自动控制原理—直流电机PI控制器参数设计

态误差，又可以使系统在阶跃输入时有满意的动态性能。
3.2 单位阶跃参考输入
结合上述分析，当输入是阶跃函数时，本系统输出为：
Y ( s)
60( s 120) 1 60 s( s 120s 7200) s ( s 60) 2 602
2
4
因
d
n
2z
0.707 1
把峰值时间带入 y(t ) 得
y(t p ) 1.067
根据超调量定义，可得
%
y (t p ) y () y ( )
100% 6.7%
。
60t
令 表示实际响应与稳态输出之间的误差，由 ytt (t ) e
| e 60t sin 60t | e 60t
sin 60t 可以得不等式
sys tf (num, den)
此外，可以使用 MATLAB 中的 LTI Viewer 求取系统的各项性能指标。
1
2 数学模型
2.1PI 模型建立
由设计要求可以得出，
va (k p e k I edt)
0
t
其中 e=r-y。故做拉氏变换可得 D 的表达式：
D Kp +
K I sK p K I s s
2.2 单位反馈传递函数
无扰动输入情况下，由控制系统和比例积分环节传递函数可得单位反馈的相关函数： 前向通道传递函数：
继而化简得
s 2 120s 7200 0
因此
600K p 60 120
600 K I 7200
即
K p 0.1
从而闭环系统的传递函数为 60( s 120) (s) 2 s 120 s 7200
，
KI 1
。
3
3 动态跟踪性能分析
3.1 比例积分控制的分析方法
采用分析法研究比例积分控制系统的动态和跟踪性能。 PI 控制开环传递函数形如：
Ti 1 K )( ) Ti s s 2n s ( s 2n ) (Ti s 1) KpK
G ( s ) K p (1
令
2 n
KpK Ti
则
G( s)
n (Ti s 1) 2
时间安排：
任务 审题、查阅相关资料 分析、计算 编写程序 撰写报告 论文答辩 时间（天） 2 3 2 2 1
指导教师签名：
年
月
日
系主任（或责任教师）签名：
年
月
日
摘要
控制理论经过数十年的发展,并伴随计算技术的快速发展,如今已经形成相当成熟
的理论,并在各个行业和领域得到广泛的应用。本文所述的直流电机的 PI 控制就是其一方 面的应用，文中将结合实例分析 PI 控制系统对单位阶跃和单位斜坡输入的响应，计算其 动态和跟踪性能。完成上述工作需借助功能强大的数学计算软件ＭＡＴＬＡＢ，精确模拟 系统的响应。 关键词：ＰＩ控制 ＭＡＴＬＡＢ
Mp 1 2 60t p e cos(60t p + ) 0.0101 120 120 4
6
4 数学仿真与验证
4.1MATLAB 中连续系统模型表示方法
MATLAB 是数学计算领域非常强大的一个软件,在很多领域有着极其重要的作用,比如自 动控制领域。在此将借用 MATLAB 来对系统性能进行分析计算，验证理论结果。 MATLAB 为各种信号的建模提供了极其方便的表示方法，对于连续时间系统的时域分析 的表示也很简单。 对于连续系统多项式模型
G ( s) 600( sK p K I ) s ( s 60)
反馈传递函数：
H ( s) 1
同样由上得系统闭环传递函数：
( s)
600( sK p K I ) G( s) 2 1 G( s) H ( s) s 60(1 10 K p ) s 600 K I
直流电机 PI 控制器参数设计
1 系统结构分析
1.1 系统结构如下图
W
1500 + e D
R
va
600
+
1 s 60
Y
图 1-1 直流电机 PI 控制结构图
系统组成为比例积分环节、比例环节、惯性环节和单位负反馈，在比例环节与惯性环 节之间加入扰动信号比较点。其中，比例环节与惯性环节是系统部可变部分。扰动信号输 入时也经过一个比例环节。
0 t
W
1500 + e D
R
va
600
+
1 s 60
Y
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求， 以及说明书撰写等具体要求）
（1） 写出以 R 为输入的直流电机控制系统微分方程； （2） 计算 W 到 Y 的传递函数； （3） 试求 kP 和 kI 的值，使闭环系统的特征方程的根包括 60 60j ； （4） 分析在单位阶跃参考输入、单位斜坡参考输入时系统的跟踪性能； （5） 在 Matlab 中画出上述系统响应，并以此来证明（4）的分析结论。 （6） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析的过程，附 Matlab 源程序或 Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
1 s s 60 Gw ( s) 2 sK K I 1 s 60(1 10 K p ) s 600 K I 1 p 600 s 60 s
带入
Gw ( s)
，则：
w ( s )
Байду номын сангаас
1500 s s (61 600 K p ) s 600 K I
G( s)
MATLAB 表示方法为： 分子多项式： 分母多项式： 建立传递函数模型：
b0 s m b1s m1 bm1s bm a0 s n a1s n1 an1s an
num [b0 , b1 , , bm 1 , bm ] den [a0 , a1 , , an 1 , an ]
课程设计任务书
学生姓名： 指导教师： 题 目: 专业班级： 工作单位：
直流电机 PI 控制器参数设计
初始条件： 一直流电机控制系统的方框图如图所示，其中 Y 为电机转速， v a 为电枢 电压， W 为负载转矩。令电枢电压由 PI 控制定律求取， PI 表达式为：
va (k p e k I edt) ，其中 e=r-y。
，对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应
y (t ) 1 e60t sin 60t
由上式可以看出， 系统为稳态分量
yss (t ) 1
和瞬态分量 y (t ) e
60 t
sin 60t 组成。 系统阶
跃时间响应为振荡衰减函数，稳态值趋于 1。将阶跃响应对 t 求导，有峰值时间
tp 1 arctan(1) 0.039 s 60 。
2 2
因系统阻尼比为 0.707 ，属于欠阻尼系统。以下为欠阻尼系统的单位斜坡响应分析。 对上式进行反拉氏变换，得斜坡输入的时间响应 1 1 60t 1 60t y (t ) t e cos 60t e sin 60t 120 120 120
5
由上式可知系统单位斜坡响应由稳态分量
2
2.4 参数计算
由闭环传递函数得系统特征方程为：
D(s) s 2 60(1 10K p )s 600K I
根据设计需要，因单位反馈闭环传递函数特征根包括 60 60 j ，则根据特征根，可推 断
D(s) (s 60 60 j )(s 60 60 j) 0
若取 0.05 ，由上式可解出
ts
ln 20 0.05s 60
3.3 单位斜坡参考输入
当输入为单位斜坡函数时，系统输出为：
Y ( s)
60( s 120) 1 1 1 1 s 60 1 60 2 2 2 s ( s 120s 7200) s 120 s 120 ( s 60) 60 120 ( s 60) 2 602
e(t ) 1 1 60t 1 60t 1 2 60t e cos 60t e sin 60t e cos(60t + ) 120 120 120 120 120 4
将上式对 t 求导，的误差响应的峰值时间 1 tp arccos 0 0.0262 s 60 120 将 t p 带入误差响应函数可得最大误差
ytt (t )
yss (t ) t
1 120 和瞬态分量
1 60t 1 60t e cos 60t e sin 60t 120 120
组成。 系统误差响应为 e(t ) r (t ) y(t ) 。当时间 t 趋于无穷时，误差响应 e(t ) 的稳态值为稳态 e ( ) 误差，以 ss 标志。对于此处单位斜坡响应时，其稳态误差为 1 ess () t y () 120 误差响应为
s( s 2n 1)
令
z
1 Ti
，可得闭环传递函数为
( s)
d n
2z
2 n
z
(
sz ) 2 s 2d n n
2
其中
由上式可知，PI 控制系统不改变系统自然频率，但可以增大系统阻尼比。因ξ 与
KpK
n 均
和
Ti
有关，所以适当选择开环增益和积分时间常数，既可以减小系统在斜坡输入时的稳
2.3 扰动下的非单位反馈闭环传递函数
控制系统除了承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动下。本系统的扰动信号为电 机的负载转矩 W。设负载转矩 W 的拉氏变换为 W ( s) ,若令输入 R(s) 0 则可计算得出扰动 的输出即 W 到 Y 的输出：
w ( s)
其中
2
1500Gw ( s ) 1 Gw ( s)
目录
1 系统结构分析 .............................................................. 1 2 数学模型 .................................................................. 2 2.1PI 模型建立 ............................................................ 2 2.2 单位反馈传递函数 ...................................................... 2 2.3 扰动下的非单位反馈闭环传递函数 ........................................ 2 2.4 参数计算 .............................................................. 3 3 动态跟踪性能分析 .......................................................... 4 3.1 比例积分控制的分析方法 ................................................ 4 3.2 单位阶跃参考输入 ...................................................... 4 3.3 单位斜坡参考输入 ...................................................... 5 4 数学仿真与验证 ............................................................ 7 4.1MATLAB 中连续系统模型表示方法 .......................................... 7 4.2 单位阶跃输入时的动态性能 .............................................. 7 4.3 单位斜坡输入时的动态性能 .............................................. 8 5 心得体会 ................................................................. 11 参考文献 ................................................................... 12