2020届高考数学教研讲义：柯西不等式(无答案)(最新整理)

a 2 +
b 2
c 2 +
d 2 1 1 2 n n 1 2 n 1 2 n b 柯西不等式
试题分析：
一、知识点
1、柯西不等式的二维形式
(a 2 +b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac +bd )2 ， （当且仅当 ad = bc 时，等号成立）
2、柯西不等式的 n 维形式
设 a 1 , a 2 , , a n ;b 1 , b 2 , b n 为实数，则有
(a b + a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + + a 2 )(b 2 +b 2 + +b 2
)
n n n
a a a 简写为(
∑a 2
) (∑b 2
) ≥ (∑a b )2
（当且仅当 1
= 2 = = n
或 a , b , i = 1,2,3, , n
i
i =1
i
i =1
i i
i =1
b 1 b 2 n
中有至少一方全为零等号成立）
3、 柯西不等式的三角形式： + ≥ （ 当且仅当 i i (a +c )2 +(b + d )2 2
ad = bc 时，等号成立）
4、柯西不等式的向量形式： m ⋅ n ≤ m ⋅ n
（ m 、n 共线时等号成立）
二、实战训练
1、利用柯西不等式解决不等式证明问题
【典例精析】（2017 江苏）已知 a , b , c , d 为实数，且 a 2 + b 2 = 4, c 2 + d 2 = 16 ，
证明： ac + bd ≤ 8
变式训练：
1.（2014 年高考浙江自选模块）设正数 a , b , c 满足 abc = a +b +c ，求证：
ab + 4bc +9ac ≥ 36 ，并给出等号成立的条件.
2.（2011 浙江自选）设正数 x , y , z 满足2x + 2 y + z = 1.
（1） 求3xy + yz + zx 的最大值；
（2） 证明：
3
1+ xy + 1 1+ yz + 1 1+ zx ≥ 125
26
3.已知x, y, z ∈R+，且x + y + z =1，求证：1
+
4
+
9
≥ 36
x y z
4.已知a , a , , a ∈R+, 求证：a2+ a2+ + 21
+ a + + a )2
1 2 n 1 2 a
n
≥
n
(a
1 2 n
2、利用柯西不等式解决最值问题
【典例精析】（2014 年高考浙江卷文科第 16 题）已知实数a, b, c 满足a +b+c = 0 ，a2+b2+c2=1，则a 的最大值为.
变式训练：
1.（2010 浙江自选）设正实数a，b，c，满足abc ≥ 1 ．求a
+
b2
+
c2 的最小值．
a + 2
b b + 2
c c +2a
2
+ 2
2. 已知 a , b 为正常数， x > 0, y > 0 ，则(x + y )(
a + x b
) 的最小值为（ ） y
A. 4
B. ( a +
b )2
C. 2ab
D. a +b
3. 若正数 a , b 满足 a +b =1，则
1 + a +1
4 b + 2
的最小值是
4. 已知
∈ R ，则 1 1
的最小值为
2 sin θ cos θ
5. 若不等式
1 a - b + 1 b - c + c - a
> 0 在条件 a > b > c 时恒成立，则的取值范围是
【典例精析】（2012 年高考浙江卷文科第 9 题）若正数 x , y 满足 x + 3y = 5xy ，则3x + 4 y 的最小值是
.
变式训练：
1. 已知 x , y ∈ R +
，且3x 2
+ 2 y 2 ≤ 6 ，求ω= 2x + y 的最大值。

ab
x - 1 2a +1 3b + 2 b
2,2), b b
2. 求函数 y = 3
+ 的最大值。

3. 函数 y = 1- x + 的最大值为
3、柯西不等式的向量形式
【典例精析】若 a = (cosα, sin α) ， = (3cos 2β,3sin 2β) ，则 a
变式训练：
b 的取值范围是
1.若 a , b ∈ R + ，且 a +b = 5
，求证： + ≤ 6
2.设 a = (- = 6 ，则 a 的最小值是
,此时 =
10 - 2x 4+ 2x 10
b
x 2 - 8x + 20 x 2 - 6x +10 x 2 - 6x +13 2 3 3
B. 2 2R
4、柯西不等式的三角形式
【典例精析】函数 f (x ) = - 的最大值是
变式训练：求函数 f (x ) = + 的最小值
5、柯西不等式的综合应用
【典例精析】（2014 年高考湖北卷理科第 9 题）已知 F 1, F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，
P 是它们的一个公共点，且∠F PF =
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的
最大值为（
）
1
2
3
A.
4 3 3
B. C. 3
D. 2
变式训练：
1. 若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆内接长方形，则长方形 ABCD 周长的最大值为（
）
A.2 R
C.4 R
2. 直线
x + y
= 1通过点 M (cos , s in ) ，则（ ）
a b
x 2 + 4x + 40 D. 4 2R
m 2 + n 2 + ≤ + ≥ A. a 2 + b 2
≤ 1 B. a 2 + b 2
≥ 1
1 1 B.
a 2
b 2
1 1
1
D.
a 2
b 2 1
3.（陕西卷）设
a ,
b , m , n ∈ R ，且 a 2 + b 2 = 5, ma + nb = 5 ，则 的最小值为 .
4.给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为120︒ .如图所示，点C 在以O 圆心的圆弧 AB 上变动，若OC = xOA + yOB ，其中 x , y ∈ R ，则 x + y 的最 大值是
.
3x +614 -x 课后练习
1.设a, b, c 均为正数且a +b+c = 9 ，则4
+
9
a b
+
16
c
的最小值为（）
A.81
B.9
C.7
D.49
2.若存在实数x 使+>a 成立，常数a 的取值范围为.
3.已知lg(x +y) = lg x +lg y ，则x +2y 的最小值为.
4.已知a, b ∈ R+ ，且a +b =1，求证：(ax +by)2≤ ax2+by2
5.已知a, b, c, d 是不全相等的正数，求证：a2+b2+c2+ d 2> ab+bc +cd + da
2
6. 已知正数 a , b , c 满足 a +b +c =1，证明： a 3
+b 3
+c 3
≥
a 2 +
b 2 +
c 2
3
7.（2017 年高考全国Ⅱ卷理科第 23 题）已知 a > 0, b > 0 ， a 3 + b 3 = 2 ，证明：
（Ⅰ） (a + b )(
a 5 +
b 5 )
≥ 4 ；
（Ⅱ） a + b ≤ 2 .
8.（2013 年高考新课标Ⅱ卷理科第 24 题）设 a , b , c 均为正数，且 a + b + c = 1，证明：
a +
b 2 b c
+ c 2 a ≥ 1.
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。