n a 满足：121a a ==，2
122n n n
a a a ++=
，*N n ∈
（Ⅰ）证明数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （Ⅱ）求n a ； （Ⅲ）令2n n n
n a b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S .
19. 在直角坐标平面上，O 为原点，M
OM ON 5
52,5=
=.过点M 作
1M M ⊥y 轴于点1M ，过点N 作1N N ⊥x 轴于点1N ，N N M M OT 11+=.记点T
的轨迹为曲线C ，点()5,0A ，1
,06B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点,P Q （点Q 在A 与P 之间）. （Ⅰ）求曲线C 方程；
（Ⅱ）是否存在直线l 使得BQ BP =，若存在求直线l 的方程，若不存在说明理由.
20. 已知函数)0(ln )(≠--
=a x
a x ax x f
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间及最值．．； （Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有111e
1ln
23!
n
n n ++++
≥ （e 为自然对数的
底数）；
（Ⅲ）当1=a 时，是否存在过点)1,1(-的直线与函数()y f x =的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由.。