2016-2017学年高中数学必修5学业分层测评13 三角形中的几何计算 含解析

学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟）
［学业达标］
一、选择题
1．在△ABC中，｜错误!｜＝3，|错误!|＝5,|错误!｜＝7,则错误!·错误!的值为( ）
A．－错误! B.错误!C．－错误!D．错误!
【解析】由余弦定理cos C＝错误!＝错误!＝－错误!，
∴错误!·错误!＝｜错误!|·｜错误!｜cos C＝3×5×错误!
＝－错误!。

【答案】C
2．在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若a sin B·cos
C＋c sin B cos A＝1
2
b,且a＞b,则B＝( ）
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
【解析】由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B·
cos A＝1
2
sin B，
所以sin（A＋C）＝错误!，即sin B＝错误!，
但B不是最大角,所以B＝错误!。

【答案】A
3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan ∠ECF ＝（）
图2。

2.4
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
【解析】设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝错误!AB＝错误!。

由余弦定理得CE＝CF
＝错误!＝错误!,
所以cos∠ECF＝错误!＝错误!，
tan∠ECF＝错误!＝错误!＝错误!。

【答案】D
4．如图2。

2。

5，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD,则sin C的值为（）
图2。

2。

5
A。

错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
【解析】设AB＝c，则AD＝c，BD＝错误!,BC＝错误!，
在△ABD中，由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!.
则sin A＝错误!，在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!,解得sin C＝错误!。

【答案】D
5．(2016·宝鸡高二检测）若△ABC的周长为20,面积为10错误!,A ＝60°，则a等于（）
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】S＝错误!bc sin A＝错误!bc·错误!＝10错误!，∴bc＝40,
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－2bc－2bc·错误!，∴a2＝(20－a)2－120,
∴a＝7。

【答案】C
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b，c，sin A,sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为________．【解析】因为sin A，sin B，sin C成等比数列，
所以sin2B＝sin A·sin C,由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cos B＝错误!＝错误!＝错误!。

【答案】错误!
7．在△ABC中，AB＝错误!,点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC的面积为________．
【解析】∵D为BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD
＝2×错误!×｜AB｜｜AD｜·sin∠BAD＝2×错误!×错误!×1×sin 30°＝错误!.
【答案】错误!
8．如图2.2。

6所示,已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5,BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝________。

图2。

2.6
【解析】cos A＝错误!＝－错误!，
∴A＝120°，
∴C＝60°。

从而错误!＝错误!，
∴BC＝错误!＝错误!＝错误!.
【答案】错误!
三、解答题
9．如图2.2。

7，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°,∠BCD＝135°,求BC的长．
图2。

2。

7
【解】在△BAD中，设BD＝x。

则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2×10x cos 60°,解得x＝16，即BD＝16，
又
BC
sin∠CDB＝错误!，
∴BC＝错误!·sin 30°＝8错误!。

10．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a,b，c，若a cos2错误!＋c cos2错误!＝错误!b。

(1）求证：a,b，c成等差数列;
（2）若B＝60°,b＝4，求△ABC的面积．
【解】(1）证明:a cos2错误!＋c cos2错误!＝a·错误!＋c·错误!＝错误!b,即a(1＋cos C）＋c(1＋cos A)＝3b.
由正弦定理得sin A＋sin A cos C＋sin C＋cos A sin C＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin(A＋C）＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理得a＋c＝2b，所以a，b，c成等差数列．
（2）由B＝60°，b＝4，及余弦定理得
42＝a2＋c2－2ac cos 60°，
∴(a＋c）2－3ac＝16，
又由(1）知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，
解得ac＝16，
∴△ABC的面积S＝错误!ac sin B＝错误!ac sin 60°＝4错误!.
［能力提升］
1．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°,则BC边上的高等于（）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D．错误!
【解析】设AB＝c，在△ABC中,由余弦定理知
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ,
即7＝c 2＋4－2×2×c ×cos 60°,c 2－2c －3＝0，
即(c －3)（c ＋1）＝0，又c 〉0，∴c ＝3。

设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式
S △ABC ＝1
2AB ·BC ·sin B ＝错误!BC ·h ，知
错误!×3×2×sin 60°＝错误!×2×h ，
∴h ＝错误!。

【答案】 B
2．如图2.2。

8所示，四边形ABCD 中,∠ABC ＝∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
图2。

2。

8
A.错误! B ．5错误!
C ．6＋ 3
D ． 7错误!
【解析】 连接BD ，在△BCD 中，
BD ＝错误!
＝错误!＝2错误!。

∵∠CBD＝错误!（180°－∠BCD）＝30°，
∴∠ABD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝错误!AB·BD＋错误!BC·CD sin ∠BCD＝错误!×4×2错误!＋错误!×2×2×sin 120°＝5错误!。

【答案】B
3．在△ABC中，B＝错误!，AC＝错误!，则AB＋2BC的最大值为________．
【解析】在△ABC中,根据错误!＝错误!＝错误!
得AB＝错误!·sin C＝错误!·sin C＝2sin C。

同理BC＝2sin A，
因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A＝2sin C＋4sin错误!
＝4sin C＋2错误!cos C＝2错误!sin(C＋φ）错误!，
因此AB＋2BC的最大值为2错误!。

【答案】2错误!
4．如图2。

2。

9所示，错误!是半径为r的圆的一部分，弦AB的长为错误!r，C为错误!上一点,CD⊥AB于D,问当点C在什么位置时,△ACD的面积最大，并求出这个最大面积．
【导学号:67940041】
图2­2。

9
【解】 ∵OA ＝OB ＝r ，AB ＝错误!r .
∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB ＝90°.
∴∠ACB ＝360°－90°2
＝135°. 设∠CAD ＝θ(0°＜θ＜45°)，则∠ABC ＝45°－θ. 在△ABC 中，∵错误!＝错误!，
∴AC ＝错误!
＝2r sin （45°－θ），
∴在△ACD 中，CD ＝AC sin θ，
AD ＝AC cos θ，
S △ACD ＝错误!AC 2sin θcos θ
＝2r 2sin 2（45°－θ)sin θcos θ
＝2r 21－cos 90°－2θ2·错误!sin 2θ
＝错误!r 2(1－sin 2θ）sin 2θ
＝错误!r 2错误!
＝－错误!错误!2r 2＋错误!r 2，
∴当sin 2θ＝错误!，即2θ＝错误!,
θ＝错误!时，S△ACD取得最大值且最大值为错误!r2。