2023-2024学年青海省西宁市高一上学期12月学情调研测试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年青海省西宁市高一上册12月学情调研测试数学试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，集合{}1A x x =≤，{}2
20B x x x =-=，则图中的阴影部分表示的集合为（
）
A ．{}0
B ．{}2
C ．{}0,2
D ．{}
1,2【正确答案】B
【分析】阴影部分表示的集合为U B A ⋂ð，求出U A ð后可求此集合.
【详解】因为{}1A x x =≤，故()U 1,A =+∞ð，而{}{}2
200,2B x x x =-==，
又阴影部分表示的集合为U B A ⋂ð，故阴影部分表示的集合为{}2，故选：B.
2．已知幂函数()(R,R)f x k x k αα=⋅∈∈的图象经过点(1
4,2
，则k α+=（
）
A ．1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
【正确答案】A
【分析】根据幂函数的概念求出1k =，再代入点的坐标可求出α，即可得解.【详解】因为函数()f x 为幂函数，所以1k =，则()f x x α=，又因为()f x 的图象经过点(14,2)，所以142α
=，得12
α=-，
所以11
122
k α+=-=.故选：A
3．已知函数()2,0
31,0⎧<=⎨-≥⎩
x x f x x x ，则()()12-+f f 的值为（
）
A ．6
B ．5
C ．1
D ．0
【正确答案】A
【分析】根据题意，由函数的解析式求出()1f -、()2f 的值，相加即可得答案．
【详解】根据题意，函数()2,0
31,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩
，
则()11f -=，()22315=⨯-=f ，则()()126-+=f f ，故选：A 4．函数241
x
y x =
+的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：()()2
41
x
f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，4
2011
y ==>+，选项B 错误.故选：A.
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．若2510a b ==，则11
a b
+=（）
A ．1
-B ．lg 7
C ．1
D ．7log 10
【正确答案】C
【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求.【详解】 2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10
a b ∴+=+=+==.故选：C.
6．已知奇函数f （x ）的定义域为[-3，3]，且在区间[-3，0]上单调递增，则满足f （2-2m ）+f （1-m 2）>0的实数m 的取值范围是（）
A ．[-3，1
2]B ．[-12
，2）
C ．[-12，1）
D ．[-3，1）
【正确答案】C
【分析】利用函数的奇偶性与单调性并结合函数的定义域列出不等式组，解之即可求出结果.【详解】∵f （x ）是定义在[-3，3]上的奇函数，且在区间[-3，0]上单调递增，所以在区间[-3，3]上单调递增，又因为2(22)(1)0f m f m -+->，也即22(22)(1)(1)f m f m f m ->--=-，
所以2
23223
313221
m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪->-⎩
，解得：112m -≤<，
故实数m 的取值范围为1
[,1)2
-，故选.C
7．已知函数(
)41x f x a -=+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，则12
m n
+的最小值为（）
A ．9
B ．24
C ．4
D ．6
【正确答案】C
【分析】由题意可得22m n +=，利用基本不等式求最值即可.【详解】因为函数4()1(0,1)x f x a a a -=+>≠图象恒过定点(4,2)又点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，所以424m n +=，即22
m n +=
所以
12112
(2)(2)m n m n m n
+=++142(4)m n n m =+
+12(44+=，当且仅当4m n n m
=即21n m ==时取等号；所以
12
m n
+的最小值为4．故选：C ．
8．已知函数1,(1)
()(2)3,(1)
x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有
1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）
A ．(0,1)
B ．3,14⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C ．30,4⎛⎤ ⎥
⎝⎦
D ．3,24⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
【正确答案】C
【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.【详解】由对任意12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x -<-成立可得，
()f x 在R 上单调递减，
所以1101
20(2)13a a a a a
-<<⎧⎪
-<⎨⎪≥-⨯+⎩
，解得304a <≤，
故选:C.
9．已知函数233 , 0
()3 , 0x x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩
，则不等式()()34f a f a >-的解集为（
）
A ．1,2⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭
B ．()2,+∞
C ．()
,2-∞D ．1,2⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭【正确答案】B
【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，所以34a a <-，解得2a >．故选：B
10．鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（
）
A ．4小时
B ．
71
16
小时C ．
79
16
小时D ．5小时
【正确答案】C
【分析】分01t <≤和1t >两种情况令1
4
y ³
，解不等式得到t 的范围即可得到杀虫剂的有效时间.【详解】由题图可知34,011,12t t t y t -<≤⎧⎪
=⎨⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎩，
当01t <≤时，令14y ³
，即144
t ≥，解得1
116t ≤≤；
当1t >时，令14y ³，即3
11
24
t -⎛⎫
⎪
≥
⎝⎭
，解得15t <≤，所以投放该杀虫剂的有效时间为17951616
-=小时.故选：C.
11．若两个正实数x ，y 满足21
1x y
+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A ．()[),24,-∞-+∞
B ．(][),42,-∞-+∞
C ．()4,2-
D ．()
2,4-【正确答案】C
【分析】结合基本不等式，求得2x y +最小值，转化为228m m +≤，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由题意，两个正实数x ，y 满足
21
1x y
+=，则21442(2)()4428y x y x
x y x y x y x y x y
+=++=+
+≥+⋅=，当且仅当
4y x
x y
=，即4,2x y ==时，等号成立，又由222x y m m +>+恒成立，可得228m m +≤，即(4)(2)0m x +-≤，
解得42m -<<，即实数m 的取值范围是()4,2-.故选：C.
本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中利用基本不等式求得2x y +最小值，转化为228m m +≤，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查推
理与运算能力.
12．已知集合{1,3,4,6,8,9}P =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素m 都乘(1)m -再求和，例如{3,4,6}A =，则可求得和为346(1)3(1)4(1)67-⨯+-⨯+-⨯=，对P 所有非空子集，这些和的总和为（）
A ．80
B ．160
C ．162
D ．320
【正确答案】B
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加【详解】因为元素1，3，4，6，8，9在集合P 的所有非空子集中分别出现52次，则对P 的所有非空子集中元素m 执行乘(1)m -再求和，
则这些和的总和是51346892(1)1(1)3(1)4(1)6(1)8(1)9160⎡⎤⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦．
故选：B.二、填空题
13
．函数3
()21
f x x =
-的定义域为______.【正确答案】111,,1422⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢⎥
⎣⎭⎝⎦
【分析】根据分式函数和根式函数，由2
210
4510x x x -≠⎧⎨-+-≥⎩求解.【详解】解：由2
210
4510x x x -≠⎧⎨-+-≥⎩，解得12114
x x ⎧
≠⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，
所以函数()f x 的定义域为111,,1422⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
.
故111,,1422⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
14．已知函数()f x 的定义域为R ，且函数()()2
g x f x x =+为奇函数，若()21f =，则
()2f -=______.
【正确答案】9
-【分析】根据函数()g x 为奇函数求出()2g -即可得解.【详解】解：因为函数()g x 为奇函数，所以()()()2=2=2+4=5g g f ----⎡⎤⎣⎦，即()2+4=5f --，所以()2=9f --.故答案为.9
-15．奇函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减，则不等式()()28x
f f <的解集为______.
【正确答案】()
3,+∞【分析】根据函数的奇偶性与单调性判断()f x 在R 上单调递减，将不等式转化为指数式不等式，根据指数函数单调性即可求得不等式的解集.
【详解】解：奇函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减，则()00f =，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递减，于是可得()f x 在R 上单调递减
由不等式()()28x
f f <，得3282x >=，又函数2x y =在R 上单调递增
所以3x >，即不等式得解集为()3,+∞.故答案为.()
3,+∞16．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝
2
3
(lg E －11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍．
【正确答案】【分析】根据题中给出的关系式求出9.0级地震释放的能量与8.0级地震释放能量的比即可．【详解】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为21E E 、，
则212
983
lgE lgE （）-=-，
即3
22211
3
102E E lg E E =∴==．那么2011年地震的能量是2008年地震能量的
倍．故答案为
．
本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于基础题．三、解答题
17．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()=1f x x x -+．(1)计算(0)f ，(1)f -;
(2)当0x <时，求()f x 的解析式．【正确答案】(1)(0)0f =；(1)1
f -=-(2)()2
=1(0)
f x x x x ---<【分析】（1）根据奇函数数性质可知(0)0f =，(1)(1)f f -=-，利用函数解析式计算即可.（2）先求出()f x -的解析式，再根据奇函数定义()()f x f x -=-写出解析式即可.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =；
2(1)1111=-+=f ，(1)(1)1
f f -=-=-（2）因为0x <，所以0x ->，则()()2
2()11f x x x x x -=---+=++因为()f x 是奇函数，所以2()()=1f x f x x x -=-++即当0x <时，2()=1
f x x x ---18．已知集合{}64A x x =-≤≤∣
，{}123B x a x a =-≤≤+∣.(1)3a =时，求A B ⋃及()A B R ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.
【正确答案】(1)[6,9]A B ⋃=-，()R (4,9]A B ⋂=ð(2)1(,]
2
-∞【分析】（1）由交集，并集，补集的概念求解，（2）由集合间关系列不等式求解，
【详解】（1）当3a =时，[2,9]B =，故[6,9]A B ⋃=-，()R (4,9]A B ⋂=ð（2）由A B B = 得B A ⊆，
当B =∅时，由123a a ->+得4a <-，
当B ≠∅时，由123
16234
a a a a -≤+⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
得142a -≤≤，
综上，a 的取值范围是1
(,]
2
-∞19．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若提价后定价为x （单位：元），销售总收入y （单位：万元）(1)提价后如何定价才能使销售总收入最大？销售总收入最大值是多少？（精确到0.1）(2)如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
【正确答案】(1)定价为每本3.3元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为21.1万元(2)每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元【分析】(1)若提价后定价为x 元,则可售出 2.5
(80.2)0.1
x --⨯万件,总收入与售价函数关系为二次函数,利用二次函数求最值.
(2)由销售总收入不低于20万元列出不等式,解二次不等式.【详解】（1）由题意可得
()
22.580.2213, 2.50.1x y x x x x -⎛⎫
=-⨯=-+≥ ⎪⎝⎭当13 3.34x =≈（元）时，max 16921.18
y =≈（万元）.即定价为每本3.3元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为21.1万元.（2）由题意可得
2221320213200
x x x x -+≥⇒-+≤2.54
x ⇒≤≤所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.20．函数()29x x ax f b
--=
是定义在()3,3-上的奇函数，且()
118
f =．(1)确定()f x 的解析式；
(2)判断()f x 在()3,3-上的单调性，并用定义证明．
【正确答案】(1)()()2
,3,39x
f x x x =∈--(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）由题知()009b f -=
=，()211918
a f ==-，进而求得答案（注意检验奇函数成立）；（2）根据函数单调性的定义证明即可；【详解】（1）解：因为函数()2
9x x ax f b
--=是定义在()3,3-上的奇函数所以()009
b
f -=
=，解得0b =．经检验，当0b =时，()2
9ax
f x x =-是()3,3-上的奇函数，满足题意．又()2
1
1918
a f =
=-，解得1a =，所以()()2
,3,39x
f x x x =
∈--．（2）解：()f x 在()3,3-上为增函数．证明如下：在()3,3-内任取12,x x 且12x x <，则()()()()()()211221
212
222212199999x x x x x x f x f x x x x x -+-=
-=----，
因为210x x ->，1290x x +>，2190x ->，2
290x ->，
所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以()f x 在()3,3-上为增函数．
21．若函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设()
()g x f x x
=．(1)求a 、b 的值；
(2)若不等式()220x x
f k -⋅≥在[1,1]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围；
【正确答案】(1)1
a b =⎧⎨
=⎩(2)1
k ≤【分析】（1）由二次函数在[2,3]上的单调性最大值和最小值，从而求得,a b ；
（2）用分离参数法化简不等式为2
111222x x k ⎛⎫
+-⋅≥ ⎪⎝⎭
，然后令12x t =换元，转化为求二次函数的
最值，从而得参数范围．
【详解】（1）2()(1)1g x a x b a =-++-，对称轴1x =，0,()a g x >在[2,3]上单调递增，
所以(2)11(3)314g b g a b =+=⎧⎨=++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩
；（2）由（1）知()1()2(0),220x x f x x x f k x =+
-≠-⋅≥化为12222
x x x k +-≥⋅，即2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭，令12x t =，则221k t t ≤-+，因为[1,1]x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，问题化为()2max 21k t t ≤-+，
记2()21h t t t =-+，对称轴是1t =，因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以max ()(2)1==h t h ，所以1k ≤．
22．已知函数()2211(2x x
a f x a =-+-为常数)．(1)当1a =时，判断()f x 在()0-∞，
上的单调性，并用定义法证明；(2)讨论()f x 零点的个数并说明理由．
【正确答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由单调性的定义证明，
（2）由换元法与二次函数性质分类讨论求解，
【详解】（1）当1a =，且0x <时，()222x x
f x =-+是单调递减的．证明：设任意120x x <<，则()()()122112121222222221222x x x x x x x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，120x x << ，2122x x ∴>，1220x x +> ，122102x x +∴+>，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，故当1a =时，()f x 在()0-∞，
上是单调递减的；（2）()2令()0f x =，可得221220x x x a --+=，令2x t =，0t >，则120t t t a --+=，
记()22201221t a t g t t t a t ⎧-+<<=⎨-+≥⎩，，，，
易知()g t 在()01，
上单调递减，在()1+∞，上单调递增，
()min ()121g x g a ==-，
①当12a >
时，()10g >，此时()()10g t g ≥>，()g t 无零点，故()f x 无零点；②当12
a =时，()g t 恰有一个零点，故()f x 有一个零点；
③当102
a <<时，若01t <<，令()0g t =，解得t ()01∈，，若1t ≥，又()10g <，此时()222g t t t a =-+，由二次函数性质可知，()g t 在[)1+∞，
上有一个零点，因此，当102
a <<时，()g t 有2个零点，()f x 有2个零点；④当0a ≤时，若01t <<，则()0g t <，即()g t 在()01，
无零点，若1t ，又()10g <，此时()222g t t t a =-+，由二次函数性质可知，()g t 在[)1+∞，
上有一个零点，因此，当0a ≤时，()g t 有一个零点，即()f x 有一个零点．综上所述，当12a >
时，()f x 无零点；当0a ≤或12a =时，()f x 有1个零点；当102a <<时，()f x 有2个零点．。