江苏专转本高数第九节连续函数的运算

原式 lim y lim y0 ln(1 y) y0
1
1
ln(1 y) y
1
交换次序
1
1
1
lim ln(1 y) y
ln lim(1 y) y
1 ln e
1.
y0
y0
同理可得 lim a x 1 ln a. （即教材例7） x0 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
9/18
【定理4】 设函数u g( x)在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续【定理6】
定义区间是指包含在定义域内的区间.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
12/18
【例3】 求 limsin e x 1. x1
【解】 原式 sin e1 1 sin e 1.
【例4】 求 lim 1 x2 1.
x0
x
【解】 原式 lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x0
x( 1 x2 1)
lim x0
x 1 x2 1
0 2
0.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3
13/18
【教材例8】求 lim(1 2x)sin x
【解Ⅰ】
x0
3
(1 2 x)sin x
x
lim arccos
x
x
x2 x x
lim arccos 1
x
1 1 1
x
arccos lim 1 x 1 1 1
x
arccos 1 2
3
7/18
分子有理化 分离无穷小量
交换次序：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
8/18
【例2】 求 lim e x 1. x0 x
【解】令 ex 1 y, 则 x ln(1 y), 当x 0时, y 0.
1
x 6 sin x
(1 2 x)2x
6
x
1
ln(12 x )2 x
sin x
由定理3及极限运算法则得
e 3
lim(1 2x)sin x
lim 6
x
1 ln(12 x )2 x
x0 sin x
e6
e x0
【解Ⅱ】
e e e 3
lim(1 2x)sin x
x0
lim 3 ln(12 x) x0 sin x
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1 1, x 0
f [g( x)]在(,)上处处连续
g[
f
(
x)]
1
sgn
x
2
2, 1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,)上处处连续
x 0是它的可去间断点
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
15/18
四、小结
1.基本初等函数在定义域内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数 在定义区 间内连续
【说明】 分段函数在分界点处是否连续需讨论其
左、右连续性. 2.两个定理（3、4）;两点意义.
3.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3/18
2、复合函数的连续性
【定理3】若 lim x x0
g( x)
u0 ,
函数
f
(u)在点u0连续
,
则有 lim x x0
f [g( x)] lim uu0
f (u)
f (u0 )
f [ lim g( x)]. x x0
【证】 f (u)在点 u u0连续,
一、连续函数的四则运算的连续性
1/18
由函数“连续”的定义和极限四则运算法则，立得:
【定理1】 若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x) ， f(x)g(x) , f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点x0处也连续.
［例如］sin x,cos x在(,)内连续（. 上节已证） tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
【结论】三角函数在其定义域内连续.
【推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2/18
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性
【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.（证明略）
［例如］y sin x在[ , ]上单调增加且连续
22 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续 同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续 y arctan x, y arc cot x 在[,]上单调且连续 【结论】反三角函数在其定义域内皆连续.
［例如］ y sin 1 是由连续函数链 x x R*
复合而成 , 因此
y
o
在 x R* 上连续 .
y sin 1 x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10/18
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
★ 指数函数 y a x (a 0, a 1)
在(,)内单调且连续
★ 对数函数 y log a x (a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
★ y x a loga x
y au , u loga x.
11/18
在(0, )内连续,
讨论不同值, (均在其定义域内连续 )
【定理5】 基本初等函数在定义域内是连续的.
lim x x0
f [g( x)]
f (u0 )
f [ lim g( x)]. x x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5/18
【意义】 1.变量代换(u ( x))的理论依据.
2 由 lim f [g( x)] f [ lim g( x)] 可知
x x0
x x0
极限符号 lim可以与函数符号 f 交换次序; x x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
16/18
【思考题】
设 f ( x) sgn x，g( x) 1 x 2，试研究 复合函数 f [g( x)]与 g[ f ( x)]的连续性.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
17/18
【思考题解答】
g(x) 1 x2
1, x 0 f ( x) 0, x 0
x3 x2 9
6/18
【解】 y
x3 x2 9
可视为由
y
u、
u
x3 x2 9
复合而成，
又
lim
x3
x3 x2 9
1 6
而 y u 在点 u 1 连续 6
则
lim
x3
x3 x2 9
交换次序
x3
lim
x3
x
2
9
1 6 66
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如
lim arccos( x2 x x)
【例1】 求 lim ln(1 x) .
x0
x
利用lnu的连续性
1
1
【解】原式 limln(1 x)x ln[lim(1 x)x ] ln e 1.
x0
x0
同理
lim log a (1 x) 1
x0xΒιβλιοθήκη ln a（即教材例6）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【教材例3】
求 lim x3
0, 0, 使当 u u0 时,
恒有 f (u) f (u0 ) 成立.
又
lim
x x0
g(
x)
u0
,
对于 0, 0, 使当0 x x0 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4/18
恒有 g( x) u0 u u0 成立.
将上两步综合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时, f (u) f (u0 ) f [g( x)] f (u0 ) 成立.
lim 3 2 x x0 sin x
6
ln(1+2x) ~ 2x (x→0)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
14/18
【一般地】 形如 u( x)v( x) (u( x) 0,u( x) 1)
的函数称为幂指函数
若 lim u( x) a 0 则 lim u( x)v( x) ab
limv( x) b